книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

Исследования показывают (ом., например, [18]), что угловая скорость Ѳ может быть бесконечно большой только при подходе летательного аппарата к дели, когда

перегрузка летательного аппарата при сближении с целью остаются ограни­ ченными, если выполняется условие

Когда это неравенство выполняется, нормальная перегрузка летательного аппарата при движении по траектории вначале возрастает, достигает макси­ мума, а затем убывает до нуля. Если это неравенство не удовлетворяется, то потребная нормальная перегрузка монотонно и неограниченно возрастает по мере приближения летательного аппарата к цели.

На основании изложенного выше можно сказать, что прямое попадание летательного аппарата в цель невозможно, если отношение скоростей р не находится в диапазоне

по сравнению с наведением -методом погони, что является некоторым недо­ статком метода.

* Отсюда, как частный случай при г]= 0, вытекают аналогичные условия для метода погони.

401.

В заключение отметим, что преимуществом наведения с по­ стоянным углом упреждения по сравнению с погоней является принципиальная возможность получать траектории, близкие к прямолинейным, при любых начальных условиях, что должно обеспечиваться соответствующим выбором угла упреждения.

Наведение с постоянным упреждением и метод погони обла­ дают общим недостатком: эти методы мало пригодны для атак в передней полусфере. Благодаря тому, что летательный аппарат, настигая цель, заходит в хвост цели, потребные перегрузки при атаках, начинающихся в передней полусфере, оказываются весь­ ма большими. При этих условиях летательный аппарат может сойти с требуемой траектории на относительно большом расстоя­ нии от цели. Таким образом, наведение с постоянным углом уп­ реждения может дать хорошие результаты только при атаках в задней полусфере.

3.5. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ СБЛИЖЕНИЕ

Для того чтобы можно было обеспечить благоприятные усло­ вия наведения в передней полусфере цели, получив траектории, близкие к прямолинейным в непосредственной близости от цели, необходимо вводить переменный угол упреждения.

Действительно, из кинематического уравнения

характеризующего изменение направления линии визирования цели в случае Ѳц=0, следует, что при отклонении летательного аппарата от прямолинейной траектории в передней полусфере появляется угловая скорость вращения ли­

нии визирования ср, совпадающая по знаку с отклонением угла Дф. Это мож­ но показать, записав уравнение (9.50) в приращениях. Предполагая, что ско­ рости V и Ѵц, а также дальность г не получают приращений, можно записать

значении ф0 получить прямолинейную траекторию.

При наведении с постоянным углом упреждения Дг)=0 и потому в перед-

же знак. Другими словами, при отклонении Дф>0 появляется Дф>0, что вы­ зывает увеличение Дф и вращение линии визирования цели до тех пор, пока

величины Дф и Дф имеют разные знаки, что и обусловливает кинематическую устойчивость прямолинейной траектории.

Из уравнения (9.51) следует, что можно обеспечить устойчивость прямо­ линейной траектории и в передней полусфере, если изменять угол упреждения Г) в некотором соответствии с изменением угла ф.

402

Простейшей формой связи между изменением угла упрежде­ ния т] и изменением угла <р будет пропорциональная зависимость, когда, например

Нетрудно убедиться в том, что подходящим выбором коэффициента про­ порциональности k можно обеспечить кинематическую устойчивость прямо­ линейных траекторий при любых начальных условиях. Действительно, под­ ставляя в уравнение (9.51) выражение (9.53) для Дг], получим

гД<р = {V cos 7]g (1 — ft) Уд cos <ро] Д<р.

Условие устойчивости прямолинейной траектории, заключающееся в том,

чтобы Дф и Дф имели различные знаки, дает возможность правильно назна­ чить коэффициент пропорциональности k. Потребуем, чтобы выполнялось не­ равенство

(1 — k ) V cos 1)0— Va cos % < 0,

На рис. 9.19 приведены графики, представляющие правую часть неравен­ ства как функцию фо для разных значений отношения р=Ѵ/Ѵц. Из этих гра­ фиков следует, что при é> 2 неравенство (9.55) удовлетворяется при любых

начальных углах ф0 и отношениях Ѵ/Ѵц, т. е. и в передней, и в задней полу­ сферах можно получить устойчивые прямолинейные траектории. Характерно

также, что для наведения в задней полусфере ^0 < | <ро I < 7 ^ требуются

меньшие значения коэффициента к.

403

Записанные выше соотношения (9.53) и (9.54), связывающие приращения углов, можно записать и в такой форме:

где индекс «О» соответствует некоторым начальным значениям углов, имеющих место в первый момент наведения.

Из соотношения (9.56) следует, что рассматриваемый закон наведения можно записать в другом виде, более удобном для ре­ ализации:

тельного аппарата пропорциональна угловой скорости линии ви­ зирования цели. Зависимость, указанная в этом определении,

наведению с постоянным углом упреждения соответствует k= \, что следует из уравнения (9.58).

Интересно заметить, что и параллельное сближение, характе­ ризующееся связью cp = const, можно рассматривать как частный случай пропорционального сближения. Действительно, при £=*», Дт]= —ДѲ, т. е. в процессе наведения Дср = 0 и, следовательно, (p = const. Поэтому метод пропорционального сближения являет­ ся довольно общим методом. Будучи реализован, он позволяет

404

получать за счет выбора коэффициента k траектории со свой­ ствами, промежуточными между свойствами кривых погони и свойствами траекторий параллельного сближения. В частности, по мере увеличения коэффициента пропорциональности k линия визирования цели вращается медленнее и при k = oo она переме­ щается параллельно самой себе при любых начальных услови­ ях. Соответственно с увеличением коэффициента k траектории наведения все менее и менее отличаются от прямолинейных, а потребные нормальные перегрузки уменьшаются.

Аналитическое исследование траекторий пропорционального сближения может быть проведено только для £ = 2. Мы имеем следующую сиетему кине­ матических уравнений с неизвестными г, ф, тр

где go — постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями:

Из уравнения (9.70) следует, что прямое попадание в цель (г=0) воз­ можно, если р > 1. При этом в момент встречи с целью угол упреждения т]*

405

где ф;, и г)ь — значения углов в момент встречи с целью.

Это значит, что при встрече с целью угол упреждения г)ft имеет значение, которое обеспечивает прямолинейный полет с г]= г|л для начального значения

фО= фАУгловую скорость касательной к траектории найдем, используя (9.60),

(9.64), (9.68) и (9.70):

Можно показать [18], что ©-»-const при р cos 8о+1 = 0.

Таким образом, нормальная перегрузка при сближении с целью остается

что соответствует примерно атаке в задней полусфере. Для выполнения ус­ ловия (9.74), в том случае, когда 90°<е0<270°, отношение скоростей р необ­ ходимо ограничивать сверху:

С помощью выражения (9.73) можно установить важные свойства траекторий пропорционального сближения.

Пусть начальное значение угла упреждения выбрано так, что он равен значению, определяющему прямолинейную траекто­ рию:

нейная траектория пропорционального сближения касается пря­ мой. ф=]фй, поскольку ф—>0 при г->0. Следовательно, вблизи

406

цели траектории пропорционального сближения приближаются к прямолинейным траекториям.

При пропорциональном сближении начальный угол упреж­ дения цо может быть выбран таким образом, чтобы направление линии визирования цели мало изменялось в процессе наведения. Как следует из выражения (9.65), при k = 2 изменение угла ср за время полета равно по величине изменению угла упреждения:

угла ф. С увеличением коэффициента k изменение угла ф стано­ вится еще меньше [см. (9.62)].

При пропорциональном сближении также существуют устой­ чивые и неустойчивые прямолинейные траектории. Все другие (криволинейные) траектории располагаются в секторах, заклю­ ченных между устойчивыми и неустойчивыми прямолинейными траекториями, причем эти траектории стремятся отойти от не­ устойчивых траекторий и слиться с устойчивыми. По существу, здесь наблюдается та же качественная картина, как и при наве­ дении по кривым погони с той лишь разницей, что угол между соседними устойчивой и неустойчивой прямолинейными траек­ ториями здесь меньше, чем в случае наведения по кривым пого­ ни. Этот угол тем меньше, чем больше коэффициент пропорцио­ нальности k в уравнении связи. Поэтому траектории при про­ порциональном наведении имеют меньшую кривизну по сравне­ нию с кривыми погони.

Все эти утверждения легко проверить [14]. Действительно, в нашем случае

условие прямолинейности траектории Ѳ=0 в соответствии с уравнением свя­ зи (9.59) эквивалентно условию

V sin т) — Ѵц sin (if — Ѳц) = 0.

Учитывая уравнение связи для метода пропорционального сближения

■Ц= + (1 — к) (<р — То),

где г]о и фо отвечают некоторому начальному моменту движения, получим условие прямолинейности траектории в виде

V sin ho + ( l — £)<f — (1 — k)<f0\ — Ѵц sin (ip— Ѳц) = 0 .

Для упрощения анализа положим, как и прежде, что скорости летатель­ ного аппарата и цели постоянны и цель не маневрирует. Если начальное зна­ чение угла т|о определить из соотношения

V sin т)0 — Ѵц sin (tpo — Ѳцо) = 0,

то получим устойчивую прямолинейную, траекторию при условии, что коэф­ фициент k достаточно велик [см. (9.55)].

Представим теперь, что при неизменном начальном значении угла упреж­ дения Цо (соответствующем данному начальному значению ф0) наведение летательного аппарата начинается с некоторого другого значения угла ф°, не

407

равного фо. Для каждого значения угла ф° получим свою траекторию. Среди семейства всех возможных траекторий, отвечающих различным значениям Ф°, получим и несколько прямолинейных траекторий ф= фі° = сопз1:. Действи­ тельно, уравнение

имеет несколько решений относительно величины ф°, среди которых будет и исходное начальное значение ф0.

Эти решения можно определить, например, графически. Так, на рис. 9.20

чивые. Действительно, легко убедиться в том, что при отклонении от фг° в

сторону увеличения угла получим ф< 0 и появившееся отклонение будет стре­ миться исчезнуть. При отклонении от углов ф°і и ф°з получается обратная

т

На рис. 9.21 приведена схема траекторий пропорционального сближения, соответствующая рис. 9.20. На рис. 9.21 неустойчивые прямолинейные траек­ тории обозначены пунктирными прямыми.

нейных траекторий. При целом k половина этих траекторий будет устойчи­ выми, другая половина — неустойчивыми. При увеличении k секторы между устойчивыми и неустойчивыми траекториями будут сужаться, сами траекто­ рии будут спрямляться и в пределе при переходе к методу параллельного сближения (&->-оо) получим одни прямолинейные траектории (если V и Ѵц постоянны).

Таким образом, при пропорциональном сближении, если ко­ эффициент k достаточно велик, в процессе наведения угол мо­ жет изменяться незначительно. Это позволяет исследовать свой­ ства траекторий более детально, воспользовавшись линеариза­

408

цией кинематических уравнений [14]. Будем исходить из естест­ венного предположения о том, что опорной траекторией является прямолинейная устойчивая траектория, при движении по кото­

рой ср = 0.

Линеаризуем теперь кинематическое уравнение

лр= V sin (с р -Ѳ )-1 /ц sin (ср— Ѳц)

относительно этой траектории, параметры которой обозначим ин­ дексом «*». После линеаризации получим

г= H cos (cp* — Ѳ*) (Дер — ДѲ) —

—Иц cos (cp* — ѲцJ (Дер— ДѲЦ).

Учитывая, что

?* = 0

Здесь, как и выше, рассмотрен для простоты случай, когда V и Ѵц постоянны. Так как для опорной траектории ф,, Ѳ* и Ѳц* — известные постоянные величины, то и V и Ѵц будут известными постоянными величинами. В этом случае расстояние г линейно

Соместное решение этих двух уравнений позволяет исследо­ вать основные качественные свойства траекторий пропорциональ­ ного сближения. Для решения к уравнениям необходимо доба­

409

в нем значения переменных и коэффициентов заменить их на­ чальными значениями.

где г/о=Лф0.

Предполагая, что АѲЦ— величина постоянная, и выполнив вы­ числения, получим

Формула (9.82) получена в предположении, что маневр цели,

характеризующийся величиной ДѲЦ, начинается в момент време­ ни t = 0. Нетрудно составить соответствующее выражение для случая, когда маневр цели начинается в произвольный момент времени t = t0.

Первое слагаемое в этой формуле характеризует возмущен­ ное движение летательного аппарата, вызванное начальной ошибкой ДѲо (т. е. неправильным заданием начального значения угла упреждения т)о). Второе слагаемое характеризует отклоне­ ние летательного аппарата от прямолинейной траектории из-за маневра цели. (Напомним, что опорной траектории соответству­ ет прямолинейное движение цели).

410