книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

го г0а0 ТіѴ

г тіп

o.m е

В рассматриваемом случае нельзя в общем виде записать и уравнение траектории, так как

Из этого приближенного анализа следует, что траектории наведения с постоянным и, в частности, нулевым углом пелен­ га цели для своего осуществления требуют весьма больших нормальных перегрузок. В результате зоны возможных атак по­ лучаются очень ограниченными. Метод прямого наведения, ха­ рактеризующийся законом £=0, удобно применять при малых скоростях цели и летательного аппарата при условии, что на­ чальная дальность Го достаточно велика.

3.3. МЕТОД ПОГОНИ

Метод погони заключается в том, что вектор скорости лета­ тельного аппарата непрерывно направлен на цель (рис. 9.11). Очевидно, что при наведении этим методом касательная к тра­ ектории совпадает с линией визирования цели (Ѳ=де) и угол упреждения все время равен нулю:

Используя эту связь, легко найти кинематическую траекторию летательного аппарата в земной системе координат.

Наиболее просто и наглядно выполняется построение кине­ матической траектории графическим способом.

Для построения кинематической траектории скорость аппа­ рата V{t) и движение цели [Гц(0; ѲЦЩ] должны быть заданы. Отметим на траектории цели различные ее положения С, Сь

391

С2)... через некоторые равные промежутки времени Аt (рис. 9.12). Положим для простоты Д(=1. Пусть точки О и С определяют положение летательного аппарата и цели в начальный момент времени і = 0. Так как вектор скорости летательного аппарата все время направлен на цель, то в первую секунду летательный аппарат движется приблизительно по направлению ОСх и прохо­ дит путь ООи численно равный У(0). В следующую секунду ле­ тательный аппарат движется примерно по линии ОхС2 и проходит путь 0 ]0 2, равный Ѵ(1), и т. д.

Кинематическая траектория полета при наведении методом погони называется обычно кривой погони.

392

ипроинтегрировав уравнение (9.26), найдем

,(sin f f - 1

рата и цели. Это движение можно себе представить, если сообщить системе «летательный аппарат — цель» скорость, равную по величине скорости цели Ѵц, но противоположно направленную. Тогда цель станет неподвижной, а ле­ тательный аппарат будет совершать отно­ сительное движение по траектории, которую можно построить, отложив из точки С ра­

и вида — во втором).

Указанные две траектории являются единственно возможными прямоли­ нейными траекториями при наведении методом погони. Действительно, из вто­

условиях возможно только при р> 1, т. е. когда скорость летательного аппа­ рата больше скорости цели.

Выясним свойства криволинейных траекторий погони в окрестности цели

цели.

Характер траекторий летательного аппарата в относительном движении показан на рис. 9Л4. Эти траектории получены построением кривых г(ф)

393

по уравнению (9.28). Как следует из этого уравнения, все кривые являются подобными с центром подобия в точке С. Это значит, что все кривые семей­ ства траекторий, за исключением двух прямолинейных, можно получить из какой-либо одной, например из кривой, соответствующей А = 1, увеличением г для каждого ф в А раз (см. рис. 9.14).

Таким образом, прямолинейная траектория летательного аппарата воз­ можна только при движении его точно навстречу цели или точно в хвост цели.

будет возможно только после того, как летательный аппарат зайдет в хвост цели.

Рис. 9.14. Траектории относительного движения летательного ап­ парата при наведении методом погони (р = 2)

Это свойство траекторий позволяет заключить, что одна из двух возмож­ ных прямолинейных траекторий, а именно, располагающаяся в передней полу­ сфере, когда ф= я, будет неустойчива, т. е. при небольших отклонениях лета­ тельного аппарата от нее угол ф начнет монотонно изменяться до тех пор, пока не примет значения, равного нулю.

При исследовании любого метода наведения значительный интерес пред­ ставляет оценка потребных нормальных перегрузок. Нетрудно оценить пере­ грузки, потребные для движения по кривой погони, если сохранить условия, принятые выше.

Нормальные перегрузки летательного аппарата можно приближенно вы­ числить по формуле

V d&

если пренебречь нормальной перегрузкой, необходимой для преодоления силы тяжести.

Вычислим сначала угловую скорость касательной к траектории, подставив выражение (9.28) во второе уравнение системы (9.25). Тогда, учитывая, что Ф = Ѳ, получим

Большой интерес представляют значения Ѳ в момент встречи аппарата с целью и максимальные значения Ѳ для различных значений р.

394

Когда летательный аппарат настигает цель, ф->0 и необходимо найти предел выражения (9.30). Этот предел зависит от отношения скоростей лета­ тельного аппарата и цели:

угловая скорость Ѳ достигает максимального значения по абсолютной вели­ чине при встрече летательного аппарата с целью. Если же 1<р<2, то макси­ мальное значение угловой скорости по абсолютной величине получается при

Ф = arccos р/2. Это можно показать, беря первую и вторую производные по <р

р

от выражения (9.30) и решая уравнение dQjdip=0. Подставляя ф= arccos —

в выражение (9.30), получаем

Таким образом, при р> 2 угловая скорость касательной к траектории Ѳ и нормальная перегрузка неограниченно возрастают при сближении летатель­ ного аппарата с целью. Так как максимальная нормальная перегрузка аппара­ та ограничена значением располагаемой перегрузки, летательный аппарат сойдет с кривой погони и будет двигаться по дуге окружности с угловой ско­

ростью касательной к траектории, равной g_Я р а с п . В этом случае прямое по­

V

падание в цель невозможно.

Для того чтобы можно было получить прямое попадание летательного аппарата в цель при наведении методом погони, скорость аппарата следует органичить пределами

Если это условие выполнено, угловая скорость касательной к траектории сна­

Отсюда можно определить область допустимых начальных условий г0 и фоРазрешив (9.33) относительно г0, получим

(sin<fo)p 1

(9.34)

(1 + cos <Ро)Р

Отсюда следует, что при заданных ]Ѳщах|, Ѵц и р граница области допу­ стимых начальных условий представляет собой одну из кривых погони. На рис. 9.16 изображена кривая погони, для которой максимальная угловая

395

скорость касательной к траектории равна предельно возможной скорости, рав-

. S

НОИ у. П расп .

Поскольку меньшим значением г0 соответствуют большие значения | Ѳ т а х | и кривые погони не пересекают друг друга, то можно утверждать, что у траек­

касательной к траектории больше предельно возможной. Следовательно, за­ штрихованная зона является зоной запрещенных начальных условий г0 и фо, при которых невозможно прямое попадание в цель *.

Поскольку нормальная перегрузка примерно пропорциональна угловой скорости касательной к траектории, то все сказанное относительно предель­

ных и максимальных значений Ѳ легко распространить и на нормальные перегрузки.

Рис. 9.16. Область допустимых начальных условий г0 и фо при на­ ведении методом погони (зона запрещенных начальных условий заштрихована)

В заключение отметим основные недостатки наведения лета­ тельных аппаратов методом погони, обнаруживаемые уже при простейшем анализе кинематических уравнений.

* Необходимо заметить, что поражение цели возможно и при отсутствии прямого попадания, так как для поражения цели достаточно, чтобы^ снаряд попал в сферу, радиус которой определяется эффективностью боевой части-

396

Прежде всего, недостатком метода является то, что возмож­ ны только две прямолинейные траектории, причем они ориенти­ рованы относительно цели определенным образом. Если началь­ ные условия не соответствуют полету точно навстречу и точно в хвост цели, то траектории летательного аппарата получаются криволинейными. В этом случае при начале полета в передней полусфере цели потребные перегрузки в районе цели, как прави­ ло, велики, что приводит к появле­ нию в передней полусфере большой зоны, откуда практически невозмож­ но осуществлять наведение.

Из уравнения (9.30) следует, что нормальное ускорение пропорцио­ нально произведению скоростей ле­ тательного аппарата и цели. Поэто­ му для уменьшения расстояния до цели, на котором перегрузка дости­ гает предельного значения, необхо­ димо, чтобы это произведение было бы достаточно малым. Таким обра­ зом, метод погони наиболее пригоден в случае, когда скорость цели имеет небольшое значение. При больших значениях произведения скоростей цели и летательного аппарата метод погони пригоден только для атак в

задней полусфере цели, так как в этом случае траектории харак теризуются малыми значениями нормальных ускорений.

3.4. НАВЕДЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УГЛОМ УПРЕЖДЕНИЯ

Метод наведения с постоянным углом упреждения можно рас­ сматривать, как обобщение метода погони. Применение наведе­ ния с постоянным г) позволяет получить движение летательного аппарата наперерез цели (рис. 9.17).

Уравнения движения. Уравнение идеальной связи имеет вид

вектору скорости цели (см. рис. 9.17). Кинематические уравнения движения получим из общих уравнений (9.12), положив в них Ѳц=0:

— = Ѵ„ cos cp — V cos л; л ц ‘

(9.36)

r— = — V a sin cp 4-1/ sin ii. dt

397

Эти же уравнения можно получить непосредственно, пользуясь рис. 9.17. В записанных уравнениях содержатся две неизвестные: г и ф. Геометрическое соотношение

можно использовать для определения угла Ѳ.

Уравнение траектории. Разделив первое уравнение системы (9.36) на второе, получим дифференциальное уравнение траекто­ рии относительного движения летательного аппарата и цели:

Г— sin <р + Р sin 1)

Ѳц= 0), как и о предыдущем случае, можно получить в общем виде уравне­ ние семейства траекторий, которые иногда называют обобщенными кривыми погани:

тории полета представляют собой спирали, описывающие вокруг цели беско­ нечное число витков. Поскольку кривизна траекторий велика и неограниченно возрастает по мере сближения с целью, этот случай не имеет практического значения.

ляется 0 = const, то из второго уравнения (9.36), используя (9.37), найдем, что прямолинейные траектории удовлетворяют условию

398

изображенные на рис. 9.18 для случая г]>0.

Рис. 9.Р8. Траектории относительного движения летательного аппарата при наведении с постоянным углом упреждения

Для заданного угла упреждения т) имеем две прямолинейные траектории, ориентированные под углами фі и ф2.

Характер криволинейных траекторий можно выяснить с по­ мощью второго уравнения (9.36), которое запишем в виде

Рассмотрим сначала случай г]>0. У траекторий, начинающих­ ся внутри незаштрихованного сектора, фі'<ф<ф2 и, как следует

из уравнения (9.41), ф<0. Следовательно, по мере приближения летательного аппарата к дели угол ср уменьшается и в пределе (при г->-0) стремится к углу фі. Основываясь на этом свойстве, можно представить общий характер траекторий, как это и сде­ лано на рис. 9.18.

У траекторий, начинающихся в заштрихованном секторе

(ф2< ф < 180°, —180°<ф<фі), ф> 0 и угол ф с течением времени возрастает (радиус-вектор г вращается против часовой стрел­ ки), стремясь в пределе к углу фі.

399

Как видно, все криволинейные траектории приходят к цели в ее задней полусфере, касаясь прямой ср = фі (см. рис. 9.18). Толь­ ко-одна траектория, а именно — прямая ф= фг подходит к цели в передней полусфере.

Как и в методе погони, прямолинейная траектория, распола­ гающаяся в передней полусфере, неустойчива. Это означает, что при отклонении летательного аппарата от прямолинейной траек­ тории, определяемой углом фг, угол ф начнет изменяться до тех

траекторию ф= 90°. Характер криволинейных траекторий в этом

цель) лишь при р> 1, причем т]<90о. (Последнее можно устано­ вить, используя неравенство р | sin т] | ^ 1).

Таким образом, из приведенного простейшего анализа можно сделать следующие выводы:

а) прямое попадание в цель происходит в ее задней полусфе­ ре при условии Ѵ>ѴЦ, при этом т)<90° и ф-мрі = arcsin (р sinт)); б) при любом начальном значении угла ф0, выбрав угол уп­

реждения по формуле

(9. 42)

можно получить прямолинейную траекторию.

Случай т)<0 особого анализа не требует, поскольку значения Фі и фг теперь отрицательны и мы получаем зеркальное отобра­ жение картины, изображенной на рис. 9.18. Например, изменив в точке В знак угла т] на противоположный, вместо траектории ВС получим траекторию, являющуюся зеркальным отображени­ ем траектории В'С. Другими словами, изменение знака угла т) на отрицательный эквивалентно переходу летательного аппарата с неизменным углом г) из правой полусферы (по отношению к движению цели) в левую, находящуюся в заштрихованной обла­ сти, например из точки В в точку В'. Как видно из рис. 9.18, и то и другое приводит к увеличению времени полета до встречи с целью.

Угловая скорость касательной к траектории может быть найдена из урав­ нения (9.41) и уравнения траектории г(ф), если учесть, что r|=const, откуда

400