книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

При этом дель движется по некоторой прямой, параллельной оси Рхз и находящейся от нее на расстоянии h (рис. 9.5).

Траектория летательного аппарата, наводимого по методу совмещения, будет проходить через точки Р 0 х0 20^В, где В — точка встречи с целью. Пусть теперь цель движется по некоторой другой прямой, параллельной оси Р хз и находящейся от нее на расстоянии h'. Оказывается, что при отношении скоростей, рав­ ном

Пусть за время dt линия «пункт управления— летательный аппарат—щель» переместилась из положения PC в положение РС\ (см. рис. 9.5); при этом аппарат перешел из точки О на ли­ нии PC в точку 0 1 на линии РС\. Очевидно, что траектория ап­ парата ООі остается той же самой независимо от того, пройдет ли цель путь СС\ или С'С/. Изменяются лишь точки встречи: в

построенные для какого-либо отношения скоростей р, остаются теми же самыми и для любого другого отношения скоростей р', если представить, что цель движется не по прямой с парамет­ ром h, а по прямой с параметром

h’ = ^ L .

Р ’

На рис. 9.6 построено семейство траекторий совмещения для h= 1 и р= 1. Каждая кривая соответствует определенному на­

381

чальному значению угла ф. Для произвольного отношения ско­ ростей р траекторию летательного аппарата можно найти, про­ ведя прямолинейную траекторию цели на расстоянии h = \/p от оси Рх з .

В качестве примера применения кинематического метода ана­ лиза рассмотрим исследование нормальных ускорений (перегру­ зок) летательного аппарата при наведении методом совмещения.

Для упрощения задачи будем предполагать, что цель летит с постоянной скоростью по прямолинейной горизонтальной траек­ тории на заданной высоте, причем скорость летательного аппара­ та также является величиной постоянной. Угол между плос­ костью сближения и вертикалью обозначим Я.

Основные геометрические соотношения следуют из рис. 9.2. Кинематическими уравнениями теперь будут следующие:

г = V cos (es — Ѳ);

(9.6>

гср= — V sin (ср — Ѳ).

К этим уравнениям необходимо добавить уравнение идеаль­ ной связи (9.3) в виде е=іДф = фц—ф= 0 или <р = фц(^).

Так как изменение угла ф(і) зависит от движения цели и яв­ ляется известной функцией времени, то вывод формулы, опреде­ ляющей нормальные перегрузки летательного аппарата, не пред­ ставляет труда.

Из двух уравнений (9.6) можно определить угол Ѳ с помощью следующего соотношения:

г

Дифференцируя второе уравнение (9.6) и используя для уп­ рощения полученного соотношения первое уравнение, легко по­ лучить выражение для производной

Если Ѵ= const, то

Ѳ = 2<р -]~ —— ср

г

и нормальное ускорение при движении по траектории определит­ ся уравнением

/„ = ѴѲ = Ѵ ( 2 v + j - o ) .

382

Если учесть ускорение силы тяжести, то тогда перегрузка в проекции на нормаль к траектории определится выражением

Если Ѵц= const, то справедливы следующие соотношения:

cp = — cpm s i n 2cp;

(9.8)

sin2? sin 2cp.

Очевидно, что величина ц>т=Ѵц/Ь определяет максимальную угловую скорость линии визирования цели. Из соотношений (9.8) видно, что закон изменения координаты ф(£) и, следовательно, характер траектории летательного аппарата зависят от парамет­

ра срт. Поэтому траектория летательного аппарата не изменится, если скорость цели Ѵц и величина h меняются так, что отно­

шение этих величин, равное срт , остается постоянным. Из рис. 9.2 следует, что

Как видно, нормальное ускорение может стать бесконечным только в том случае, когда

ph = r sin2ф.

Так как г sin ф ^ /і, то это условие записывается в виде p ^ s in ф.

Обычно р>1, поэтому нормальное ускорение летательного аппарата при наведении методом совмещения является конеч­ ным.

Анализируя выражение (9.10), приходим к выводу, что мож­ но различать три группы траекторий.

У траекторий, расположенных целиком в правой четверти (на­ пример, траектории 5 и 6 на рис. 9.6), ф^90°, зіп 2ф ^0 и мак­

383

симальное нормальное ускорение получается в точке пуска (г = 0;

Ф = сро):

Если траектории расположены целиком в левой четверти (на­ пример, траектории 1 и 2), то ф^90°, віп2ф^ 0 и максимальная величина |/| получается в точке встречи с целью:

ресекают ось Оуз . По своим свойствам они занимают промежу­ точное положение между траекториями первой и второй групп: максимальная величина / получается где-то между точками пуска и встречи.

Более подробный анализ показывает, что траектории, распо­ ложенные в левой четверти, т. е. соответствующие атаке в перед­ ней полусфере, имеют большие значения | / | т ах, чем траектории, отвечающие атаке в задней полусфере.

Рассмотрим теперь применение выражений (8.57) к опреде­ лению составляющих ускорения летательного аппарата по осям сферической системы координат при наведении методом совме­ щения.

Для метода совмещения уравнения связи можно записать в следующей форме:

<Р = 'Рц. Х=Хц-

Из равенства координат следует равенство производных, т. е.

т=?ц;?=<рц;х=х.и х=Хц-

Учитывая эти соотношения и выражения (8.57а), можно за­ писать, что

Т2+ X2cos2 9 = -7 - (г'ц - УахУ>

' Ц

9 + X2 sin cp cos «р = — ( - 2гцсрд+ уд„);

ГЦ

^coscp —2срх sin =р= -у—( — 2гц^ц coscpu —уц2).

Г1

384

скорости летательного аппарата V и цели Кц определяют в про­ странстве некоторую плоскость, которую назовем плоскостью сближения. Очевидно, что вектор дальности г= ОС также лежит в этой плоскости и составляет с вектором скорости летательно­ го аппарата некоторый угол ц, называемый обычно углом уп­ реждения_(рис. 9.8). Этот угол будем отсчитывать от вектора скорости F, причем за положительное направление отсчета при­ мем вращение вектора г против часовой стрелки.

Аналогичным углом будем определять и направление векто­ ра скорости цели Ѵц. Угол между вектором дальности и векто­ ром скорости Ѵц принято называть курсовым углом. Обозначим его через тіц. Правило знаков для угла т]ц аналогично правилу, указанному для угла ц: если вектор г повернут от направления Ѵц против часовой стрелки, то г|ц> 0. Уравнения (2.75) относи­ тельного движения в плоскости сближения летательноро аппа­

Нетрудно установить (см. рис. 9.8), что в плоском движении имеют место следующие геометрические соотношения:

задней полусфере цели, а при 90°<<р^180° — в передней.

3.1. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ САМОНАВЕДЕНИЯ

Как уже отмечалось, основной информацией, на использова­ нии которой строится работа любой системы самонаведения, яв­ ляется информация о взаимном положении летательного аппа­ рата и цели. Это положение определяется направлением в про­ странстве линии визирования цели. Поэтому для задания мето­ да самонаведения необходимо определить требуемое положение линии визирования цели относительно какой-либо системы от­ счета. В зависимости от выбора этой системы можно различать три группы методов самонаведения.

Для первой группы методов наведения требуется, чтобы при движении летательного аппарата по направлению к цели линия визирования цели занимала вполне определенное положение относительно продольной оси аппарата. Другими словами, здесь

386

визирования цели с продольной осью летательного аппарата (метод прямого наведения). В другом случае можно использо­ вать связь £= const=7^0. В общем случае угол пеленга может меняться по какому-либо сложному закону.

Ко второй группе относятся методы наведения, в которых требуется, чтобы линия визирования цели в процессе движения летательного аппарата занимала вполне определенное положе­ ние относительно вектора скорости аппарата. В этом случае на­

упреждения, оставаясь постоянным, может не быть равным ну­ лю (метод погони с упреждением). В общем случае угол уп­ реждения может быть переменным, изменяясь по вполне опре­ деленному закону по времени или в зависимости от некоторых других кинематических параметров движения (например, метод пропорционального наведения).

Наконец, к третьей группе методов наведения относятся те из них, в которых требуется при управлении движением лета­ тельного аппарата обеспечить вполне определенное положение линии визирования цели относительно некоторого фиксирован­ ного в пространстве направления. Очевидно, в этом случае необ­ ходимо потребовать, чтобы угол ф менялся в соответствии с некоторым законом. Здесь также самому простому случаю со­ ответствует метод наведения с ф= сопэі (метод параллельного сближения).

Указанные три группы методов наведения не исчерпывают всех возможных случаев. Однако приведенная классификация охватывает наиболее интересные случаи и, кроме того, каждой из указанных групп методов наведения соответствуют характер­ ные особенности траекторий движения летательных аппаратов.

Для сравнительного анализа различных методов самонаве­ дения и свойств соответствующих им траекторий воспользуем­ ся кинематическим методом исследования.

С этой целью необходимо рассмотреть уравнения (9.12), к ко­ торым следует добавить уравнение метода наведения.

Как уже было указано, для задания метода самонаведения необходимо наложить связи на изменение угла пеленга £, или угла упреждения rj, или угла, определяющего положение линии визирования цели ф. Простейшими связями, например, могут быть £ = 0, г|=0 или ф= const.

Рассматривая систему уравнений (9.12) совместно с уравне­ нием метода наведения, нетрудно установить, что если связи на­ кладываются на изменение угла т] или ф, то траекторию лета­ тельного аппарата можно рассчитать, решая только кинематиче­ ские уравнения и оставляя без внимания уравнения динамики, так как в этом случае кинематические уравнения совместно с уравнением метода самонаведения образуют замкнутую систему.

Таюш образом, по отношению ко второй и третьей группе ме­ тодов наведения применим чисто кинематический метод иссле­ дования.

Если обратиться к методам первой группы, когда связи на­ кладываются на угол пеленга £, например £ = 0, то присоединяя уравнение метода наведения к уравнениям (9.12), легко обна­ ружить, что нельзя найти решение кинематических уравнений, не добавив к ним второго уравнения динамики в проекциях на нормаль к траектории. Это связано с тем, что угол пеленга £ зависит от угла атаки а, изменение которого не может быть определено без учета уравнений динамики. По этой причине по отношению к первой группе методов самонаведения кинематиче­ ский метод анализа неприменим.

Рассмотрим теперь основные свойства траекторий для наи­ более исследованных методов наведения, причем наиболее под­ робно остановимся на методах самонаведения второй и третьей групп, по отношению к которым применим метод кинематиче­ ского анализа.

3.2. НАВЕДЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УГЛОМ ПЕЛЕНГА ЦЕЛИ

Рассмотрим группу методов наведения, основанных на регу­ лировании направления продольной оси летательного аппарата. К ним относится, в частности, метод прямого наведения.

Сущность этого метода состоит в том, что в процессе наве­ дения продольная ось летательного аппарата все время направ­ лена на цёль (рис. 9.9).

Уравнение связи выглядит так:

траектории летательного аппарата и нормальная сила У направ­ лены также вправо. Это возможно лишь в том случае, когда вектор скорости летательного аппарата находится слева, от продольной оси аппарата, совпадающей с линией визирования цели ОС. Как видно, в случае прямого наведения вектор ско­ рости летательного аппарата все время направлен в некоторую точку позади цели.

При наведении с постоянным углом пеленга цели £, т. е. углом между продольной осью летательного аппарата и линией

3ß8

визирования дели (рис. 9.10), уравнение идеальной связи име­ ет вид

При £* = 0 получим метод прямого наведения. Можно по­ добрать £* таким, что вектор скорости летательного аппарата будет направлен в некоторую точку впереди цели (рис. 9.10, а).

Этот метод обладает тем же недостатком, что и метод наве­ дения с постоянным углом упреждения: в зависимости от усло­ вий пуска необходимо изменять знак угла £* (см. рис. 9.10, б ) .

При исследовании свойств траекторий, получающихся при регулировании направления продольной оси летательного аппа­ рата относительно линии визирования цели, не удается ограни­ читься анализом кинематических уравнений движения. Это об­ стоятельство связано с тем, что в уравнение связи [см., например, (9.16) или (9.17)] входит угол тангажа или угол атаки и для определения траектории к кинематическим уравнениям прихо­ дится добавлять уравнение динамики:

— = Ѵгц cos f - V cos (<p - Ѳ);

d H = V sin Ѳ;

dt

a = cp

389

Легко видеть, что задача исследования траекторий наведе­ ния усложнилась по сравнению с рассмотренными выше случая­ ми, поскольку теперь требуется решать систему уравнений бо­ лее высокого порядка. Уравнения (9.18) можно исследовать только с помощью численного интегрирования. Аналитически их удается решить лишь в частных случаях, когда плоскость сближения горизонтальна, а цель неподвижна.

М е т о д п р я м о г о н а в е д е н и я

Система уравнений, которую приходится решать при расчете траекторий, имеет следующий вид:

1) г = — V cos (<р — Ѳ) + Ѵц cos (<р — Ѳц);

3)Ті& + Ѳ = 9;

4)a = cp — Ѳ.

Несмотря на заметное упрощение, эта система в общем виде не решается. Общее решение можно получить только для случая, когда Кц=0, т. е. цель неподвижна. Тогда

1) г = - Ѵ \

. Ѵ а

2) ¥ = ----- ;

(9.21)

3) a = f — Ѳ = 9—

Одно из решений этой системы имеет вид

Из решения следует, что при г-*-0 угол а->-оо. Таким образом, свойства траекторий таковы, что летательный аппарат, не долетев до цели, сойдет с требуемой траектории и закон наведения не может быть выполнен, так как угол атаки а является ограниченной величиной.

390