книги из ГПНТБ / Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов

В случае симметричного расположения центра тяжести относи­ тельно опор /х = /2 - Тогда дифференциальные уравнения движения принимают вид

-оіфУ, + 2/2 cx ö = F г sin («г1 + а);

Первые три уравнения движения независимые, поэтому каждое из них может рассматриваться как уравнение поступательного ко­ лебательного движения вдоль координатных осей g, г) и Ç. Цикловые частоты собственных колебаний будут соответственно равны:

Обычно в балансировочных машинах податливость опор велика только в одном направлении, т. е. принимается для машин, в ко­ торых колебания ротора происходят только в горизонтальной пло­

ими можно пренебречь. Для особо точной балансировки эти пере­ мещения должны быть учтены.

При таких предположениях можно ограничиться рассмотрением

и амплитудное значение угла поворота оси ротора в плоскости коле­ баний.

Действительно, если ось вращения является главной осью инер­

560

(27.21)

m

СО2

Если ротор статически уравновешен, то ps = 0 и возбуждаются только колебания рыскания ротора, амплитуда которых

При комплексной неуравновешенности перемещения правой и левой опор представляют суммой колебаний при поступательном движении оси ротора и рыскании:

Полученные формулы для перемещения опор дают возможность сделать заключение, что если со ^> ßn и со ^> ß^, т. е. балансировоч­ ная машина работает далеко за резонансом, то амплитуды колеба­ ний опор линейно зависят от неуравновешенностей статической и динамической:

в напряжение электрического тока. Тарировкой определяется коэф­ фициент k пропорциональности между перемещением и напряже­ нием. По амплитуде напряжения можно судить об амплитуде пере­ мещения. Теперь остается выяснить, каким образом по амплитудам перемещения опор и фазовому углу а х между ними, определенному

механизма, то ее статический момент относительно точки О равен сумме статических моментов масс звеньев, т. е.

механизма.

Зная положение центра тяжести на каждом из звеньев, можно для различных положений начального звена найти значение векто­ ров rlr Tz и т. д., а следовательно, и значение векторов статических моментов nijfj. Определив равнодействующий вектор mf как гео­ метрическую сумму mfj и уменьшив его в m раз, найдем положение центра тяжести механизма, отложив от точки О вектор г. Такой ме­ тод определения положения центра тяжести требует большой вы­ числительной работы. Эту же задачу можно решить другим путем.

Представим каждый из векторов гх ,л2 и т. д. суммой векторов

(28.2)

где Zj, h, l3... — длины звеньев на плане механизма, представ­ ляемые как векторы;

*і» ^г. §з-- — расстояния от ближайшего к точке О центра шарнира на звене до центра тяжести звена, также представляемые как вектор.

Векторы I] и S] имеют направление звена /, поэтому, подставляя выражения (28.2) в выражения (28.1), можно радиус-вектор центра тяжести представить суммой векторов, параллельных соответствую­ щим звеньям.

664

где

постоянными и меняют направление соответственно изменению по­ ложения звеньев. Найденные векторы называются главными векто­ рами, а точки Hj на звеньях, координируемые от ближайшего на звене к точке О центра шарнира вектором hj, называются главными точками (рис. 28.2).

Для сложных шарнирных механизмов главные векторы можно определять сразу, не выполняя подстановки и прочих преобразо­ ваний.

Если в центре шарнира J звена / сосредоточить массу всех предыдущих звеньев (рис. 28.3), в центре тяжести S/ — массу m/t а в точке К — массу всех последующих звеньев, то, составляя сумму статических моментов масс относительно точки J, найдем расстоя­ ние hj до точки Hj, в которой надо полагать сосредоточенной массу всего механизма. При этом получаем

2<

Определив главные векторы hly h2 и т. д. и построив их геомет­ рическую сумму, начиная от точки О, получим результирующий вектор г, координирующий поло­ жение центра тяжести механизма (рис. 28.2). Выполняя указанные по­ строения для ряда положения началь­ ного звена в пределах одного оборота

565

его, найдем последовательные положения центра тяжести механизма на его геометрическом месте.

Зная ускорение «s центра тяжести, легко вычислить полную силу инерции механизма, равную — mos и направленную противо­ положно ускорению äs-

По заданным положениям центра тяжести ускорение «s точно определить нельзя, а приближенное вычисление его затруднительно. Процесс вычисления ускорения äs значительно облегчается в том случае, если удается построить такой механизм, одна из точек кото­ рого описывает траекторию, совпадающую при любом положении начального звена с геометрическим местом центра тяжести меха­ низма. Построение такого механизма возможно.

и С присоединим двухповодковую группу, длины звеньев которой

диним в точках Но и Н'3, отстоящих от точек Нг и D соответственно на расстояниях /и и Л3, двухповодковѵю группу, длины звеньев

Определяя ускорение точки F построенного таким образом меха­ низма, находим величину и направление силы инерции механизма для любого положения начального звена.

§ 28.2. СТАТИЧЕСКОЕ УРАВНОВЕШИВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ

\\РХПГШЯ>Т н я ^ ы д я ю т статически уравновешенным, если в нем уравновешены силы инерции, а моменты последних не уравнове­ шены. Есл"й положение центра тяжести для любого положения начального звена известно, то можно произвести качественную оценку уравновешенности механизма.

Механизм будет статически уравновешенным, если равнодейст­ вующая сил инерции его звеньев Р,- — — mäs для любого положе­ ния механизма равна нулю. Так как масса механизма не равна нулю, то для статически уравновешенного механизма ускорение as должно быть равно нулю. Это условие выполняется в двух случаях, а именно: в том случае, когда центр тяжести механизма движется равномерно и прямолинейно, или когда центр тяжести механизма неподвижен. Очевидно, первому условию механизм удовлетворить не может, потому что звенья его движутся циклично, а центр тяжести пере­ мещается по замкнутой кривой. Таким образом, в статически урав­ новешенном механизме центр тяжести должен быть неподвижным.

Используя изложенный в предыдущем параграфе метод опреде­ ления центра тяжести механизма, можно установить соотношение

566

между главными векторами, зависящими от величины масс и поло­ жения центров тяжести звеньев, при котором механизм будет ста­ тически уравновешенным.

Центр тяжести шарнирного механизма будет неподвижен, если при сложении главные векторы образуют многоугольник, подобный механизму. В этом случае многоугольник главных векторов можно рассматривать как механизм, изображенный в ином масштабе (рис. 28.4), откуда вытекает следующее условие, которому должны удовлетворять длины главных векторов:

(28.5)

h k k

В кривошипно-ползунном механизме центр тяжести, при удов­ летворении главных векторов условию (28.5), будет перемещаться по прямой и механизм оказывается неуравновешенным (рнс. 28.5). Очевидно, центр тяжести неподвижен, если hx = h2 = О, т. е. центр тяжести механизма совпадает с неподвижным центром О вращения «кривошипа.

Рассмотрим на конкретных примерах статическое уравновеши­ вание механизма.

В четырехшарнирном механизме (рис. 28.6) массу каждого из звеньев можно заменить сосредоточенными в центрах О, А, В и С шарниров массами, сохраняя при этом заданное положение цент­ ров тяжести звеньев. Для определения величины сосредоточенных масс, согласно условиям статической замены распределенной массы звена сосредоточенными массами, имеем

567

Откуда

Суммируя массы в шарнирах А и В, получаем

Массы, сосредоточенные в шарнирах О и С, неподвижны, поэтому для полного уравновешивания механизма необходимо урав­ новесить противовесами только массы тА и тв. Рассматривая их во вращении вместе с кривошипом OA и коромыслом ВС, можно найти противовесы из условия, что центры тяжести уравновешенных коромысла и кривошипа должны совпасть с центрами их вращения.

Веса противовесов Gi и Gui могут быть найдены из равенств G\ri = mAglx и Giiiriii ==nißgl3,

если задаться величиной радиусов г\ н m i . После постановки про­ тивовесов Gi и Gm в точках О и С нужно мыслить себе сосредото­ ченными массы

m 0 =m 0 1 4 - m^4 - mi и /Ис=/я3 с4->ив4-тііі.

Центр тяжести массы механизма и противовесов лежит на 'ли­ нии центров и делит его на отрезки, обратно пропорциональные мас­ сам т0 и тс- Вычислив 05, легко построить главные векторы звеньев так, как это показано на рис. 28.4.

568

Возможны и другие варианты установки противовесов, уравно­ вешивающих силы инерции четырехшарнирного механизма. Если противовес устанавливают на шатуне (рис. 28.7), то он должен располагаться вне линии AB центров шарниров шатуна с тем, чтобы сместить центр тяжести масс тА и тв в один из центров шарниров А или В. Смещая центр тяжести неуравновешенных масс в точку А, следует установить противовес Оц слева от точки А (рис. 28.7), величина которого, если задано Г ц , определяется из уравнения

Guri\—tnBgk.

После установки противовеса Gn в точке А необходимо вычислить сосредоточенную массу

т'А = тА + тв-\-тіи

которую можно уравновесить противовесом, установленным на кри­ вошипе диаметрально противоположно и определяемым из равен­ ства

При установке противовеса на шатуне справа от точки В второй противовес должен быть установлен на продолжении коромысла.

На рис. 28.5 показан единственно возможный вариант статиче­ ского уравновешивания кривошипно-ползунного механизма двумя противовесами, определяемыми аналогично предыдущему и уста­ новленными на продолжении шатуна и кривошипа. Существенным недостатком такого способа уравновешивания механизма, особенно при установке противовесов на шатуне, является значительное уве­ личение веса звеньев, а следовательно, и всего механизма в целом, вследствие чего рассмотренный метод во многих отраслях машино­ строения почти не получил распространения. Взамен этого практи­ куется частичное уравновешивание сил инерции, которое рассмот­ рим ниже. Рассмотренный способ статического уравновеши­ вания может быть с успехом применен в ряде случаев, например при статическом уравновешивании подъемных столов прокатных ста­ нов и аналогичных механизмов, в которых при перемещении центра тяжести возникает большой величины момент на начальном звене. Величина этого момента, следовательно, и мощность двигателя мо­ гут быть значительно снижены, если механизмы подъемных столов будут уравновешены.

§ 28.3. СИЛЫ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

При частичном уравновешивании сил инерции механизмов по­ лезно равнодействующую сил инерции, приложенную в центре тя­ жести механизма, разложить на простые составляющие, каждая из которых может быть уравновешена отдельно. Наиболее просто этот

569