§25.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА ПО МЕТОДУ ВИТТЕНБАУЭРА
Момент инерции маховика более точно можно определить при помощи диаграммы IE, J], исходя из предположения, что истинная средняя угловая скорость равна средней арифметической угловой скорости, т. е. что
|
( 0 max + M mi n |
Ю с Р ~ 30 ~ |
2 |
Замкнутая кривая, изображающая зависимость изменения ки нетической энергии в функции приведенного момента инерции ме
ханизма, |
может быть построена |
при неизвестных |
начальной |
кине |
тической |
энергии механизма |
и моменте инерции |
JK |
маховика. |
Пусть точка 0 является началом системы координат, в которой |
строится |
диаграмма |
[A, J] (рис. 25.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Допустим, что Е0 |
и J„ известны. В таком случае действительное |
начало координат будет в точке Ох, и полная кинетическая энергия |
механизма для данного |
положения |
начального |
звена |
пропорцио |
нальна |
соответствующей |
ординате |
кривой |
в |
системе |
|
координат |
[ £ < Ѵ ] : |
|
£ = £ 0 |
+ Л (ф) = /глу, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а полный момент инерции механизма с маховиком |
пропорционален |
абсциссе той же точки кривой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
= Ju |
-f- J |
(ф) = kjX. |
|
|
|
|
|
|
|
В § 24.4 было показано, |
что тангенс |
угла |
наклона |
секущей, |
проходящей через начало Ох |
координат и заданную точку кривой |
[Е, J], пропорционален квадрату угловой скорости |
начального |
звена и что угловая |
скорость принимает наибольшее и наименьшее |
значения для положений |
начального звена, |
при которых |
секущая |
обращается в касательную. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому, если заданы соср |
и о, то tgibm a x |
и tgi|?m i n |
могут быть вы |
числены по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
to ih |
—JZE^l. |
' |
|
fer -il, . |
— 1 m |
m |
|
|
|
|
|
|
I g y m a x — |
|
1 & т т і п — |
2fe^ |
' |
|
|
|
|
|
Так как касательные к кривой [Е, Л, |
проведенные под углами |
tymax и tymin к оси абсцисс, пересекаются |
в точке Ои |
то, зная |
tymax |
и i^min, нетрудно отыскать действительное начало координат Oj диаграммы [Е, J].
Действительно, если вычислить |
углы ^щах и і|'т іП , построить |
эти углы с вершиной на оси абсцисс OJ, а затем провести |
касатель |
ные к предварительно построенной |
кривой \Е, J\, |
то точка пере |
сечения этих касательных определит положение |
начала |
коорди |
нат Ох. |
|
|
|
|
|
Р и с 25.7. Диаграмма |
Виттенбауэра |
|
Очевидно, что момент инерции маховика Ja |
пропорционален |
отрезку ОхА |
= |
Л'м , т. е. |
|
|
|
|
У„ — kjOxA = |
lijxu. |
|
Из рис. 25.7 следует, что |
|
|
Вычитая |
из |
АС отрезок AB, получаем |
|
|
ВС = АС - AB = ОгА (tg ^ г а а х - t g ^ m I n ) |
или |
|
|
|
|
|
|
ОЙ = *м = |
. • |
( 2 5 - 2 ° ) |
|
|
1«=> т max |
1 ь Тпііп |
|
Отрезок ВС, отсекаемый касательными на оси ординат, всегда может быть получен соответствующим выбором масштабов в пре делах чертежа, поэтому им можно воспользоваться для вычисления момента инерции маховика.
Произведя подстановку tgi|>n i a x и tg i|7m i n в формуле (25.20) после преобразований получаем для вычисления Ум формулу в окон чательном виде:
§25.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА МАШИНЫ
СЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПРИВОДОМ
Многие промышленные агрегаты, работающие при резко возра стающих нагрузках, снабжаются электродвигателями, момент на роторе которых является функцией угловой скорости. Подбирая мощность двигателя по средней нагрузке за цикл, принимают обычно
|
|
|
|
|
|
|
|
номинальный момент двигателя |
без маховика Мл |
= |
1,2 |
М0ср; |
Мрс р — среднее |
значение |
момента |
сил сопротивления |
за цикл. |
Наибольшее |
значение |
Мл не должно |
превосходить |
опрокиды |
вающего или критического значения Мк. |
В связи с этим |
целесооб |
разно метод расчета маховика построить так, чтобы были удовлетво рены все условия нормальной работы двигателя при допустимой перегрузке ш д = (0,8 — 0,85)Х. Здесь X = Мк : Л4„ и M m n x : Ми =
=т д .
Особенность расчета маховика для машины с электроприводом
заключается главным образом |
в том, что основой для вычислений |
в |
большинстве случаев является не степень неравномерности о, |
а |
минимальное значение com jn |
угловой скорости, которое не должно |
достигнуть величины, соответствующей критическому моменту М к . Для простоты будем полагать, что переменная часть приведен ного момента инерции массы механизма мала и ею можно пренебречь,
|
|
|
|
|
|
|
|
а рабочая часть |
характеристики |
двигателя |
— линейная. Согласно |
такому |
виду характеристики |
(рис. 24.7) момент двигателя |
|
|
|
М д = £ © 0 |
—Аш = М 0 |
—Aw, |
(25.22) |
где k — крутизна |
характеристики. |
|
MQt до М0і |
|
При |
мгновенном изменении |
момента |
от |
угловая |
скорость ротора двигателя уменьшается, а момент последнего воз растает по кривой / или 2 (рис. 25.2), что зависит от величины мо мента инерции маховика. При снятии нагрузки угловая скорость ротора возрастает, а величина момента двигателя снижается по штриховой кривой.
Для наших предположений уравнение движения агрегата для времени после возрастания нагрузки может быть написано в форме
М д - MQl |
= кщ - Ы - MQt |
= у • % = J® % • |
|
В этом уравнении переменные разделяются, |
в результате имеем |
|
*Р = і |
Й |
^ |
(25.23) |
здесь J — искомый |
момент инерции механизма |
и маховика и А |
= |
= /гсо0 —М0 і . |
|
|
|
|
|
Интегрируя выражение (25.23) в пределах q>lt т. е. от ю.2 до |
аи |
будем иметь |
|
|
|
|
|
ф 1 |
= L[k ( Ш а _ щ ) + |
Л In ^ g ] . |
(25.24) |
|
Интегрируя уравнение (25.29), получаем связь между ср, в функ ции которого задана нагрузка, и і:
кшп + Мп Т ( __±\
При / = tl |
угол Ф = |
фі, |
поэтому |
уравнение |
(25.30) |
позволяет |
по заданному |
ц>х определить |
tlt |
следовательно, |
величину |
момента |
двигателя при сбросе нагрузки |
и значение com in . |
|
|
|
|
Уравнение |
(25.30) можно |
привести |
к |
виду |
|
|
|
|
|
k<fi |
Ы |
о |
+ м с , |
h |
|
1 - е |
|
|
(25.31) |
T ( M Q - M Q S ) |
- (MQT-MQJ |
' |
Y |
т |
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
_ Л. |
|
|
|
|
|
которое может быть решено графически. Для этого, считая |
Т! = -^- |
переменным, строится кривая |
1 — е _ Т |
і и прямая с угловым коэффи |
циентом Ь, проведенная |
через точку на осп ординат, |
удаленную от |
начала 01 на расстоянии а1. Величину ах |
и о, вычислить |
нетрудно. |
Точка пересечения экспоненты |
1 и прямой 2 (рнс. 25.8) определяет |
безразмерное Еремя т1 ( следовательно, и время /г по заданному углу фі, найденному моменту инерции J — Т/г и составляющим нагрузки.
Величина tx определяет к концу действия нагрузки MQt значе ния com i n и момента двигателя /ИД ] , являющегося начальным для последующей фазы.
Интегрируя' уравнение движения (25.27) для фазы работы ма шины после сброса нагрузки, найдем выражение для момента дви гателя
|
M, |
= |
MQl |
+ (MQl-MQ2)t-\ |
|
(25.32) |
Соответственно для угловой скорости начального |
звена |
со = |
со0 |
- |
Jk- [MQl |
+ |
(MQi |
- |
MQt) |
е~Ч |
(25.33) |
и угла поворота |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Р= |
° |
k |
Q'-t |
+ T |
( |
M Q |
- M |
Q l ) |
t - \ |
(25.34) |
При нормальной работе агрегата на заданном режиме и при наличии маховика с вычисленным выше моментом инерции к концу фазы ф 2 момент двигателя должен принять значение, мало отличаю-
Ып—М0
щееся от MGl, а угловая скорость — от c ö m a x = — ^ — — . Для проверки нужно из уравнения (25.34) аналогично предыдущему по
|
заданному |
ф = ф2 |
определить |
Г) |
. |
|
т 2 = у - , а |
по формулам (25.32) |
|
|
|
и(25.33) найти значение Мд „ и со2) которые следует сравнить с MQ2
и« ш а х - При незначительном от клонении задачу можно считать решенной. Впрочем, если полу
ченное значение т2 > 4 -f- 5, то такой проверки делать нет необ
ходимости, потому что множи |
1—-т, —1 |
г |
тель е _ т = в этом случае мал. |
Рис. 25.8. Определение времени |
конца |
Для машин, в которых нагруз |
действия нагрузки |
|
ка изменяется непрерывно или |
|
|
переменная составляющая приведенного момента инерции значитель но отклоняется от среднего значения и ею пренебречь нельзя, опре делять момент инерции маховика описанным методом нельзя. Расчет в этом случае усложняется и его описание выходит за пределы курса.
§ 25.7. ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ ЗВЕНА В ПРИВОДЕ НА СТЕПЕНЬ НЕРАВНОМЕРНОСТИ И ВЫБОР МЕСТА УСТАНОВКИ МАХОВИКА
Вреальных машинных установках определенная для заданных условий работы степень неравномерности хода может значительно отличаться от расчетной вследствие влияния упругости промежуточ ных звеньев.
Вкачестве последних могут быть передача гибкой связью (клиноременная, цепная), упругие муфты, большой длины упругие валы и другие звенья, в которых при переменных нагрузках возникают периодически изменяющиеся деформации. В результате на периоди ческое движение всего агрегата в целом как одного твердого тела (например, приведенной к какому-либо из валов массы) налагается колебательное движение, изменяющее степень неравномерности.
При выборе места установки маховика в машинных агрегатах, работающих в тяжелых динамических условиях, имеет не меньшее
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение защита деталей от пере |
|
|
|
|
|
|
грузок и разрушения/ Можно ука |
|
Узел |
колебаний |
|
|
зать на ряд случаев, когда выбор |
|
Www* ^ |
|
\*\ч\\\ |
|
|
места |
установки маховика |
без до |
|
|
2 |
|
статочного |
анализа явился |
причи |
|
|
|
|
* |
7 |
|
|
|
|
Ч |
ной |
появления больших динами |
|
'^ШІІІІІІІІІІІІ |
|
|
ческих нагрузок в звеньях пере |
|
|
|
Рассмотрим систему |
(рис. 25.9) |
|
І |
лей |
|
1 |
даточных |
механизмов. |
|
|
и1тах |
|
|
|
|
|
двигатель |
1 — машина |
2, |
между |
Рис. 25.9. Маховик |
и машина как |
|
которыми |
включено упругое звено |
|
колебательная |
система |
|
|
постоянной жесткости |
с1 2 . Момент |
двигателя Мх положим постоянным, а момент на выходном валу рабочей машины
Л/« = /Иа + M sin ср., я « Mi + M sin wcpt;
здесь cûcp — средняя угловая скорость.
Так как средние значения моментов двигателя и рабочей машины равны друг другу, то движение агрегата стационарное, со средней скоростью <вср. Допущение, что sin ф2 = sin «>ср /, вносит ошибку второго порядка малости, которой в нашем случае можно пренеб речь.
Если Jx и J2 — постоянные, то уравнение движения для каждой из масс можно записать в форме
Лфі + Ci- (ФІ - |
Ф») = |
Mr, |
(25.35) |
Jotpa - c12 (фх - |
ф.>) = |
— M2. |
(25.36) |
Эти два уравнения можно свести к одному, если разделить пер вое на Jlt а второе на Л н разность их умножить на с1 2 . В результате получим
Л ' / 1 2 + ^М12 |
= с 1 2 ' Щ ^ ± , |
(25.37) |
если обозначим через Мп = |
с1 2 (cpj — cf..) — момент сил упругости |
иß j 2 = С]о Jlj j — цикловую частоту колебаний системы.
Подставив значение |
М2 — Мх |
+ M sin (û c p / |
и преобразуя, |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м\о + ß ? 2 |
M 1 2 |
= |
ßioMi + |
ß i s M т^гг; |
s i n |
«M- |
(25.38) |
Если |
положим |
Л-],, — Mx |
— A sin |
сос р /, |
то |
из |
уравнения |
(25.38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(26'М) |
|
|
Л |
= |
« |
7 |
7 |
^ - |
- Ѵ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И . |
|
|
|
т. е. амплитуда колебаний |
момента сил упругости |
зависит от соот |
ношения моментов инерции масс Jx |
и / 2 . |
|
|
|
Теперь нетрудно определить значение каждой из угловых ско |
ростей Й ! = ФІ и ш2 |
= |
ср2 |
в первом |
приближении. Из |
уравнений |
(25.35) и (25.36) движения масс после подстановки М12 |
и интегри |
рования |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m i = m » + M c p ( W t ) |
_ W ( c o s ^ - 1 ) ; |
(25.40) |
|
|
|
|
|
|
1 |
Ѣ |
|
|
|
|
|
со^со.о + ^ |
^ |
. - |
^ |
- |
- |
A(l-cosco^). (25.41) |
5 2 6
Найденные уравнения для угловых скоростей рабочей машины и двигателя свидетельствуют о том, что закон изменения их зависит
не только от закона изменения |
избыточного |
момента, |
но и соотно |
шения соср |
и ß 1 2 . |
|
|
|
Разность максимальной и минимальной угловой скорости звена / |
(двигателя), |
отнесенная к сос р , |
равна |
|
|
|
a « w - " „ n i n = |
ш |
' |
( 2 5 > 4 2 ) |
|
|
|
|
ß b |
|
|
Для второго |
звена (рабочей машины) соответственно: |
|
б ^ |
|
= |
_ J i / ^ _ L _ A |
2 5 4 3 ) |
|
|
|
^ |
ßia |
' |
|
Отсюда видно, что степени неравномерности для рабочей ма |
шины 2 и машины двигателя |
/ различны. |
|
|
|
Выражение |
„ |
Я ^ , .. = ô 0 представляет |
собой |
степень |
не- |
|
% |
( А I JÎ) |
|
|
|
|
равномерности хода при абсолютно жесткой связи между рабочей
машиной |
и |
машиной-двигателем, следовательно, из |
выраже |
ний (25.42) |
и (25.43) находим |
|
|
|
|
|
|
ài = ô0—~; |
(25.44) |
|
|
|
|
1 |
"ср |
|
|
|
|
|
|
ß b |
|
|
ô 2 |
= ô 0 1 -\-CCj — Ctj |
|
= ô „ ( l + a y ) - ô 1 a y ; |
(25.45) |
|
|
|
|
ß b |
|
|
здесь |
|
|
|
•it |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ = |
7 7 |
|
В |
случае |
малого режимного |
параметра -^- <^ 1 им в знамена |
теле |
можно |
пренебречь, тогда бх |
= |
ô2 = ô0 , т. е. степень |
неравно |
мерности машины двигателя и рабочей машины одинаковая и рав.на степени неравномерности, определяемой обычными методами рас чета, когда обе машины рассматриваются как одна приведенная масса.
Степень неравномерности значительно повышается при прибли жении режимного параметра к единице, т. е. если агрегат работает вблизи резонанса.
Наконец, |
если режимный параметр |
- д ^ ^ > 1, то степень нерав- |
номериости |
двигателя, к которому |
периодическое возмущение |
передается |
через упругую связь, стремится к нулю: Ôj —>- 0, т. е. |
öi |
° û . |
а рабочая машина 2, на приведенную массу которой дейст |
вует возмущающая сила, приобретает, собственную степень нерав номерности
2ЛІ
о-! = öo ( 1 + а - / ) = т т г т - -
Этим самым вопрос о месте установки маховика решается одно значно, а именно: для уменьшения степени неравномерности ра бочей машины маховик следует установить непосредственно на ее выходном валу.
На рис. 25.10 изображены графики изменения степени неравно мерности бх и ô2 , которые показывают изменение относительных величин (отнесенных к ö0 ) в зависимости от режимного параметра
&р = - & г - и конструктивного O.J = |
~ -, характеризующего соотношение |
Pu' |
J 2 |
моментов инерции, которое может быть изменено при помощи соот ветствующей установки маховика.
Теперь нетрудно видеть, что для того, чтобы защитить рабочую машину от влияния упругой связи на степень неравномерности, маховик следует устанавливать на валу рабочей машины и работать следует до резонанса. Этим гарантируется ба <; ô0 . Аналогичный
Рис. 25.10. Графики изменения степени^ неравномерности
результат можно получить для ô x , если возмущающий периодиче ский момент действует со стороны двигателя. В случае действия переменных Мѵ и М2 результат получим, воспользовавшись методом суперпозиции.
§ 2S.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ МАХОВИКА
Размеры маховика зависят от места его установки в машине. Если маховик закрепляют на валу начального звена, то его момент инерции равен вычисленному по,заданному коэффициенту неравно мерности ô моменту инерции / н . Во многих случаях маховик уста навливают на вспомогательном валу, угловая скорость которого отличается от угловой скорости начального звена. В этом случае найденный расчетом момент инерции является приведенным момен том инерции маховика. Если по расчету для поддержания колеба ния угловой скорости начального звена в заданных пределах необ
ходимо ввести добавочный |
момент инерции / м , а момент |
инерции |
маховика, установленного на вспомогательном валу, |
то связь |
между ними следующая: |
|
|
|
У„ = / У м , |
(25.46) |
где і — отношение угловой |
скорости вспомогательного |
вала, на |
котором установлен маховик, к угловой скорости начального звена. Из формулы (25.46) видно, что для уменьшения размеров махо вого колеса выгоднее устанавливать маховик на вспомогательном валу, вращающемся быстрее начального звена. Этим обстоятельст вом часто пользуются в практике, в частности в авиационных инер
ционных стартерах.
При изготовлении маховика в виде сплошного диска момент инер
ции его массы может быть вычислен по формуле |
|
|
/ м = - ^ М 0 0 0 кгс - м - с 2 , |
(25.47) |
где D — диаметр |
маховика в. м; |
|
b — ширина маховика в м; |
|
•у — удельный вес в гс/см3 ; |
|
g =' 9,81 м/с2 |
— ускорение силы тяжести; |
|
G — вес маховика. |
|
Произведение GD2, характеризующее маховик, называется ма |
ховым моментом. |
|
|
Если задаться |
отношением ß ширины b маховика |
к его диа |
метру D : ß = -£p то для определения диаметра маховика получаем формулу
