книги из ГПНТБ / Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов

что найденная функциональная зависимость приведенного момента внешних сил и сил инерции звеньев механизма для установившегося движения его изображена на рис. 24.4, а.

Интегрируя уравнение (24.15), получим

со

Если масштабы по осям абсцисс и ординат кривой (рис. 24.4, а) соответственно к^ и к, то

где F n ) ( p — площадь, ограниченная с одной стороны кривой и осью абсцисс, а с другой — ординатами, соответствующими выбранным пределам интегрирования (на рис. 24.4, а заштрихована).

циональны Л(ох . Начальную угловую скорость ш1 0 можно найти так же, как и раньше, т. е. можно положить, что со10 = со1 с р — А<вД с р . Найденная угловая скорость а10 позволяет определить приближен­ ное значение угловой скорости для любого значения угла ф.

Если полученный результат не удовлетворяет, то этот же расчет нужно повторить вновь, но теперь уже при определении сил инер­ ции следует принимать вычисленные по уравнению (24.25) значения угловой скорости начального звена.При вычислении более точных значений правой части уравнения (24.15), ранее использованные

Обычно достаточно сделать вычисления только в первом прибли­ жении, и полученные результаты будут удовлетворительными.

Б00

Метод Виттенбауэра. Согласно закону живых сил изменение кинетической энергии механизма равно работе внешних сил:

А (ф) — работа внешних сил, произведенная внешними силами дви­ жущими и силами сопротивления за время поворота начального звена на угол ф.

Кинетическая энергия механизма, таким образом, является функцией угла поворота начального звена. Кроме того, кинетиче­ ская энергия может быть выражена через приведенный к началь­ ному звену момент инерции механизма и угловую скорость началь­ ного звена:

угла ф диаграммы момента Мр движущих сил и MQ сил сопротивле­ ния, приведенных к начальному звену (рис. 24.5, а). Тогда, согласно § 24.3, их средние значения должны быть равны и, следовательно, суммарная площадь за цикл работы машины, ограниченная кри­

в функции угла поворота ф, дает представление о ходе изменения кривой избыточного момента M (рис. 24.5, б).

энергии можно представить как пропорциональное ей изменение площади, ограниченной кривой избыточного момента. Действи­

граммы избыточного момента, ординаты которой пропорциональны

501

интегральной кривой, изображающей изменение А (<р), получим

(рис. 24.5, в) на расстояние, пропорциональное начальному значе­ нию кинетической энергии Е0, то кривая изменения избыточной ра­ боты внешних сил относительно системы координат с началом в Ох будет изображать изменение кинетической энергии Е механизма.

Рис. 24.5. Построение диаграммы Виттенбауэра

502

такого рода построения для ряда точек в пределах углового пе­ риода Ф, получим при установившемся режиме работы машины замкнутую кривую. Замкнутая форма кривой [Е, J] для стацио­ нарного режима работы машины получается вследствие того, что кинетическая энергия и приведенный момент инерции являются периодическими функциями одинакового или кратного периодов.

Если машина находится в состоянии разгона, то Е0 — 0, кривая начинается на оси абсцисс и по мере увеличения кинетической энергии удаляется от оси абсцисс. Однако она всегда заключена между орди­ натами, соответствующими максимальному и минимальному значе­ ниям приведенного момента инерции. Кривая [Е, У] для разгона при­ ведена на рис. 24.6. После того как закончится разгон и установится стационарный режим работы машины, точка диаграммы IE, J], соот­ ветствующая переменному значению угла ф поворота начального звена, будет перемещаться по замкнутой кривой в направлении, указанном стрелкой на рис. 24.5, д, т. е. последовательно проходить позиции 1, 2..., О к опять повторять их вновь. Каждому циклу ра­ боты машины соответствует полный ход точки по замкнутой кривой.

ГІостроенная диаграмма [Е, J] позволяет при известной кинети­ ческой энергии Е определить закон изменения угловой скорости начального звена.

Угловая скорость & х , выраженная через кинетическую энергию

503

Если взять произвольную точку К на кривой \Е, J] (рис. 24.5, д) и соединить ее с началом координат, то угол T|> наклона ее относи­ тельно оси абсцисс может быть определен из равенства

(24.30)

Сопоставляя с отношением (24.29), будем иметь

(24.31)

Отсюда следует, что тангенс угла наклона секущей, проведен­ ной через заданную точку кривой [E, J], пропорционален квадрату угловой скорости.

Угловая скорость начального звена равна

Если задана последовательность точек 0, 1, 2, 3, 4, 5... на кривой IE, J], соответствующих заданным углам поворота начального звена О, фі, ф.2 и т. д., то, построив для каждой из них секущую, прохо­ дящую через начало координат, легко определить tg г|;, а по послед­ нему при помощи равенства (24.32) н угловую скорость начального звена. Последовательность точек 0, 1, 2... на кривой [E, J] уста­ навливается при ее построении и должна считаться известной.

Тангенс угла наклона секущей изменяется при переходе от одной точки замкнутой кривой к другой и принимает экстремальные значения при обращении секущей в касательную. Наименьшее из

Для различныхуглов поворота начальное звено будет иметь одну и ту же угловую скорость, если соответствующие точки замк­ нутой кривой лежат на одном и том же луче. Например, для углов поворота начального звена, соответствующих точкам К, L и D замкнутой кривой, угловая скорость начального звена имеет одно и то же значение.

При стационарном режиме работы машины кривая угловых скоростей будет периодической функцией, потому что для начала и конца цикла секущая, угол наклона которой определяет угловую скорость начального звена, проводится через одну и ту же точку.

504

на восемь объемов разного по­ рядка малости: основной объем w^cpî объемы первого порядка

ДсоѴс р и, наконец, один объем третьего порядка малости Ди'-ДУ. Если при интегрировании урав­ нения движения машины в пер­

вом приближении ограничиться составляющими кинетической энер­ гии первого порядка малости, то уравнение (24.37) принимает вид

*р + _ 4 _ Д с о = _ ЛШ. _ . f £ i = f ( ф ) . (24.38)

Принятое первое приближение позволило получить уравнение движения с разделенными переменными, поэтому можно искать А© в функции угла поворота. Известное из курса математики ре­ шение неоднородного линейного уравнения (24.38) первого порядка имеет вид

Выполняя интегрирование показателя степени е, можно напи­

Если функция f (ф) периодическая, то, очевидно, будет перио­ дическим также движение начального звена, т. е. необходимо поло­ жить Дш (ф) = Дш (ф + Ф ) , где Ф — период функции f (ф) и ф отсчитывается от начала периода. Сформулированное условие перио­ дичности позволяет определить постоянную интегрирования С. Действительно

506

Вследствие периодичности изменения приращения угловой

Периодическую функцию / (ф) можно представить разложенной в ряд Фурье и тогда интеграл, стоящий в скобках в уравнении (24.39), можно представить суммой интегралов от простых гармоник sin и cos, умноженных на tBv. Выражения такого типа интегралов берутся из таблиц.

Возможно также и графическое решение задачи, последователь­ ность которого нетрудно установить. Для этого необходимо пред­ варительно преобразовать правую часть уравнения (24.38), приведя ее к виду

к кривошипу момента сил инерции основного или перманентного движения механизма при угловой скорости со = СЙу. В таком случае,

довательно, построить график / (ф). Затем график необходимо пере­ строить, умножая каждую из ординат / (ф;) на е в < Р г . В результате графического интегрирования можно получить интегральную функ­ цию. Через значение интеграла для конца периода вычисляется постоянная С, на величину которой необходимо сместить ось абс­ цисс интегральной функции уравнения (24.39). Наконец, умножая каждую из ординат нового графика С + J7 (<ç)eB<Pdq> на e~B<v, по­ лучим искомый график Асо (ф).

Нетрудно показать, что Асо (ф)с р = 0. Действительно, так как в пределах одного периода при стационарном движении работа сил движущих равна работе сил сопротивления, т. е.

507

Истинной средней угловой скоростью вращения называют угло­ вую скорость равномерного вращательного движения, при котором начальное звено опишет угол, равный углу поворота за время, равное периоду Т, в действительном неравномерном движении. Исходя из этого определения, можно истинную среднюю угловую

Истинную среднюю угловую скорость можно определить по заданной кривой сох в функции времени /.

Для действующих машин кривая, угловых скоростей может быть записана при помощи специальных самопишущих приборов — та­ хографов, после определения планиметрированием площади F, соответствующей периоду Т, истинная угловая скорость опреде­ ляется по формуле (25.1).

При расчетах функциональная зависимость ша от і непосредст­ венно не задана, но может быть определена, если найдена щ в функ­

609