книги из ГПНТБ / Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов

Аналогично получаем второе уравнение для обобщенной коорди­ наты ф2 :

Совместным решением системы дифференциальных уравнений (24.5) могут быть найдены законы движения начальных звеньев / и 2, следовательно, скорости и ускорения любых точек механизма.

§ 24.2. ПЕРМАНЕНТНОЕ И НАЧАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЗМА

При движении массы с моментом инерции J под действием мо­ мента M к ней следует приложить на основании принципа Д'Аламбера момент сил инерции

Сравнивая уравнения (24.4) и (24.6), найдем, что момент сил инерции приведенной массы механизма равен левой части уравне­ ния (24.4) с обратным знаком, т. е.

Если начальное звено вращается с постоянной угловой скоростью, то щ = 0 и, следовательно, момент сил инерции определяется только изменением приведенного момента инерции

В случае постоянной приведенной массы или в начале движения механизма, когда щ = 0, момент сил инерции будет равен

Правая часть уравнения (24.7) называется приведенным момен­ том сил инерции механизма. Приняв во внимание уравнения (24.8) и (24.9), формулу (24.7) можем представить так:

В связи с этим движение начального звена механизма можно рассматривать как сумму движений, в результате которых появ­ ляются моменты сил инерции Мі0 и М,-д.

Движение с постоянной угловой скоростью, в результате кото­ рого появляются приведенные силы инерции, обусловленные из­ менением приведенного момента инерции механизма, называется основным или перманентным движением. Движение же начального звена, порождающее момент сил инерции М;д , называется добавоч­ ным или начальным и происходит оно в предположении щ — 0.

490

В том, что слагаемые уравнения (24.7) представляют собой при­ веденные моменты сил инерции основного и добавочного движений, нетрудно убедиться.

Действительно, воспользовавшись общим выражением (22.10) для приведенного момента инерции механизма с одной степенью свободы, можем найти

Выполняя дифференцирование, имея в виду при этом, что

вольно выбранного звена ; механизма, следовательно,— представляет собой тангенциальную силу инерции рассматривае­ мого звена, т. е. проекцию полной силы инерции, приложенной в центре тяжести, на направление скорости центра тяжести звена. Отсюда следует, что произведение

dvsl

-mJ-dTvsj

представляет собой работу силы инерции Рі} звена /, а каждый из членов первой суммы выражения (24.11) — приведенную к началь­ ному звену силу инерции.

Аналогично можно показать, что каждый из членов второй суммы выражения (24.11), взятый с обратным знаком, представляет собой приведенный к начальному звену момент сил инерции звена /.

Таким образом, если начальное звено вращается с угловой ско­ ростью %, то в данный момент времени силы инерции, определяе­ мые угловой скоростью соІ5 дадут приведенный к начальному звену момент сил инерции

Л^ІО в дальнейшем будем называть приведенным моментом сил инер­ ции перманентного или основного движения механизма.

4 9 1

Для выяснения смысла первого слагаемого уравнения движения

добавочное ускорение, имеющее линию действия, совпадающую с направлением скорости, а план добавочных ускорений механизма будет подобен плану скоростей. Очевидно, что добавочные ускоре­ ния каждой из точек механизма относятся к скоростям этих точек,

Определяя для каждого из звеньев силу и момент силы инерции, можно написать выражение для приведенных к начальному звену моментов добавочных сил инерции и моментов сил инерции звеньев механизма, появляющихся при заданном угловом ускорении et начального звена:

Подставляя вместо asj и toу их значения, определенные из фор­ мулы (24.13), получаем

2т4|+2у^}=-еіЛ (24І4)

Выражение, заключенное в фигурные скобки, представляет со­ бой приведенный момент инерции механизма. Имея в виду полу­ ченные результаты, уравнение (24.4) движения механизма можно представить в таком виде:

Представление о начальном и основном движениях механизма, развитое Н. Е. Жуковским, может быть использовано для преобра­ зования уравнений движения механизма с двумя степенями свободы. Действительно, если движение механизма стационарное и колеба­ ния скорости незначительные, то в уравнениях (24.5) слева можно сохранить только первые два члена, соответствующие начальным движениям. Остальные члены, определяющие приведенные моменты М і 0 сил инерции основного движения, можно перенести в пра­ вую часть. В результате уравнения движения (24.5) принимают форму

а^х + са^и^Мх + Мю; ö 1 / 1 2 + (u2 y2 = M2-f-M2 o- (24.16)

Представление уравнений движения в форме (24.16) удобно при приближенном или численном интегрировании.

492

§ 24.3. ПРИМЕРЫ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА

Пример 24.1. Составить уравнение движения пневматического исполнитель­ ного механизма эпизодического действия (рис. 24.2) с качающимся цилиндром, если начало движения соответствует нижнему крайнему положению поршня.

Р.е ш е н и е. Вследствие того, что движущая сила, приложенная к поршню, определяется процессами заполнения камеры переменного объема и расширением воздуха, целесообразно в качестве начального звена принять поршень, а в каче­ стве обобщенной координаты — его перемещение относительно цилиндра, характеризуемое, например, координатой s.

Из рис. 24.2 имеем

493

Используя уравнение Лагранжа

который под действием электромагнитного поля создает силу сцепления, пре­ пятствующую сдвигу (в данном случае относительному вращению) частей а и b муфты. Предположим, что до реверсирования была включена муфта / ' . Тогда ведомая часть Ь муфты 2 вращается к моменту реверсирования с угловой ско­ ростью сл. = — (х>і. При отключении муфты /' и включении муфты / происходит сначала торможение, а затем разгон ведомого вала до угловой скорости (сколь­ жением муфты пренебрегаем).

Приведенный момент инерции реверсируемых масс

4Ѳ4

§ 24.4 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ СИЛ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПОЛОЖЕНИЯ ЗВЕНА

Наибольшие трудности при отыскании закона движения меха« низма представляет интегрирование уравнения движения, записан­ ного в виде уравнения живых сил или же в форме лангранжевых уравнений.

495

Решая такого рода задачу для неустановившегося движения механизма, например разгона машины, можно установить началь­ ные условия по заданному нулевому положению механизма. Mo если моменты являются функцией скорости пли времени, а приве­ денный момент инерции массы механизма переменный, т. е. зависит от положения начального звена, то точного решения при имеющемся математическом аппарате получить нельзя. Это послужило причи­ ной тому, что подобного рода задачи решаются приближенно. Если возникает необходимость установить закон движения при стационарном режиме, то трудность решения увеличивается вслед­ ствие того, что начальные условия не могут быть установлены без рассмотрения предшествовавшего неустановившегося режима ра­ боты машины. Поскольку это в большинстве случаев невозможно, то интегрирование уравнении движения производится последова­ тельными приближениями.

Интегрирование методом последовательных приближений. Рас­ смотрим случай движения механизма с переменной приведенной массой, на которую действует приведенный момент силы, завися­ щий только от положения начального звена и равный сумме приве­ денных моментов движущих сил н сил сопротивления:

М = Мр + М0.

где J0 и м„ — приведенный момент инерции механизма и угловая скорость начального звена, соответствующие началу отсчета неза­ висимого параметра — угла ф поворота начального звена; А (ф) =

щ = 0

ш в | / " ^ в ш ( ф ) |

т. е. закон изменения угловой скорости в функции положения ме­ ханизма вполне определен. Для выяснения функциональной зави­ симости ш от / необходимо найти еще и / = / (ф), определяемое интегралом

49в

Таким образом, закон движения или, иначе, закон изменения угловой скорости представляется в параметрической форме с пара­ метром ф.

Для стационарного движения должна быть задана средняя угло­ вая скорость начального звена в предположении, что требуемое соотношение между движущими силами и силами сопротивления поддерживается автоматическим регулятором.

Из уравнения кинетической энергии (24.17)

l/~2A (q>) . J„ .,

о) нельзя найти, потому что неизвестна м0 .

В связи с этим возникает необходимость закон изменения со

Ф= ф0 ; А (ф) и Л / (ф) — известные функции угла ф. Тогда можно записать

і+ J

В качестве первого приближения сохраним в квадратных скобках первый член разложения. Тогда

Интегрируя в пределах известного углового периода Ф для / (или, что то же самое, для ÜS.J) и разделив результат на Ф, найдем

497

Из сравнения полученных значений сос р

(ù0lAJcp

»— ( ' - ^ ) [ , + 7 5 А г ] -

-- ( ' - T - £ ) + 3 £ ( ' - f £ ) . •

Определяя, по-прежнему, из уравнения (24.21) среднюю угловую скорость, имея в виду, что АУс р = 0, найдем

Ф

же значение, поэтому может быть вычислен всего один раз. Выра­

Ф

определить <а0 с любой заданной точностью. Вследствие того, что члены разложения в квадратных скобках выражения (24.19), со­ держащие в знаменателе ю*, очень быстро убывают, для практиче­ ского использования можно ограничиться лишь двумя членами

498

При определении закона движения механизма с переменной при­ веденной массой, вследствие получающихся трансцендентных урав­ нений, решение приходится производить графическим путем.

Интегрирование уравнения движения Лагранжа. Уравнение дви­

Решение этого уравнения возможно только приближенным спо­

неизвестной угловой скорости щ. Однако, предполагая, так же как

499