книги из ГПНТБ / Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов

§ 23.1 КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МЕХАНИЗМА И РАБОТА СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В МАШИНЕ

В движении каждое из звеньев механизма обладает определен­ ной кинетической энергией, зависящей от массы звена, ее распре­ деления, от скорости центра тяжести и угловой скорости звена. При определении кинетической энергии звеньев механизма необ­ ходимо принимать во внимание характер движения звена: посту­ пательное, вращательное или сложное.

Если выделенное звено і механизма имеет массу пи, момент инерции JSi относительно оси, проходящей через центр тяжести S,-, скорость центра тяжести vsi и угловую скорость звена со,-, то его кинетическая энергия Еі может быть вычислена по формуле

(22.1)

При поступательном движении звена угловая скорость ш,- равна нулю, поэтому в выражении (22.1) сохраняется только первое сла­ гаемое. Кинетическая. энергия звена, вращающегося вокруг не­ подвижной оси, проходящей через центр тяжести Si, выражается вторым членом уравнения (22.1). При вращении звена вокруг оси О,, смещенной относительно центра тяжести на расстояние rsi,

ш? т

кинетическая энергия его £j=-g-«/o. где

Joi=Jsi + nirlt.

Если в механизме имеется k звеньев, то их кинетические энер­ гии складываются, и для кинетической энергии механизма можно написать выражение

Е = Е1-\~Еі-\-,,.-}-Еь

450

или, подставляя значение каждого из слагаемых, можно получить

к„ k

11

Впервой сумме выражения (22.2) исчезают слагаемые, соответ­ ствующие звеньям, вращающимся вокруг осей, проходящих через центр тяжести, а во второй сумме — слагаемые, соответствующие звеньям, совершающим поступательное движение.

Вмеханизмах с двумя степенями свободы кинетическая энергия механизма является функцией двух независимых скоростей. Для упрощения выражения кинетической энергии механизма с двумя степенями свободы целесообразно каждое из звеньев, как физиче­ ское тело, заменить системой размещенных в шарнирах дискретных масс. Тогда после определения скоростей каждой из точек меха­ низма можно без труда вычислить кинетическую энергию через угловые скорости двух начальных звеньев.

Пусть дан механизм (рис. 22.1, а) с начальными звеньями 1 и 2.

Предположим сначала, что угловая скорость ©2 = 0, а юх = 1. Тогда, приняв вектор скорости ѵА = /о,л = ід с помощью плана скоростей, найдем значение скорости точки В (вектор iß,). Если

щф\, то, умножив вектор івх на colt получим вектор ѵв1 = t's,^.

Аналогичное построение мож«о выполнить при условии, что

(оц = 0, а а>2 = 1. В результате определится вектор ѵв,.

Если одновременно отличны от нуля щ и а>2, то вектор скорости точки В определится как геометрическая сумма векторов ѵв1 (при toa = 0) и ѵв, (при щ = 0), т. е.

ляется из плана единичных скоростей. Действительно, так как (рис. 22.1, б)

іЪ = ів1 + ів, -f 2іВіів, cos іВіів,,

то

2/'в,/д, cos ÏBJB, = i% — (ißt + ів,).

Можно убедиться в том, что для скорости любой точки меха­ низма можно получить аналогичное выражение, если при помощи единичных планов скоростей, построенных сначала для % = 1 и

и» = (o\t\ + шЦо, + 2(ù1<ù2iXliXt cos О*, •

Имея возможность представить скорость каждой из точек меха­ низма, в которой сосредоточены дискретные массы, заменяющие

Рис. 22.1. Определение передаточной функции механизма с двумя степенями свободы

массы звеньев, в функции щ и со.,, выражение кинетической энергии можно представить в форме

Если на звенья механизма не действуют никакие внешние силы (движущие, технологического сопротивления, механического со­ противления) и работа внутренних сил равна нулю, то кинетиче­ ская энергия механизма остается постоянной (Е = const).

В реальных механизмах, выполняющих заданные функции в ма­ шинах, к ведомым звеньям прикладываются силы технологического сопротивления, к ведущим — движущие силы, а к отдельным звеньям механизма — силы тяжести, механические сопротивления Б виде сил трения на элементах кинематических пар, аэродинамиче­ ские сопротивления и др. Каждая из перечисленных сил произво­ дит работу положительную или отрицательную, а зависимости от ее направления относительно скорости точки приложения силы. Как правило, силы, приложенные к ведущим звеньям, производят положительную работу, а силы, приложенные к ведомым звеньям, и силы технологического сопротивления — отрицательную.

Изменение кинетической энергии механизма равно работе внеш­

452

К внутренним силам, действующим в механизме, следует отнести силы трения на элементах кинематических пар, силы упругости деформируемых звеньев и др. В подавляющем числе случаев рабо­ той внутренних сил пренебрегают. Однако в ряде машин этого сде­ лать нельзя. Например, расчет рессорного молота, включающего пружинящее звено, нельзя выполнить без учета изменения энергии деформации. Расчет механизмов транспортера перегрузочных мо­ стов без учета сил трения в шарнирах цепи (внутренние силы) производить нельзя, потому что ввиду особых условий работы цепей момент трения велик.

Взависимости от закона изменения сил, действующих в машине,

иизменения скоростей точек звеньев соответствующим образом

будет изменяться кинетическая энергия механизма.

§ 22.2. ПРИВЕДЕНИЕ МАСС И СИЛ

При анализе работы машины и определении закона движения начального звена механизма с одной степенью свободы удобно оперировать не действительными массами, которые движутся с пе­ ременными скоростями, а массами, им эквивалентными, условно перенесенными на какие-либо из звеньев механизма. .Точно так же силы или моменты, приложенные к отдельным звеньям механизма, могут быть условно заменены силами или моментами, приложен­ ными к какому-либо звену механизма.

Аналогичная замена может быть сделана и в механизме с числом степеней свободы более чем одна, в результате которой вместо меха­ низма можно рассматривать движение эквивалентных масс, свя­ занных с начальными звеньями.

Метод замены масс и сил механизма массой и силой, им экви­ валентными, носит название приведения масс и сил. Звено, на ко­ торое переносятся массы и силы, называется звеном приведения.

Условием эквивалентности механизма и его приведенной массы является равенство их кинетических энергий. Вследствие того, что изменение кинетической энергии механизма равно работе внешних сил, работа приведенного момента сил или приведенной силы должна быть равна сумме работ приводимых сил и моментов. Это будет соблюдено, если для любого момента времени будут равны мощности приводимых и приведенной сил.

Формулированные здесь условия эквивалентности дают воз­ можность определить приведенную массу и приведенную силу.

Пусть в состав механизма входит k звеньев, тогда выражение для кинетической энергии всего механизма может быть записано так:

453

Заменяя механизм приведенной массой, сосредоточенной в ка­ кой-либо из точек механизма, можно написать выражение для ее кинетической энергии в следующем виде:

По условию эквивалентности кинетические энергии приведен­

Механизм может быть заменен условным диском с переменной массой; в таком случае его кинетическая энергия равна

где J — момент инерции приведенной массы или, как принято его называть, приведенный момент инерции механизма.

Сравнивая теперь выражения (22.9) и (22.6), получаем

Если в качестве звена приведения выбрано начальное звено, вращающееся вокруг неподвижной оси, то скорость точки приве­ дения V = щг, где г — радиус-вектор точки приведения масс и сил.

Подставляя значение ѵ в выражение (22.8) и сравнивая его с выражением (22.10), находим

Таким образом, по известной приведенной массе m может быть легко найден приведенный момент инерции J механизма или на­ оборот.

Отношения ~ и ^ представляют собой передаточные функции,

зависящие только от положения механизма. В связи с этим можно сделать заключение, что приведенный момент инерции механизма является функцией лишь положения механизма, следовательно, ни от времени, ни от угловой скорости начального звена не зависит. Кроме того, можно заметить, что при непрерывном вращении на­ чального звена приведенный момент инерции является функцией периодической, так как положения каждого из звеньев через опре­ деленные промежутки времени повторяются. Наконец, следует отметить, что J всегда больше нуля.

454

В механизме с двумя степенями свободы кинетическая энергия зависит от щ и и2 , поэтому такой простой замены механизма одной

приведенной массой произвести нельзя. Воспользовавшись поня­ тием приведенного момента инерции выражение (22.4) можно пред­ ставить в форме

Здесь, кроме приведенных к начальным звеньям моментов инер­

При определении приведенной силы необходимо прежде всего найти мощность приводимых сил, представляющую собой произ­ водную работы А по времени. Обозначив через РІ и ѴІ соответственно равнодействующую силу, действующую на звено і, и скорость ее точки приложения; М/ и со* — момент, действующий на звено і,

где at — угол между приводимой силой и скоростью ее точки при­

ложения. Соответственно мощность окружной приведенной силы,

Приравнивая мощность приведенной силы сумме мощностей приводимых сил, найдем

Я = + (22.15)

jî

Вслучае замены механизма диском с переменным приведенным моментом инерции J следует найти приведенный момент, мощность которого равна

Сравнивая выражения (22.13) и (22.16), находим

Между приведенными к одному и тому же звену моментом и силой Р существует связь

М = Рг.

455

На основании изложенного необходимо заключить, что приве­ денная сила и приведенный момент механизма с одной степенью свободы являются функциями положения механизма. Но в том слу­

Действие заданной силы Рк можно заменить действием при­ ложенных к начальным звеньям приведенных моментов М,л и Мк2, сумма мощностей которых должна быть равна мощности заданной силы Рк. Поэтому можно написать

M*,û>l + Мк,а2 = Ркщікі cos ß A l -f- Pk(û2ikt cos ß M -

Так как щ и аь произвольны, то коэффициенты при них в пра­ вой и левой частях уравнения должны быть равны. Отсюда по­ лучаем

При наличии нескольких сил их приведенные моменты сумми­ руются, поэтому

к

= 1]/у*, cos

к

< И * = ] £ / Ѵ * , cosßf t 4 .

I

Составляющие полного приведенного момента силы к данному начальному звену являются функциями единичных передаточных функций этого звена.

Пример 22.1. Составить выражение для приведенного момента инерции крнвошипно-ползунного механизма (рис. 22.2),

456

Р е ш е н и е . При опреде­ лении приведенного момента инерции кривошипно-ползуино­ го механизма можно воспользо­ ваться аналитическим выраже­ нием для скорости поршня и уг­ ловой скорости шатуна или же планами скоростей. Определение приведенного момента инерции при помощи планов скоростей значительно проще, поэтому рас­ смотрим этот способ. Если Ob (рис. 22.2, а) — вектор скорости точки В на повернутом плане

Согласно уравнению (22.8) приведенная к точке А масса кривошипно-пол- эуиного механизма равна

плана скоростей, получаем формулу, при помощи которой может быть вычислена

Найденное значение приведенной массы дает возможность определить при­ веденный момент инерции механизма

J=mP0A.

§33.3. УСЛОВИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ И НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ МАШИН

Стационарный режим работы машины, при котором положения каждого из звеньев механизма периодически повторяются, назы­ вается еще установившимся режимом. Период при установившемся режиме работы обычно соответствует времени некоторого числа

457

оборотов начального звена и может быть равен времени одного, двух и т. д. оборотов или же долей оборота.

В двигателе внутреннего сгорания, цикл работы которого опи­ сан в § 15.1, период равен времени двух оборотов. Если двигатель многоцилиндровый, то период может быть равен времени некоторой доли оборота. Установившийся режим работы машины характери­ зуется тем, что все механические величины, как-то: скорости и ускорения точек, силы и пр., выраженные в функции времени, из­ меняются периодически. Если указанные механические величины переменные, изменяются не периодически, то режим работы ма­ шины неустановившийся. Сюда следует отнести разбег машины, который предшествует стационарному режиму, выбег или тормо­ жение, периоды регулирования скорости при изменении режима работы и, наконец, реверсирование. Реверсирование, как постоян­ ный режим работы, встречается во многих машинах. При таком режиме работают, например, продольно-строгальные станки, в ко­ торых механизм рабочего движения, сообщающий столу с закреп­ ленным на нем изделием возвратно-поступательное движение, периодически реверсируется, т. е. сначала останавливается, а за­ тем разгоняется до некоторой постоянной скорости.

(рис. 22.3, а) изменяется периодически. Поэтому в начале и в конце периода Т она имеет одинаковые значения, т. е.

а>і=CÖ2=a>3 = . . .

Если машина находится в состоянии разгона, то угловая ско­ рость постепенно нарастает и в конце второго оборота она будет больше, чем в конце первого оборота, в конце третьего оборота — больше, чем в конце второго, и т. д.

Период Т при установившемся движении соответствует углу поворота Ф начального звена, являющемуся угловым периодом для приведенного момента инерции. Таким образом, обобщая, можно говорить, что при разгоне угловая скорость в начале угло­ вого периода меньше, чем в конце (рис. 22.3, б), при торможении,

Рис. 22.3. Изменение угловой скорости начального звена при стационарном и нестационарном движении

458

наоборот, угловая скорость в начале больше, чем в конце углового периода (рис. 22.3, б). При этом периодичность относится не к угло­ вой скорости, а к приведенному моменту инерции механизма.

Относя к началу углового периода угловую скорость аи а к концу а>2, можно записать для случая разгона щ < ш2 , Для случая торможения а»! > <а2.

Обозначим сумму приведенных к начальному звену моментов сил движущих через МР ,а сумму приведенных моментов сил тех­ нологического и механического сопротивлений через М0.

В начале, и конце углового периода Ф приведенный момент инерции J машины имеет одно и то же значение, поэтому можно записать так:

Для установившегося движения со2 = wl f поэтому

Полученные динамические признаки установившегося и неуста­ новившегося движения, выраженные формулами (22.21), дают возможность при расчете машины установить соотношение между средними значениями моментов сил движущих и сил сопротивле­ ния, соответствующее заданному режиму работы.

§22.4. ПЕРЕДАЧА РАБОТЫ И МОЩНОСТИ. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ МАШИН

Выше указывалось, что цель применения машины — это произ­ водство некоторых технологических операций в рабочих машинах, преобразование энергии в машинах трансформирующих и т. д. Технологическая трансформация материала связана с затратой энергии на преодоление сил технологического сопротивления. В одних случаях, как, например, в прокатных станах, прессах, металлорежущих станках, дробильных машинах и др., работа, производимая движущими силами, в результате преодоления сил технологического сопротивления может быть велика, в других

459