Принимая |
частные значения |
для ф, получим максимальное |
давление <7П1ах |
= ~ |
при ф = 0 и |
минимальное |
значение qmiu = 0 |
при ф = 90°. |
|
|
|
|
Подставляя в формулу (18.50) найденное значение для -^.полу |
чаем |
|
|
|
|
|
|
q = qmaxCOSq>. |
(18.51) |
Таким образом, |
предположение равенства |
износа б 0 в любой |
точке вкладыша в направлении действующей силы приводит к косинусоидальному закону изменения удельного давления на поверх ности соприкосновения в зависимости от угла ф.
Выделяя элементарную |
площадку на цапфе |
радиуса г и длиной |
Ь, координируемую углом |
ф (рис. 18.16, а), прикладываем к ней |
нормальную силу dN — qrbdy и силу трения |
dF = \iqrbd<p и со |
ставляем условия равновесия цапфы, предполагая, что угол охвата равен 2ß:
|
+ ß |
|
+ ß |
|
|
|
Q = |
jj cos ф dN + \ |
sin <pdF. |
|
+ ß |
- ß |
|
- ß |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ sin qdF в силу симметричности |
равен нулю, поэтому |
- ß |
|
|
|
|
|
|
|
+ ß |
|
+Р |
|
|
+ß |
|
Q = ^ cos <fdN = qmaxbr |
^ cos2<pdq> = qmaxbr |
W - i + I |
cos 2 ф ^ Ф . |
- ß |
|
- ß |
|
|
- ß |
|
Интегрируя в |
пределах |
от —ß до |
+ ß , |
получаем |
|
Q = qmaxbr |
| - + |
- ^ 8 І п 2 ф ] ^ = |
( 7 т а х о г ^ + ^ 5 І п 2 Р ] - |
Отсюда легко найти максимальное удельное давление |
|
Чтах — |
7 |
j |
Г~. |
(18.52) |
|
|
|
6 ^ ß + |
y s i n 2 ß |
|
|
Момент трения Мр определяем из второго условия равновесия:
+ ß |
+ß |
Мр= § r dF = brzqma%^ § созфгіф. |
- ß |
- ß |
Произведя интегрирование, |
получим |
Mf=2lV2 <7m axM.Sinß,
или после замены атйК |
его значением |
имеем |
|
|
|
Mr |
2rQ\i |
sin ß |
|
|
|
|
ß + i - |
sin 2ß |
|
(18.53) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
угол охвата |
2ß == л |
или, иначе, |
ß = , то для qmax и Мр |
получаем |
выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
2Q |
_ _4Q _ |
, 9 7 |
Q . |
(18.54) |
|
?гаах — nbr |
nbd |
l ' |
bd' |
|
|
|
|
MF |
|
|
|
|
(18.55) |
Значение момента трения можно подсчитать и по формуле (18.39), если в нее вместо коэффициента трения ц ввести приведенный коэф фициент трения и/ = 1,27 и..
Сравнивая момент трения, полученный в предположении каса ния цапфы с втулкой по линии, с моментом трения при скольжении цапфы во втулке при косинусоидальном законе распределения дав ления на поверхности соприкосновения, получаем их отношение, как 1 : 1,27.
§ 18.9. МОМЕНТ ТРЕНИЯ ПЯТЫ
Если вдоль оси вала действует сила Q, то опорная часть его назы вается пятой, а подшипник, воспринимающий осевую нагрузку, называется подпятником. По геометрической форме элементы кине матической пары могут быть выполнены в виде поверхностей враще ния, например конической, нормаль в любой точке которых пересе кает ось вала.
В частном случае опорные поверхности пяты и подпятника могут быть выполнены в виде плоскости (круг) или в виде плоского кольца. В этом случае пята называется плоской. Плоская кольцевая пята может иметь несколько опорных поверхностей, смещенных друг относительно друга вдоль оси, при этом в сечении плоскостью, про ходящей через ось вала, опорные части пяты и подпятника напоми нают гребенку. Такого рода пяты получили название гребенчатых.
Величина вычисленного момента сил трения, возникающих под действием осевой силы Q при скольжении пяты по подпятнику, зависит от принятого закона распределения удельного давления на опорной поверхности. Для новых пят удельное давление можно счи тать равномерно распределенным, а для приработавшихся — его можно определить из условия одинакового износа во всех точках опорной поверхности.
Рис. 18.17. Плоская пята
Выделим |
элементарную |
площадку |
dS = pdpdq |
и приложим |
к ней нор |
мальную силу dN = qdS и силу трения dF — \idN (рис. 18.17). Из условия рав новесия имеем
Q=\dN |
COS(KCQ) |
и |
|
MF=\pdF. |
(18.56) |
Принятая гипотеза относительно ха рактера распределения давления на опор ной поверхности, уравнение которой должно быть задано, дает возможность определить удельное давление q, а сле довательно, и момент сил трения. Оста вляя в стороне общее очертание элемен тов кинематической пары, выведем рас четные формулы для плоских кольцевой
и сплошной пят в случае равномерного распределения удельного давления и в случае распределения удельного давления при оди наковом износе во всех точках пяты.
При q = const и cos(N, Q ) = 1 для плоской кольцевой пяты,
|
|
|
|
|
г, 2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = $ |
\ qpdpdq> = nq(rl — rf); |
(18.57) |
отсюда |
|
|
|
|
ri |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = |
, „ Q . |
|
|
(18.58) |
В соответствии с этим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MF= |
р<? $ |
§ Р2 |
dp dq, = |
4 pQ - ^ і - . |
(18.59) |
|
|
|
|
|
г, О |
|
|
|
|
|
|
Для |
сплошной пяты |
г х |
= 0 и г2 |
= |
г, |
поэтому |
|
|
|
|
|
q |
= |
^ |
и M f |
= 4 p Q r . |
(18.60) |
Если предположить силу трения распределенной по окруж |
ности, |
имеющей |
приведенный |
радиус |
трения |
г ' , то для кольцевой |
|
2 |
гг |
гз |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ПЯТЫ г' — О |
; |
г , |
а |
для |
сплошной |
ПЯТЫ Г |
= -=- Г. |
|
|
О |
Tg — /" j |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
При |
определении |
момента |
трения |
из |
условия |
одинакового |
износа во всех точках опорной |
поверхности нужно считать, что из |
нос в |
направлении |
|
нормали |
|
|
|
|
|
|
422 |
|
|
|
|
б Л = cqv = сщр — cxqp. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для плоской пяты бдг = 8Q, поэтому qp = const — А, т. е. удельное давление, согласно гипотезе о постоянном износе вдоль нормали, изменяется по гиперболе, отнесенной к асимптотам, од
ной из которых является ось вала. На рис, 18.17 изображена |
кривая |
изменения удельного давления для плоской кольцевой пяты. |
При условии постоянства |
износа |
получаем |
|
Q = A I |
\dpdy = 2nA ( г 2 - г д ) , |
(18.61) |
|
гх о |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
» |
|
Л |
Q |
- |
в ' * |
• д |
г |
|
2 я ( г г — Г , ) |
П(/-5 — A f ) |
Vcp'cp. |
|
где |
|
|
|
|
|
|
_ |
г [ + |
/-о |
|
Q |
|
|
' с р — |
2 |
|
И <7с р — П ( Г | _ ^ ) • |
|
Найденное значение постоянной А определяет давление в любой точке опорной поверхности, расположенной на расстоянии от оси вала:
А9сргср
Для момента трения после подстановки q в формулу (18.56) получаем
MF=\i,qzvrcp |
J |
$ р Ф ^ ф = Ц9сР я(гз — rï)r C p = u.Qrcp. (18.62) |
|
ri |
о |
В кольцевой пяте силу трения можно считать распределенной по окружности среднего радиуса гс р .
Применение сплошных пят менее выгодно, чем кольцевых, по тому что теоретически наибольшее удельное давление в центре сплошной пяты (р = 0) равно бесконечности, а практически дости гает большей величины.
Если пята имеет несколько опорных поверхностей, например k, то момент трения, в предположении равномерного распределения усилия между всеми гребнями пятьіу будет такой же, как и для коль цевой пяты.
В дисковых фрикционных муфтах, применяемых для периоди ческого сцепления и расцепления ведомого и ведущего валов, на каждую из трущихся поверхностей воздействует одинаковое усилие, потому что диски могут в процессе нажатия на них сме щаться вдоль оси вала-. Поэтому, если общее число дисков k, то момент трения фрикционной муфты может быть определен по фор муле
Т Р Е Н И Е В В Ы С Ш И Х К И Н Е М А Т И Ч Е С К И Х П А Р А Х
§ 19.1. ТРЕНИЕ ПРИ КАЧЕНИИ (ТРЕНИЕ ВТОРОГО РОДА)
В реальных механизмах относительное движение звеньев, обра зующих высшую кинематическую пару, может определяться чи стым скольжением элементов кинематической пары, чистым каче нием или качением, сопровождаемым скольжением. Качение со скольжением имеет место, например, при относительном движении профилей зубьев колес, при относительном движении кулачка и толкателя плоского или грибовидного и в других случаях.
В некоторых случаях различают еще трение верчения, т. е. сопротивление, появляющееся при относительном вращении звеньев, образующих высшую кинематическую пару, вокруг оси, совпадаю щей с нормалью к поверхностям в точке касания их.
Такое относительное движение приводит, в конечном итоге, к появлению сопротивления при скольжении малых площадок, определяемых деформацией материалов в зоне, смежной с теорети ческой точкой касания. Момент сил трения, появляющийся при вер чении, можно определить так же, как и в случае плоской пяты, выяснив предварительно закон распределения удельных давлений на площадке касания.
Сопротивление, оказываемое телом при чистом качении, полу чило название трения качения или трения второго рода. Природа этого вида трения иная, чем природа трения при скольжении. Со противление, появляющееся при качении тел друг по другу, опре деляется, главным образом, внутренним трением материала.
Если материал плоскости (рис. 19.1, а) имеет модуль упругости En = со, то под действием силы Q деформируется только каток; если последний неподвижен, то деформация симметрична относи тельно нормали и, следовательно, реакция проходит через центр катка. В процессе деформации катка имеет место скольжение в раз личных точках площадки касания, в результате чего появляются внешние силы трения, диаграмма распределения которых симмет рична относительно нормали к плоскости в теоретической точке касания, т. е. силы трения, появляющиеся при деформировании
|
|
|
|
|
|
|
|
катка, |
взаимно |
уравновеши |
|
ваются. Аналогичная |
картина |
|
при неподвижном катке будет |
|
и в том случае, когда модуль |
|
упругости |
катка |
Ек — со, |
|
т. е. |
деформируется |
только |
|
плоскость (рис. 19.1, б), или |
|
же |
когда Ек |
Ф О и |
Еп |
ф О, |
|
т. е. |
|
когда |
деформируются |
|
каток |
и плоскость. |
|
|
|
Очевидно, что при механи |
Рис. 19.1. Деформации катка в процессе |
ческом |
перенесении |
закона |
качения |
распределения |
удельных |
да |
|
влений при неподвижном катке на случай качения катка никак нельзя объяснить появление сопротивления при качении, так как силы трения при скольжении в процессе деформации при симмет ричном законе распределения давлений взаимно уравновешиваются.
Отсутствие точных сведений о характере деформации катящихся тел и сложность проведения экспериментов заставляют выдвигать гипотезы, более или менее удовлетворительно объясняющие при чину появления сопротивления при качении.
Рейнольде объясняет появление трения второго рода тем, что при взаимном сжатии перекатывающихся элементов появляются различные деформации, зависящие от модуля упругости. Поэтому появляется скольжение в отдельных точках, определяющее сопро тивление при перекатывании. У неподвижного катка силы трения, появляющиеся при скольжении в результате деформации поверх ности, симметричны относительно нормали, потому что при его нагружении скольжение в точках, симметричных относительно нормали, противоположно. Во время качения катка скольжение в симметричных относительно нормали точках происходит в одном направлении, следовательно, силы трения складываются. В объяс
нении Рейнольдса |
причин появления |
сопротивлений качению |
можно отметить противоречия. |
|
Действительно, |
так как сила трения |
F и движущая каток сила |
Р сводятся к паре сил, а при симметричном распределении деформа ции реакция проходит через центр катка, в котором приложена также сила R, то момент пары сил F и Р оказывается неуравнове шенным. Это обстоятельство вызывает сомнение в правильности выдвинутого Рейнольдсом объяснения причин появления сопротив ления при качении.
В некоторых случаях предполагают, что при качении впереди соприкасающихся элементов движется волна материала, определяю щая смещение точки приложения реакции в сторону движения катка (рис. 19.2).
Величина деформации зависит от скорости нагружения, что под тверждается рядом опытов. Следовательно, распределение деформа-
ции на площадке касания будет зависеть не только от величины радиусов кривизны элементов катящихся тел и их упругих констант, но еще и от относительной угловой скорости, имеющей место при качении.
Таким образом, можно считать, что сопротивление при качении зависит от прижимающей силы, модулей упругости материалов пере катывающихся тел, радиусов кривизны элементов, коэффициентов трения материалов и относительной угловой скорости тел.
Если бы были известны упругие постоянные материалов катя щихся тел и аналитическое выражение несовершенства упругости материала, то сопротивление при качении можно было бы вычис лять. Однако ввиду непроверенности гипотез о причинах появления сопротивления при качении и сложности картины распределения давлений сопротивление при качении определяется эксперимен тально.
Предполагая, что вертикальная составляющая реакции смещена на величину ô от направления прижимающей силы Q (рис. 19.3), определим из условия равновесия равномерно движущегося катка
силу Р, |
которую |
нужно приложить на заданном |
расстоянии у |
от точки |
касания |
элементов: |
|
|
|
Py = QÔ |
(19.1) |
или |
|
|
|
|
|
|
(19.2) |
ô получило название плеча трения или, иначе, коэффициента трения второго рода и обычно измеряется в сантиметрах.
Из формулы (19.2) следует, что величина силы Р зависит от ее точки приложения. В ліесте касания можно мыслить себе приложен ной силу трения F = \iQ, которая в этом случае называется силой сцепления. Если Р < \iQ, то каток в точке касания «удерживается» и происходит качение. Наоборот, если величина силы Р, определен ная из формулы (19.2), больше F, то качение невозможно. Каток
Q
Р
тж
Р и с 19.2. Качение упруго |
Р и с 19.3. Определение |
го катка по упругому осно |
коэффициента трения |
ванию |
качения |
42Ѳ »
будет скользить |
по |
плоскости, потому |
что движение происходит |
в направлении |
меньшего сопротивления. |
|
Таким образом, |
условием |
качения |
будет |
следующее: |
|
|
P<F |
или Ц > у . |
(19.3) |
Часто принято считать, что сопротивление при качении меньше, чем сопротивление при скольжении элементов. Это справедливо только для определенных значений плеча у силы Р. Если
то сопротивление при качении больше, чем при скольжении, т. е. если к катку прикладывается сила Р, то относительным движением будет скольжение. Если к катку, при d катка, удовлетворяющем неравенству (19.4), прикладывается пара сил, то ее момент будет больше Fd, а составляющая пары сил, имеющей плечо d, будет больше предельного значения силы трения Р> F.
Во многих случаях силу Р прикладывают в центре катка, тогда
Из формулы (19.5) видно, что с уменьшением радиуса катка сила, потребная для перекатывания, увеличивается.
§19.2. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ТЕЛ НА КАТКАХ
Сцелью уменьшения силы Р, которую нужно прикладывать для перемещения грузов по плоскости, применяют катки. В этом случае сопротивление при перемещении груза может быть значительно уменьшено по сравнению с тем, которое появляется при перемещении груза «волоком», т. е. по сравнению с тем случаем, когда на пере мещаемое тело действует сила трения первого рода, появляющаяся при относительном скольжении поверхностей.
Допустим, что транспортируемое в горизонтальном |
напра |
влении тело весом Q установлено на платформе (рис. .19.4), |
катящейся |
на |
|
катках / |
|
|
|
|
|
и |
2. |
Для |
перемещения i |
P f |
ç |
, |
' |
і Р г |
платформы |
к |
ней |
нужно |
J |
|
' |
* |
приложить |
силу |
Р, |
рав |
|
|
|
|
|
ную |
сумме |
сил |
/>! |
и |
Р2, |
|
|
|
|
|
действующих |
со |
стороны |
|
|
|
|
|
платформы |
на |
катки / |
и 2 |
|
|
|
|
|
и |
приложенных |
в |
точ |
|
|
|
|
|
ках |
|
касания |
их |
с |
плат |
|
|
|
|
|
формой. |
|
|
|
|
Рис. |
19.4. |
Перемещение |
тела |
на |
катках |
Давление со стороны платформы на катки может быть определено по формулам
1 4 1 4 а , - И г
И
Если веса катков 1 п 2 соответственно Q[ и Qî, то реакции Rtl и R.ît действующие со стороны неподвижной плоскости на катки, будут равны
Если коэффициент трения второго рода при качении катка по плоскости ô, а при качении катка по платформе б', то моменты со противления при качении каждого из катков определяются равен ствами
P1d = R16 + Q1ô' и P2 d = /?2Ô + Q2 ô'.
Подставляя значения реакций Rx и /?2 и преобразуя, будем иметь
я = Р і + я8 =-!(о+о') + (<2і+(й)4.
Ели Q'i — Q'i — Q', то
P = f(ô + 6')-(-AQ'. |
( 1 9 . б ) |
Во многих случаях весом катков можно пренебречь, тогда
P = - | ( ô + ô'). |
(19.7) |
Из формулы (19.6) видно, что для уменьшения силы тяги Р диаметр катков следует брать по возможности большим.
Сила тяги Р при качении груза с платформой на катках будет меньше силы тяги Р' = F = pQ при перемещении платформы во локом, если
где р. — коэффициент трения платформы при ее скольжении на плоскости.
Неравенство (19.8) дает возможность установить соответствую щий диаметр катка d, при котором скольжение отсутствует:
где (.1 — коэффициент трения при скольжении катка по плоскости.
Рис. 19.5. Роликсшые направляющие
Диаметр катка должен быть выбран так, чтобы удовлетворялось неравенство (19.8) для меньшего из коэффициентов трения при скольжении катков по плоскости и по платформе. В машинах с целью уменьшения трения, появляющегося при относительном поступа тельном движении звеньев, применяют роликовые направляющие (рис. 19.5), в которых ролики перекатываются по стальным каленым планкам. Коэффициенты трения второго рода ô и о' в этом случае должны быть приняты одинаковыми, вследствие чего радиус ролика
может быть определен из неравенства г > — . м-
Роликовые направляющие применяют сравнительно редко, по тому что изготовление их в индивидуальном порядке обходится значительно дороже, чем обычных направляющих, при которых элементы поступательной пары скользят один по другому.
§ 19.3. ТРЕНИЕ В РОЛИКОВЫХ И ШАРИКОВЫХ ПОДШИПНИКАХ
Для уменьшения момента трения во вращательной паре приме няются шариковые или роликовые подшипники, если сила дейст вует на вал перпендикулярно к его оси, или шариковые и роликовые подпятники, при действии силы вдоль оси вала.
Шариковые или роликовые опоры позволяют заменять во враща тельной паре трение скольжения трением качения, появляющимся при качении шариков или роликов по внутреннему и внешнему кольцам.
На рис. 19.6, а изображена схема шарикового подшипника. Приложенная к валу сила Q через внутреннее кольцо / пере
дается шарикам 2, которые нагружаются неравномерно. Наиболь шую нагрузку воспринимает шарик с центром, расположенным на линии действия силы Q, а наименьшую — шарик с центром на ли нии, перпендикулярной Q. Нагрузку воспринимают только те ша рики, которые располагаются ниже диаметра АА.
Определим силу Pit воспринимаемую шариком, координирован ным углом уі относительно линии действия силы Q; расположение шариков предполагаем симметричным.
Под действием сил РІ шарики деформируются, причем наиболь шую деформацию Х0 претерпевает тот шарик, центр которого лежит на направлении действующей на вал силы Q. По аналогии с прира ботавшейся втулкой, износ которой изменяется по закону косинуса,
