книги из ГПНТБ / Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов

§ 18.5. ТРЕНИЕ В ВИНТЕ И ЧЕРВЯЧНОЙ ПЕРЕДАЧЕ

Винтовую поверхность можно рассматривать как частный случай наклонной плоскости, навернутой на цилиндр. Угол подъема такой плоскости определяется в однозаходном винте отношением шага t винтовой нарезки, равного сумме Sx + 52 , т. е. толщины витка Sx n ширины впадины 52 , к длине окружности среднего диаметра вин­ товой нарезки:

tga. = —t5 — ,

Если винт имеет k заходов, а шаг винта t по-прежнему равен сумме 5j + 52 , то

Момент, который нужно приложить к винту для определения аксиальной силы Q, зависит от угла подъема винтовой нарезки и силы трения, возникающей на ней в процессе движения. Выделяя из винтовой поверхности элементарную площадку и прикладывая к ней силы dN (рнс. 18.10), нормальную к поверхности, и dF, на­ правленную по касательной к средней линии винтовой поверхности, можно установить связь между силой Q и моментом М, предполагая давление по всей поверхности винтовой нарезки распределенным равномерно. Полная элементарная реакция dR, равная геометри­ ческой сумме сил dN и dF, так же как и dN, лежит в плоскости, касающейся среднего цилиндра, т. е. в плоскости, параллельной оси винта.

Если винт вращается силой Р, то при подъеме вверх условия равновесия винта можно написать в следующем виде:

Q — \ dN cos а — р, $ dN sin а = (cos а — р, sin а) jj dN.

Отсюда нормальная сила N, распределенная по средней линии винтовой нарезки:

Момент M — 2Ра уравновешивается суммой элементарных мо­ ментов сил трения и нормальных давлений относительно оси винта. При этом получаем

2Pa = r c p Q d i V sin а -\-\i\dN cos aj — rzpN (sina-f-u. cos a). .

Заменяя N найденным выше значением из уравнения (18.35), получаем для момента M выражение

410

или, введя вместо коэффициента трения угол трения р, получаем формулу для определения силы Р на рукоятке:

P = ^ p Q t g ( a 4 - p ) . (18.36)

При противоположном на­ правлении движения винта эле­ ментарные силы трения меняют направление, а это соответствует изменению знака угла трения р. Заменив в выражении (18.36) р на — р, получаем в этом случае следующую формулу:

Выведенными формулами можно воспользоваться для определе­ ния силы Р, которую следует приложить для вращения винта с ост­ роугольной нарезкой или червячной передачи, если силы трения вычислять по так называемому приведенному коэффициенту трения

вой линии. Очевидно, что в таком случае и условия самоторможения

411

на величину плеча h, зависящего от коэффициента трения и. и радиуса г цапфы. . Нетрудно представить, что при неподвижной цапфе ее центр занимает наиболее низкое положение и линия дей­

Прикладывая к цапфе внешний момент М, заставим ее катиться по втулке до тех пор, пока не появится скольжение; при этом точка касания втулки и цапфы переместится в точку А. За время перека­ тывания цапфы в пределах дуги ВА касательная составляющая пол­ ной реакции изменится от нуля до своего предельного значения,

Как это следует из.рис. 18.12, момент сил трения можно предста­ вить так:

Mp=Qh. (18.41)

Сравнивая формулы (18.40) и (18.41), находим

+ 2

или, пренебрегая у по сравнению с единицей, получаем оконча­ тельно

Плечо h, перпендикулярное к линии действия полной реакции R, зависит только от размеров цапфы и коэффициента р трения, т. е. является константой для данной цапфы.

413

При кинетостатическом расчете механизмов направление полной реакции R неизвестно, поэтому нельзя указать заранее, каково положение точки А касания цапфы и втулки. Однако, вычислив по заданным \х и /' плечо h и описав окружность из центра цапфы ра­ диусом, равным h, можно направить по касательной к ней полную реакцию R; ее величина и линия действия определяются в результате кинетсстатнческого расчета элементарной статически определимой группы. Круг, имеющий радиус, равный Ii, получил название круга трения.

При кинетостатическнх расчетах, производимых с учетом сил трения в шарнирах, полную реакцию в шарнире считают проходя­ щей не через центр шарнира, а направленной по касательной к кругу трения, радиус которого определяют по формуле (18.42).

Если цапфа должна быть самотормозящейся, то полная реакция должна проходить внутри круга трения, потому что только в этом случае касательная составляющая полной реакции R будет меньше р/Ѵ и, следовательно, угол между силами N и R будет меньше угла трения. Это приводит к тому, что сила, стремящаяся вывести цапфу из равновесия, проходит внутри угла трения, т. е. движение, как это было показано выше при рассмотрении движения тела по пло­ скости, невозможно.

Самотормозящиеся цапфы широко используют при устройстве эксцентриковых зажимов в приспособлениях, позволяющих быстро закреплять и освобождать обрабатываемые на станках изделия, и в других случаях.

Пример 18.1. Определить эксцентрицитет е эксцентрикового зажима задней бабки токарного станка (рис. 18.13, а), если радиус цапфы гх = 20 мм, радиус эксцентрика г, = 25 мм и коэффициент трения и, = 0,1. Эксцентриковый зажим должен быть самотормозящимся при любом положении эксцентрицитета.

Рис. 18.13. Эксцентриковый зажим

414

Р е ш е н и е . Находим радиусы h± и /і2 кругов трения для цапфы и эксцен­ трика:

ее линия действия будет касаться круга радиуса /г2, но не будет проходить внутри круга трения радиуса hlt если эксцентрицитет расположен горизонтально, т. е. цапфа эксцентрикового зажима не будет самотормозящейся при горизонтальном положении эксцентрицитета е. Повернув цапфу на некоторый угол так, чтобы общая касательная к кругам трения эксцентрика и цапфы была вертикальна, найдем границы самоторможения эксцентрикового зажима. На рис. 18.13, б показан угол 2ß, располагая в пределах которого эксцентрицитет е, получим

Если нужно воспроизвести в эксцентриковом зажиме больший эксцентри­ цитет при тех же условиях, то следует увеличить радиус цапфы или эксцентрика.

§18.7. ПРИМЕНЕНИЕ КРУГА ТРЕНИЯ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ МЕРТВЫХ ПОЛОЖЕНИЙ МЕХАНИЗМА

Мертвым называется такое положение механизма, при котором его звенья лишены возможности перемещаться вследствие тормозя­ щего действия сил трения. В мертвом положении механизм нахо­ дится в состоянии самоторможения, т. е. движение механизма невоз­ можно при любых значениях движущей силы. Следует иметь в виду, что механизм может не иметь мертвых положений, если движущую силу прикладывать к соответствующему звену механизма. Напри­ мер, кривошипно-ползунный механизм будет иметь мертвые поло­ жения в том случае, если движущая сила прикладывается к поршню; мертвые положения в нем отсутствуют, если момент сил приклады­ вается к кривошипу.

Покажем на конкретных примерах определение мертвых положе­ ний механизма.

На рис. 18.14 приведена схема кривошипно-ползунного меха­ низма, на поршень которого действует движущая сила Q.

Предположим, что размеры цапф В и С таковы, что моментом сил трения их можно пренебречь, а в цапфе А момент трения опре­ деляется реакцией Р41 и радиусом hA круга трения, равным hA =

=f i r д .

При трогании механизма сила Р, передающаяся от поршня к кривошипу, действует вдоль шатуна. Реакция Рл в шарнире А параллельна силе Р и направлена по касательной к кругу трения,

415

Круг трения

т

Рис. 18.14. Мертвые положения крнвошипно-ползунпого механизма

Вследствие того, что сила Р для кривошипа является движущей, движение возможно только в том случае, если момент силы Р отно­ сительно оси вращения кривошипа больше момента трения, т. е. если

/ л в sin ( ф + !};)>/;,, .

Если направление силы Р пересекает круг трения, то ее момент относительно оси вращения кривошипа меньше предельного значе­ ния момента трения н, следовательно, действием силы Р кривошипу движения сообщить нельзя. Зона мертвых положений кривошипа соответствует углу 2ф0 , определяемому из условия касания линии действия силы Р круга трения для цапфы А.

Из прямоугольного треугольника ACQD имеем

416

Так как углы ß, я|і0 и у малы, то синус можно заменить углом, а косинус принять равным единице. Углыа|.і0 и <р0 связаны равенством

sin г)?0 = Л, sin фо

или

Поэтому, заменяя ß и у их приближенными значениями, получаем для вычисления угла ф0 , определяющего зону мертвых положений, следующую формулу:

После преобразования имеем

*»=^отг'AB -- (I8-47)

Аналогично может быть установлена зона мертвых положений для диаметрально противоположного положения кривошипа.

§ 18.8. ТРЕНИЕ В ПРИРАБОТАВШЕЙСЯ ЦАПФЕ

Шероховатости, получающиеся при обработке рабочих поверх­ ностей цапфы и втулки, в процессе работы сглаживаются вследствие износа материала и, как принято говорить, цапфа «прирабатывается» к втулке, т. е. контакт между элементами кинематической пары ста­ новится более полным, чем в начале работы за счет уничтожения всевозможных выступов и впадин. Если считать, что материалы вала

иподшипника однородны, то поверхности приработавшихся цапфы

иподшипника по-прежнему остаются цилиндрическими и касание между ними происходит во всех точках в пределах дуги, опираю­ щейся на угол охвата 2ß (рис. 18.16, а). Износ цапфы и втулки в про­ цессе работы неодинаков. При вращении вала различные точки цап­ фы последовательно проходят через зону контакта цапфы и вкла­ дыша, поэтому износматериала цапфы в направлении радиуса, появившийся после некоторого времени работы, очевидно, будет одинаков. В результате износа материала втулки ось цилиндриче­ ской цапфы переместится в направлении линии действия силы Q на расстояние ÔQ; на такое же расстояние переместится каждая из точек рабочей поверхности цапфы.

418