Рис. 11.12. Образование сферической эпициклоиды
радиуса OA = ОС. При качении
производящего конуса L по на чальному конусу К произвольно выбранная точка В на окружно сти основания конуса L, оста ваясь все время на сфере S, опи шет так называемую сферическую эпициклоиду. Соединяя точки сферической эпициклоиды с цен тром сферы, получим линейча тую поверхность, которой можно очертить часть профиля зуба. Если расположить производя щий конус L внутри начального конуса К (рис. 11.13), то при качении конуса L по конусу К точка В опишет сферическую гипоциклоиду, которую можно
рассматривать как линию пересечения линейчатой поверхности ОAB со сферой 5. Полученная в результате внутреннего обкатыва ния производящего конуса L по начальному конусу К линейчатая поверхность также может быть использована для очерчивания профилей зубьев.
Сферическая гипоциклоида и эпициклоида обращаются в сфе рическую эвольвенту в том случае, если радиус основания произ водящего конуса L принять равным радиусу сферы S. В этом случае производящий конус обращается в большой круг L (рис. 11.14), полученный сечением сферы S плоскостью, касающейся конуса К и, следовательно, проходящей через центр О. Сферическая эволь-
Рис. 11.13. Образование сферической |
Рис. 11.14. Образование сферической |
гипоциклоиды |
эвольвенты |
Рис. 11.15. Профилирование |
эвольвентных зубчатых колес |
на |
сфере |
вента, описываемая точкой В большого круга при его качении по конусу К, имеет две ветви, все время остающиеся на сфере. При увеличении радиуса сферы до бесконечности сферическая эвольвента обращается в плоскую эвольвенту с ветвями, уходя щими в бесконечность. Последнюю используют, как это было показано выше, для профилирования цилиндрических зубчатых колес.
Рассмотрим профилирование конических зубчатых колес эвольвентного зацепления.
Для получения сопряженных эвольвентных профилей, внутри начальных конусов Nx и Nz (рис. 11.15) располагают основные конусы Кі и К2 с подобранными углами при их вершине так, что большой круг L , проведенный через общую образующую ОР на чальных конусов, касается конуса Кх по линии Ь±0, а конуса Ка по линии LoO.
При последовательном качении большого круга по основным конусам /<"і и і\ 2 получаем сопряженные сферические эвольвенты Эх и Э2, описываемые на сфере точкой Р. Если точки полученных сферических эвольвент 9Х и Э2 соединить с центром О сферы, то получим сопряженные конические поверхности, очерчивающие бо ковые части зубьев; касание их в момент зацепления будет всегда происходить в плоскости большого круга, часть которого, ограни ченная линиями пересечения его с конусами головок, будет пред ставлять собой плоскость зацепления.
Связь между отдельными параметрами конических колес можно установить, используя известные соотношения из сферической три гонометрии, однако эта связь более просто может быть установлена при использовании приближенного метода профилирования. При-
мененне этого метода объясняется тем, что сферу развернуть нельзя, а следовательно, нельзя при помощи известных нам методов гра фического изображения на плоскости произвести профилирование конических колес.
Метод основан на возможности приближенной замены сфери ческого кольца, на котором изображаются сферические кривые, очерчивающие профили зубьев, усеченным конусом. Такая замена оправдывается тем, что обычно высота зуба по сравнению с радиусом сферы невелика и отклонение конической поверхности от сферы в пределах высоты зуба незначительно. Эти конусы называются до полнительными. Для построения дополнительных конусов прове дем лежащую в плоскости осей конических зубчатых колес каса тельную 0х 0о к сфере 5 в точке Р (рис. 11. 16). Вращая вокруг оси
OOj отрезок ОгР, а вокруг оси 00 2 |
отрезок |
02Р касательной |
Ofi-i, |
получим дополнительные конусы Мх |
и М2 |
соответственно для |
пер |
вого и второго колес. Профилирование зубьев производят на до полнительных конусах, в результате чего погрешности в профиле получаются незначительными.
Для осуществления профилирования дополнительные конусы следует развернуть и совместить с плоскостью чертежа так, как
Рис. 11.16. Профилирование зубьев на дополнительных конусах
это показано на рис. 11.16. Дальнейший порядок профилирования следующий. На развертках 1!х и U„ оснований дополнительных конусов, как на начальных окружностях, строят эвольвентный или циклоидальный профиль так, как будто они были начальными окружностями цилиндрических зубчатых колес. Далее, развертки с вычерченными профилями навертывают обратно на дополнитель ные конусы, и каждую из точек профиля на дополнительном ко нусе соединяют с точкой О пересечения осей колес. Полученные ь результате конические поверхности должны быть приняты за
боковые |
поверхности зубьев. |
|
|
Центральные углы ух и у2 разверток |
ІІХ и U2 могут быть вычис |
лены через заданные параметры конических зубчатых колес. |
Если радиусы оснований усеченных начальных конусов для |
колеса |
1 — t\ и для колеса 2 — /2 , |
а |
радиусы разверток соответ |
ственно |
Rx и R2, то |
|
|
|
/?! = -!•*-- и |
/?. = - |
|
COS фі |
- |
COS ф2 |
Так как длина развернутого основания конуса 2лг равна длине развертки yR, то
|
|
2л/", COS фі |
п |
. |
п |
|
Y x = — 1 ^ |
= 2п cos ф! |
и |
у2 ==2лсо5ф2 . |
|
|
гі |
|
|
|
В |
пределах |
центральных углов уг и у2 |
разверток укладывается |
zx и |
г., шагов, |
соответствующих |
числам |
зубьев профилируемых |
конических зубчатых колес. При расчете каждую из разверток не обходимо дополнить до полного круга. При этом число зубьев
соответственно увеличится |
до z\ и zô. Очевидно, |
что числа зубьев |
пропорциональны |
углам, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г[ |
Ял |
|
г\ |
2 л |
|
|
|
|
Отсюда, |
имея в виду значения углов Vi и у.г, |
получим |
|
|
|
|
|
|
г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
COS фх |
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
COS ф2 |
|
|
|
|
|
Из формул |
(11.13) |
и (11.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 т о -f- COS ö |
|
|
|
|
("г, + |
COS ô |
|
|
V1 + 2і1 г |
cos ô + t'b |
|
|
|
}Л + 2t.a |
cos ô + |
if, * |
что дает окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г ; |
= г і |
1 І Щ ^ 2 Ц ± Ч і . |
' |
|
|
(11.15) |
|
|
1 |
1 |
|
i . j + |
coso |
|
|
x |
' |
|
|
Z i |
= z |
/ l + |
2 i ± |
œ S t |
+ i h . |
|
(11.16) |
|
|
* |
" |
l 2 1 - | - C O S Ö |
|
|
|
x |
Для наиболее употребительных передач ô = 90°; в этом случае
гі — 2 1 — ^ —
,Ѵі + іи hi
Передаточное отношение для дополненных разверток не равно передаточному отношению профилируемых колес
г[ |
_ |
Zj |
1 + 1 1 8 cos ô |
гг- Zi+z a cos S |
, J J |
^ |
2 â |
~ |
z a |
lia+co s ô |
z2 'z a + Z j C O S Ô |
* |
• ' |
и для передачи с углом пересечения осей ô = 90°
« • - ! - £ ) ' - * •
Минимальное число зубьев малого конического колеса меньше минимального числа зубьев цилиндрического зубчатого колеса при одинаковых угле зацепления и передаточном отношении как в ко нической, так и в цилиндрической передачах. Действительно, если для заданных угла зацепления и пе редаточного отношения в цилиндри ческой зубчатой передаче наименьшее число зубьев, определенное из условия отсутствия подрезания ножки малого колеса, z j m i n , то минимальное число
зубьев конического колеса
Zimin^ 2min COS фі. |
(11.18) |
Рис. 11.17. Конические зубча тые колеса с зубьями различной формы:
а — прямыми; б — косыми пли тан генциальными; в — угловыми или шевронными; г — спиральными; д — эвольвентными; е — круговыми
В практике машиностроения по лучили распространение зубчатые колеса не только с прямым зубом, построение которого описано выше, но и с зубьями других форм (рис. 11.17). Все приведенные наз вания форм зуба отвечают виду боко
вой линии зуба |
в |
плоском |
колесе, |
в которое |
обращается каждое |
из ко |
нических |
колес |
с |
углом при вер |
шине начального |
конуса, равным 90°. |
Разнообразие применяемых форм зубьев конических колес объясня ется стремлением получить в проектируемой передаче более равно мерное распределение давления по длине зуба, более плавную пере дачу движения за счет увеличения коэффициента перекрытия, наконец, стремлением создать условия, при которых износ зубьев будет невелик.
§ 11.5. ЧЕРВЯЧНЫЕ ПЕРЕДАЧИ
Червячная передача (рис. 11.18) применяется для передачи вращательного движения между валами с перекрещивающимися под любым углом осями, однако ради простоты изготовления пред почитают применять червячные передачи с углом скрещивания 90°.
Червяк / может быть выполнен либо в виде винта с трапецеи дальной нарезкой, при которой витки его имеют в осевом сечении прямолинейный профиль, а в сечении плоскостями, перпендикуляр ными к оси, — архимедовы спирали, либо в виде винтового колеса, имеющего прямолинейный профиль в сечении плоскостью, каса тельной к основному цилиндру. Червяк с трапецеидальной нарезкой называется спиральным, а с боковой поверхностью витка, очерчен ной развертывающимся геликоидом, — эвольвентным.
Эвольвентные червяки по своей геометрии являются эвольвентными косозубыми колесами. Различие между ними заключается
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лишь |
в |
угле |
наклона, |
который у |
косозубых колес меньше 45°, а |
у червяков — больше. |
Кроме того, число зубьев у червяков неве |
лико. |
У |
эвольвентных |
червяков — прямолинейная |
образующая, |
поэтому |
их |
можно |
шлифовать. |
|
|
Червячное |
колесо |
2 |
|
|
(рис. 11.18) имеет зубья с про |
|
|
филем, сопряженным с профи |
|
|
лем зуба (витка или, иначе, |
|
|
нитки) червяка. |
|
|
|
|
|
Если |
пересечь червячную |
|
|
передачу с «архимедовым чер |
|
|
вяком» плоскостью, перпенди |
|
|
кулярной к оси червячного ко |
|
|
леса |
и проходящей |
через ось |
|
|
спирального червяка, то полу |
|
|
чим в главной плоскости |
55 |
|
|
передачи |
|
профиль |
сечения |
|
|
червяка |
такой же, |
как |
и у |
|
|
рейки эвольвентного |
зацепле |
|
|
ния, |
т. е. |
трапецеидальной |
|
|
формы. Соответствующий про |
|
|
филь |
зуба |
червячного |
колеса |
|
|
очерчивается |
по эвольвенте. |
|
|
В других |
сечеіШЯХ |
червяка |
Ри с П . 18. Червячная |
передача- |
плоскостями, параллельными главной плоскости S5 передачи, профиль зуба червяка будет иным. В соответствии с этим будет иным и сопряженный с профилем зуба червяка профиль зуба чер вячного колеса.
В противоположность винтовым зубчатым колесам, в которых профили касаются в точке, в червячной передаче касание зубьев червячного колеса с витком червяка происходит в каждом из се чений, параллельном главной плоскости передачи, т. е. по линии. В соответствии с этим в применении к червячным передачам следует говорить не о линии, а о поверхности зацепления, которая может быть построена графически.
Приближенно параметры червячной передачи со спиральным червяком можно определять так же, как и для колеса с рейкой,
имеющей |
прямолинейный |
профиль зуба. |
|
Если угол зацепления колеса с червяком as — 15° и высота |
головки |
зуба червяка, |
отсчитываемая от начального |
цилиндра |
Ar l t равна модулю т, то червячное колесо должно иметь |
не менее |
30 зубьев. Предполагая изготовление червячного колеса червячной
фрезой, имеющей такое же очертание зуба, |
как |
и зуб червяка, но |
с высотой головки, равной 1,2 |
можно считать |
минимальным чис |
лом зубьев червячного |
колеса |
г2 = 36. |
колеса можно добиться |
Уменьшения числа |
зубьев |
червячного |
корригированием, в результате которого изменяется либо соотно шение между высотой ножки и головки червяка, либо угол заце пления.
При числах зубьев червячных колес менее 20 должна быть умень шена еще и высота зубьев колеса; в противном случае головки зубьев по концам получаются заостренными.
При 20-градусном угле зацепления и нормальной высоте головки число зубьев колеса может быть доведено до 17.
Верхний предел чисел зубьев червячного колеса не огра ничен. .Однако его редко принимают более 300 во избежание увели чения габаритных размеров передачи; что касается чисел зубьев червяка, которые обычно называют заходами, то их принимают в пределах 1—8.
На червячном колесе и червяке можно наметить начальные цилиндры и Nit касающиеся в полюсе зацепления Р\ через полюс проходит ось мгновенного относительного вращения и ось продоль ного скольжения зубьев. Последняя определяет наклон зубьев. В общем виде она образует некоторый угол с осью относительного вращения.
Передаточное отношение червячной передачи определяется так
же, как и для передачи |
винтовыми |
колесами: |
: |
Ы 2 |
Я 2 |
_ |
і„ Л |
ч |
|
И 1 |
«1 |
"К |
|
г 2 |
где % = 90° — ßi — угол подъема винтовой линии на начальном цилиндре червяка.
Таким образом, передаточное число червячной передачи равно отношению числа заходов червяка к числу зубьев червячного ко леса.
В червячной передаче ведущим звеном, как правило, является червяк, а ведомым — червячное колесо, т. е. червячная передача обычно служит для уменьшения числа оборотов. Однако в редких случаях червячная передача применяется и для увеличения числа
оборотов, т. е. |
ведущим может быть принято червячное колесо, |
если обеспечено |
отсутствие самоторможения. |
Глава |
М Е Х А Н И З М Ы , СОСТАВЛЕННЫЕ |
двенадцатая |
И З ЗУБЧАТЫХ |
КОЛЕС |
§ 12.1. МЕХАНИЗМЫ, |
СОСТАВЛЕННЫЕ |
ИЗ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС |
С НЕПОДВИЖНЫМИ ОСЯМИ
Зубчатые передачи выполняют не только в виде пары зубчатых колес того или иного типа зацепления, но и в более сложных ком бинациях (рядовое зубчатое зацепление, эпициклическое и др.).
При расчете или анализе такого рода механизмов сталкиваются, как правило, с задачами двух видов: с необходимостью выражения передаточного отношения или чисел оборотов через заданные числа зубьев колес и необходимостью определения чисел зубьев колес по заданным передаточным отношениям. Первая задача вполне опре деленная: вторая же обычно вызывает известные затруднения вслед ствие бесчисленного количества решений, из которых следует вы брать наиболее благоприятные. В некоторых случаях точное реше ние вообще отсутствует и практически приходится подбирать наи более близкое решение, при котором с наименьшей ошибкой может быть реализовано заданное передаточное отношение.
Рассмотрим методы определения передаточных отношений слож ных механизмов через заданные числа зубьев, предварительно усло вившись о правилах определения знака передаточного отношения.
Взубчатой передаче (рис. 12.1) с внешним зацеплением зубчатые колеса вращаются в противоположных направлениях, следова тельно, передаточное отношение должно быть принято отрицатель ным:
Впередаче с внутренним зацеплением (рис. 12.2) зубчатые ко леса вращаются в одну сторону, поэтому передаточное отношение положительно:
/ „ = 3 = ^ = -^. |
(12.1') |
Рассмотрим соединение зубчатых колес, в котором имеется k параллельных валов; на каждом из k — 2 промежуточных валов
закреплено по два зубчатых коле са, зацепляющихся с колесами, закрепленными на предыдущем и последующем валах (рис. 12.3). Такое рядовое зацепление назы вается последовательным. Выпи шем для каждой из пар зубчатых колес передаточное отношение, не учитывая пока его знака (в даль нейшем будем называть его про стым передаточным отношением):
г..
' і 2 = -
|
hi -1.W- |
Піі. |
|
|
|
|
|
|
|
"ft |
' f t - i |
|
|
|
|
|
|
Рис. |
12.1. |
Пара |
зубчатых колес |
|
Если вал / — ведущий, то гъ |
го, |
внешнего |
зацепления |
г,, |
г; _ , — ведущие, |
а гг, г3 , |
|
|
|
|
zk |
— ведомые зубчатые |
колеса. Если вал / — ведомый, -то соответ |
ственно изменяется |
роль перечисленных зубчатых колес. |
|
Перемножив почленно выражения простых передаточных от |
ношений, получим |
|
|
|
... |
zk |
|
|
|
' і 2 ' 2 3 • • • ht-i,k~- |
г„г3 |
(12.2) |
|
|
г, г., |
zk-\ |
|
|
|
|
|
|
Отношение чисел оборотов первого и последнего валов сложной зубчатой передачи называется полным передаточным отношением механизма
hk-- • Hi
'пк'
Полное передаточное отношение последовательного рядового зацепления, как это следует из. формулы (12.2), равно произведе нию всех простых передаточных отношений. При ведущем вале /
II
|
|
77777/ |
|
|
п |
|
|
т к |
|
|
77777) |
|
|
Рис. 12.3. Последователь |
Рис. 12.2. Пара |
зубчатых колес внут |
ное рядовое зацепление |
реннего |
зацепления |
колес |
