Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов

.pdf

Скачиваний:

102

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

25.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 6028 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

§ 10.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРОИД НЕКРУГЛЫХ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС

При проектировании некруглых зубчатых колес в первую оче редь должны быть определены центроиды их, катящиеся при пе редаче движения колесами друг по другу без скольжения.

Ранее было установлено (§ 7.3), что полюс Р мгновенного отно сительного вращения лежит всегда на линии центров зубчатых колес и делит ее на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям. Следовательно, центроиды в относительном движении всегда касаются в полюсе зацепления Р.

Если через і\ и / 2				обозначим переменные радиусы-векторы цент
роид,	то при постоянном					расстоянии А между					осями вращения
некруглых		зубчатых		колес можно написать
			П + гг			= А и й =		^	=	^ ,	(10.1)
			1	1	3		r 2	(ùi	d q V
			1	1	3
где	— угол		поворота			ведущего		некруглого			зубчатого колеса
	(рис.		10.1).
Угол ф 2		поворота зубчатого колеса является некоторой функцией
угла ф х :
						Фг =	/ ( ф і ) -
В	таком	случае
			«а =	^	=	/ ' (Фі)	и	/і2	=	—\|—.
				Фі					I	Ы

Воспользовавшись равенством (10.1), можно по заданному рас стоянию между центрами и функции передаточного отношения определить радиусы центроид в функции угла ф х :

Гі = 1 +'1 2	І,2А	(10.2)

Выражая уравнения центроид в полярной системе координат, необходимо, кроме радиуса-вектора, задать еще и угол. Для веду щего колеса угол ф х является независимой переменной. Для вто-

рого зубчатого колеса ф 2 мо-' жет быть определен из выра жения

dq>2. dtpx	dq>2 .
~df' dt ~	dql~~Hb

		откуда	ФІ
			ФІ
		Фг;	]i21d^.	(10.3)
Рис. 40.1. Центроиды	эллиптических зуб	Таким	образом,	для по
чатых	колес	строения центроид сопряжен-

270

иых зубчатых колес представляется возможным воспользоваться уравнениями (10.2) и (10.3) в параметрической форме.

Здесь полезно отметить некоторое свойство кривых, принимае мых за центроиды. Из формул (10.1) имеем

Г і Йф1 = іг2 й?ф2 ;				(а)
	аг! = — dr2.			(б)
Разделив уравнение (а)	на уравнение	(б),	получим
Если r x ^ = tgLii и ra	^j^tgfXa, то	tg цг	= —tg	j . i 2 .

Полученные выражения представляют собой не что иное, как тангенс угла между радиусом-вектором точки центроиды и каса тельной к ней в этой же точке (рис. 10.1). Из уравнения (10.4) также видно, что центроиды касаются в полюсе зацепления, т. е.

йі = 180°—LI2.

Нетрудно показать, что при удовлетворении условий (а) и (б) центроиды катятся друг по другу без скольжения. Действительно, возводя в квадрат выражения (а) и (б) и складывая почленно, бу дем иметь

	dr\ + r\ dy\ = dr\-f- r\ d(p2
или, иначе,		dsx=ds2,
		dsx=ds2,
где dsx и ds2 — бесконечно		малые дуги	качения	на	каждой из
	центроид.
Таким образом, если задается функция положения ведомого
колеса в виде	ц>2 = f (фі)	или функция	передаточного		отношения,
то, пользуясь уравнениями		(10.2) и (10.3), представляется возмож
ным построить	центроиды	некруглых зубчатых		колес.

Для выбора метода обработки некруглых зубчатых колес важно знать, будет ли радиус кривизны менять знак на противополож ный, т. е. будет ли центроида очерчена выпуклой кривой, ари которой возможно нарезание колес рейкой и червячной фрезой, или же она будет иметь выпуклые и вогнутые участки. Вопрос этот можно решить анализом выражения для радиуса кривизны кривой, представленной в полярной системе координат. Наличие точки перегиба, в которой выпуклость переходит в вогнутость или на оборот, характеризуется тем, что радиус кривизны р = со, т. е. в выражении радиуса кривизны

(10.5)

271

знаменатель обращается в нуль. Таким образом, анализ выраже-

" + 8 ( * ) ' - г & - °

< 1 0 ' 6 )

дает возможность судить о том, будет ли центроида некруглого колеса для заданной функции положения ведомого колеса или функ ции передаточного отношения иметь вогнутые участки.

Для ведущего колеса.

Г і = / ( ф і ) = Л п і - ;

dCi	——А	'"13	•
^ = -	Л ( 1	+ ^ -	^ ,	(10.7)

Подставляя в уравнение (10.6) значения производных, получаем

1 " ':12 + hi = 0-

Для ведомого колеса

_	.	fl s	dr% _ drt		гіфг	_	dr„			. ( 1 а і ; 3 _
'2	^ i l , - . ,		J"	d<pt	j " -	• лт	— j m ~			'12 — Л
		1 + і , з '	d<?2	d<pt		гіф2		1	2	( 1 + і ' і г ) * '
								1	2
		d_(drt\.			л(i+/ta)[<;.a+iwrJ-2'W»'.-
гіфі	"~	dtpi \ d f ä ;	1 2 ~ Л			(1 +	( 1 2 ) 3			1 2 '

Подставляя значения r2 и rô в формулу (10.6), получаем после упрощения для ведомого некруглого колеса условие существования точки перегиба, выраженное через функцию передаточного отно шения и ее производные:

1 + ' і 2 + hi - іі2 іІз = 0.

(10.8)

Таким образом, в зависимости от вида функции передаточного отношения отдельные участки центроиды ведомого или ведущего некруглых зубчатых колес могут оказаться вогнутыми. В последнем случае зубья могут быть нарезаны только долбяком.

В машиностроении применяют преимущественно замкнутые центроиды, позволяющие передавать непрерывное вращательное движение. В таком случае, если передаточное отношение перемен ное, то радиус-вектор гх центроиды ведущего колеса должен быть периодической функцией угла поворота фг ведущего колеса. Пе-

' 2л

риод этой функции должен быть равен —, где іц = 1,2 и т. д., т. е.

"і

в течение одного оборота ведущего колеса должно уложиться целое число периодов. Следовательно, периодической функцией, с тем

2ІТ

же периодом-^- , будет и функция t'12 передаточного отношения. Для ведомого колеса можно сделать аналогичное заключение:

г2 должно быть функцией периодической, с периодом — , где /:.» —

"г

целое число.

272

§ 10.3. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КОЛЕСА И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ

Два равных эллипса с осями вращения, совпадающими с фоку сами, могут быть приняты за центроиды некруглых зубчатых колес, создающих определенную функцию передаточного отношения. В том, что приведенные выше условия (10.1) и (10.4) качения без скольже ния центроид в случае эллипсов удовлетворяются, нетрудно убе диться.

От точки Ра соприкосновения эллипсов				(рис. 10.2)	отложим
равные дуги		РаВ и Р0С и проведем в точках		В и С касательные
tytv и /2 /2	к	эллипсам.			на линию
При повороте центроиды / на угол ц>у точка В попадет
центров.
Условия чистого качения будут удовлетворены, если точка С
при этом	совпадет с точкой В и если		касательная к		эллипсам
в точке Р0, с которой должны совпасть точки С и					В, будет
общей.
Так как полуоси и расстояния между фокусами у эллипсов
одинаковы, то при равных <иР0В и <JP0C			будут также равны гх — г'г

и г2 = г\.

Кроме того, углы, образуемые касательными с радиусами-век

торами г2 и г[ точек эллипсов, а также гх и г'г одинаковы,	поэтому
ц , = 1 8 0 ° - і і 8 .	(10.9)
Если длина большой полуоси а, то
г'і + Г! = rj -f- г2 = гу + г2 = 2а
или
Гу + г ^ А	(10.10)

Равенства (10.9) и (10.10) показывают, что два одинаковых эл липса, касающихся вершинами и вращающихся вокруг одинаковых полюсов, катятся один по другому без скольжения.

Рис. 10.2. Эллиптические зубчатые колеса

273

Передаточное отношение равно

. Го

'із— — ;

г1

Го = г[ может быть определено из Д/^ОСѴ

ri = гI' = r'i + С2 + 2rxC cos ФІ=r'i + A2e2 -\-2eAr{ cos ФІ,

где e =j эксцентрицитет эллипса. Так как г2 = А—/-lt то

(Л - rtf	= г\ + Л2 е2			+ 2eAri cos ФІ,
откуда
	Г і =	2 ( 1 + ( е с о 8 Ф і ) *'
Г	л =	= Л	1	± ^ ^ .
		2 (1 + е cos ф!>

	( І 0 Л 1 )
	(10.12)
ѵ	'

Передаточное

отношение

• і а = а _ 1 + 2 е ^ ф 1 + ^ <

(

Ш Л

З )

При фі =

0 z12

(/1 2 )m ax и при

фі = л / 1 2 =

(f12)

min

('ia)max = - y É ^ Î

0'lü)mln=

—

( 1

. 1

)

Функция

ф 2 положения

ведомого звена

может быть

определена

из AF„C02 :

£ l — Li — sin (180? — фі)

Гі

sin фо

откуда

J е 2

Sin ф 2 =

— Sin фі =

;—s Sin ф£.

(10.15)

r i

r 2

T i

1 -r-2ecos ф] -f-e2

Ï L

Возможность зацепления двух эллиптических зубчатых колес будет обеспечена, если они будут иметь одинаковый шаг по началь ным эллипсам, т. е. одинаковое расстояние между правыми или левыми профилями зубьев, измеренное по дуге рассмотренных выше центроид. Профили зубьев должны быть взаимно огибаемыми.

В отличие от круглых цилиндрических зубчатых колес эллипти ческие колеса, как и вообще некруглые зубчатые колеса, имеют для каждой из пар зубьев особую линию зацепления.

Возвращаясь к условиям (10.9) и (10.10), которым должны удо влетворять координаты сопряженных точек центроид, катящихся друг по другу без скольжения, можно заметить, что эти условия

будут также удовлетворяться при фі = -^ и ФІ=-^і г Д е п —л 1 ° -

274

бое целое число. Действительно, заменяя	ц>г на фі и ф 2 на фі,
имеем
Г і + г2 = А и Г і / і ^ . = - г 2	и ^ .

Если в качестве основной пары центроид взяты два одинаковых эллипса, то при п = 2 каждый из них должен быть заменен полу овалом (рис. 10.3, а) . Действительно, если угол 2л у фокусов каж дого из основных эллипсов разделим на равные части и отложим найденные значения радиусов-векторов вдоль направлений, соста вляющих с начальными направлениями углы, в 2 раза меньшие, то все радиусы-векторы полного эллипса будут отложены в преде лах угла л. Чтобы дополнить центроиду до замкнутой кривой, следует построить симметричные части центроид. Полученные произ водные эллиптические зубчатые колеса (рис. 10,3, а) будут иметь функцию передаточного отношения с периодом, в 2 раза меньшим времени одного оборота ведущего колеса. Такие колеса называют овальными, хотя радиусы-векторы их подчиняются уравнениям (10.11) и (10.12), в которых необходимо принять ^ = шр|.

Аналогично можно построить некруглые производные колеса с тремя периодами изменения передаточного числа за один оборот ведущего колеса (рис. 10.3, б), четырьмя и т. д.

Для получения производных эллиптических зубчатых колес с разным числом оборотов ведущего и ведомого валов необходимо выбрать на исходных эллипсах равные дуги РВХ и РВ2 так, чтобы опирающиеся на них углы ф х и ф , поворота каждого из колес на ходились в заданном отношении, например 3 : 2. Далее необходимо сократить каждый из этих углов так, чтобы в пределах угла 2я уложить целое число периодов изменения радиуса-вектора центро иды. Для указанного выше отношения 3 : 2 углов поворота веду щего и ведомого колес на ведущем колесе должна получиться центроида в форме двулистника, а на ведомом — в форме трилист ника (рис. 10.4).

Производные эллиптические колеса, в противоположность эл липтическим, могут получиться с выпукло-вогнутыми центроидами, что зависит от. эксцентрицитета е эллипса.

Здесь необходимо еще заметить, что для правильного зацепления некруглых зубчатых колес имеет значение ориентация зубьев при нарезании относительно центроид. Для эллиптических колес, например, канавке с осью симметрии, совпадающей с большой осью на одном колесе, должен соответствовать выступ на другом колесе. Поэтому два одинаковых эллиптических колеса, нарезанных с од ной установки на станке, могут войти в правильное зацепление только в том случае, если они будут иметь нечетное число зубьев.

Глава	П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н Ы Е
одиннадцатая	З У Б Ч А Т Ы Е П Е Р Е Д А Ч И

§ 11.1. ТИПЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ

Пространственные зубчатые колеса применяют для передачи вращательного движения между пересекающимися и скрещиваю щимися осями. Особенно часто встречается случай скрещивания осей под прямым углом.

При передаче вращательного движения между скрещивающи мися осями могут быть использованы гиперболоидные зубчатые колеса, начальными поверхностями которых являются гипербо лоиды вращения. В качестве начальных поверхностей гиперболоидальных зубчатых колес используются либо произвольно вырезан ные сопряженные части гиперболоидов, либо части гиперболоидов, вырезанные из горловины (рис. 11.1). Вследствие сложности изго товления гиперболоидальных зубчатых колес получили распро странение винтовые зубчатые колеса (рис. 11.2),'в которых горло вины гиперболоидов заменены цилиндрами, и гипоидные колеса, в которых вместо произвольно вырезанных частей гиперболоидов


применены		усеченные		конусы
(рис. 11.3).
Для	передачи		вращательного
движения	между скрещивающими
ся под прямым углом осями могут
быть использованы либо гипербо-
лоидальные		колеса	или заменяю
щие их винтовые зубчатые колеса,
либо особый вид винтовых колес,
известных под названием червячной
передачи (рис. 11.4). В последней
звено 1, имеющее винтовую нарез
ку, называют червяком, а зубчатое
колесо 2,	зацепляющееся с ним, —
червячным колесом.
Передача		движения		между пе-	Р и с > п л > сопряженные гипербо-
ресекающимися осями может быть					лоиды

277

Рис. 11.3. Гипоидные зубчатые колеса

Рис. 11.2. Винтовые зуб чатые колеса

Рис. 11.4. Червячная передача

Рис.	11.5. Конические колеса	Рис.	11.6. Конические колеса
с	внешним зацеплением	с	внутренним зацеплением

278

осуществлена при помощи конических зубчатых колес, схемати чески изображенных на рис. 11.5. Зубчатая передача коническими колесами может быть внешней, в которой зубчатые колеса вра щаются, если наблюдать за их движением из точки пересечения осей, в разные стороны (рис. 11.5), и внутренней, когда колеса имеют одинаковое направление вращений (рис. 11.6).

Если начальная поверхность одного из конических колес об ращается в плоскость, то приближенное эвольвентное зацепление для этого случая известно под названием октоидального.

Внутреннее зацепление конических зубчатых колес почти не применяется из-за трудности изготовления профилей.

§ 11.2. ГИПЕРБОЛОИДАЛЬНЫЕ ЗУБЧАТЫЕ КОЛЕСА

Представим себе две произвольно заданные в пространстве оси АХАХ и В2В2, между которыми нужно передавать вращатель ное движение непосредственным соприкосновением тел, вращаю щихся вокруг заданных осей с угловыми скоростями wx и ш2 (рис. 11.7). Форма поверхностей, ограничивающих тела, неизвестна, и ее очертание и свойства необходимо определить. Для решения этого вопроса воспользуемся методом инверсии механизма.


щееся вокруг оси В2В2,					остановится, а тело, вращающееся во
круг	оси	АХАХ,		при	инверсии будет вращаться вокруг	двух
осей: вокруг оси В2В2					с угловой скоростью —<в2 и вокруг	оси
АХАХ	с угловой скоростью шх. Для нахождения суммарной угловой
скорости		6312	вращения		первого тела в преобразованном механизме,
являющейся			в то же время угловой скоростью движения первого

тела в заданном механизме относительно второго, перенесем в точку В вектор ©X параллельно самому себе, прикладывая одновременно

Рис. 11.7.	Передача движения гиперболоидальными ко-
'	лесами

279

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 6028 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ