книги из ГПНТБ / Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов

Таким образом, диаметр начальной окружности в дюймах будет равен

D (в дюймах) =

Диаметр начальной окружности в мм, выраженный через мо­ дуль,

D — msz.

Переходя от дюймовой системы мер к метрической, будем иметь

220

Свойство эвольвенты состоит в том, что нормаль в любой ее точке касательна к развертываемой кривой. Таким образом, ка­ тящаяся по основной окружности прямая дает представление о на­ правлении нормали в любой точке эвольвенты. Если даны эволь­ вента и основная окружность, то для построения нормали в заданной

Так как отрезок прямой между точкой касания ее с эвольвентной окружностью и точкой эвольвенты равен спрямленной дуге окружности, то можно заключить, что две эвольвенты одной и той же основной окружности эквидистантны (параллельны), причем расстояние между ними, измеренное по нормали, равно спрямлен­ ной дуге окружности между началами эвольвент.

Используя свойство развертки окружности, можно составить уравнение эвольвенты. Последнее чаще всего представляется в па­ раметрической форме, как более удобной для использования при расчетах зубчатых колес эвольвентного профиля.

Отметим два положения производящей прямой / — /: когда она

и для угла давления, применяемого при расчете кулачковых меха­ низмов. Действительно, так как давление на профиль действует

221

Таким образом, уравнение эвольвенты в параметрической форме

Воспользовавшись приведенным уравнением эвольвенты в пара­ метрической форме, определим некоторые размеры зубчатых колес эвольвентного профиля.

Определение толщины зуба на окружности заданного радиуса. Предварительно найдем толщину зуба s0 по основной окружности, если заданы толщина зуба sx для окружности радиуса гх и радиус г0 эвольвентной окружности. Правый и левый профили очерчены по эвольвенте и, следовательно, симметричны относительно середины зуба (рис. 9.5).

Если положить 2r0 = zm0 и 2rx = zmly где г — число зубьев

222

раменяя у0 найденным выше его значением, получаем

Y2=Yi + #i — ^2

пли

При некотором значении парамет­ ра а две симметричные ветви эволь­ венты, очерчивающие правый и левый профили зуба, пересекаются. Для про­

филирования зубьев можно использовать только те части эвольвен­ ты, которые располагаются внутри участка между основанием эвольвенты и указанной точкой пересечения. Если радиус окруж­ ности головок равен радиусу-вектору эвольвент для точки их пере­ сечения, то толщина зуба получается равной нулю, а головка будет заостренной. Зуб такой формы применить нельзя, поэтому радиус окружности головок должен быть меньше радиуса заострения зуба, а толщина зуба должна быть больше нуля.

Используя формулу (9.4), легко вычислить толщину зуба на окружности головок

Качественную проверку на заострение можно производить, используя неравенство

Rc<R3,

где ,R3 — радиус окружности головок заостренных зубьев.

Его величину определяют через эвольвентную функцию #3,

Вычисление размера блочного шаблона. Для контрольных изме­ рений зубчатых колес или определения их модуля применяют штан*

223

генциркуль, с помощью которого устанавливают размер b (рис. 9.6). Контроль изготовляемых зубчатых колес можно производить также шаблоном с размерами между губками Ьтах и öi n i „, разница между которыми определяется допуском на изготовление зубчатых колес.

Если шаблон охватывает к + 1 зубьев, то -длина нормали /15 = определяется из выражения

(9.6)

Шаг t0 п толщина зуба s0 по основной окружности могут быть вычислены через заданные шаг ts зацепления и толщину зуба s

по начальной окружности; /оf- - ГЛг или

Толщину зуба sn следует вычислять по формуле (9.3). Используя формулу (9.6), можно измерением колеса штанген­

циркулем определить шаг (0 и толщину зуба s„; для этого нужно

Складывая величины (9.7) и (9.8), принимая также во внимание

оходпых кривых у основания зуба; плоскости

224

Одним из достоинств эвольвентного зацепления является то, что правильность работы зубчатых колес не нарушается при неточ­ ной их сборке или изменении расстояния между осями.

При изменении расстояния между осями изменится угол зацеп­ ления. Если оси раздвинуты, то общая нормаль будет идти круче и угол зацепления увеличится. При сближении колес угол зацепле­ ния уменьшается. Значение нового угла зацепления может быть определено из равенства

cosa; = ^ =

Таким образом, при заданных эвольвентных профилях угол зацепления является функцией расстояния между осями, о чем можно судить также по выражению

§9.6. ЛИНИЯ ЗАЦЕПЛЕНИЯ. ДУГА ЗАЦЕПЛЕНИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕКРЫТИЯ

Если зубчатым колесам сообщить вращение, то профили будут касаться в различных точках, при этом точка зацепления будет менять свое положение на неподвижной плоскости. Геометрическое место точек k зацепления на неподвижной плоскости принято назы­ вать линией зацепления. Ее вид зависит от кривых, используемых

вкачестве профиля.

Уэвольвентного зацепления геометрическим местом точек будет

общая нормаль L j L 2 , не меняющая своего положения при работе зубчатых колес; на ней постоянно находится точка k зацепления. Если движение передается правыми поверхностями профилей, то линией зацепления будет общая касательная L^L^ основных окруж­ ностей (см. рис. 9.1). При передаче движения левыми поверхно­ стями профилей зубьев линией зацепления будет ^другая общая касательная основных окружностей, симметричная первой отно­

профилях и, следовательно, рабочую часть профиля, в пределах которой происходит касание профилей.

Tax как сопряженные точки kx и кг в момент касания профилей (рис. 9.7) совпадают с точкой k зацепления, то для определения положения точки k2 нужно прежде всего определить соответствую­ щее положение точки зацепления. Точка kx при движении колеса описывает окружность с центром в точке 0 1 ( следовательно, в мо-

226

измерять и на другой окружности, в частности на основной, при условии, что и шаг измеряется на той же окружности.

Для различных типов зацепления коэффициент перекрытия может быть определен графически или же вычислен по соответ­ ствующим формулам.

Для эвольвентного профиля дуга зацепления может быть вы­ ражена через рабочую часть линии зацепления. Так как зацепление каждой пары профилей начинается в точке L i , а заканчивается в точке La, то, установив профили в начальное и конечное положе­ ния, найдем дугу зацепления тп на основной окружности (рис. 9.8). Развернув найденную на основной окружности дугу зацепления, получим

Kj тп — ЦЬ'ъ,

т. е. дуга зацепления по основной окружности равна длине рабочей

228

Отсюда коэффициент перекрытия для эвольвеитного зацепления

с уменьшением радиусов основных окружностей, так и рабочей части линии зацепления, имеет определенные пределы. Слишком большой угол зацепления может привести к тому, что зубья ока­ жутся заостренными, а увеличение рабочей части линии зацепле­ ния, в результате которого точки Lj и Ц будут располагаться вне отрезков LXP и L2P, может привести к необходимости подрезания рабочей части профиля и, следовательно, к фактическому умень­ шению, а не увеличению коэффициента перекрытия. На вопросе подрезания зубьев ниже остановимся более подробно.

§ 9.7. СКОЛЬЖЕНИЕ ЗУБЬЕВ. УДЕЛЬНОЕ СКОЛЬЖЕНИЕ

Скорость скольжения профилей можно выразить через радиус мгновенного вращения P12k в относительном движении и угловую скорость ш2і = CÜ3 — щ второго колеса относительно первого (рис. 7.12):

229