книги из ГПНТБ / Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов

§ 6.1. ЗАДАЧА СИНТЕЗА МЕХАНИЗМА

Возможность решения задач синтеза механизмов, т. е. проектиро­ вание механизмов по заданным условиям, имеет для конструкторов огромное значение вследствие того, что задачи такого рода возни­ кают при разработке новых машин. Вопросы синтеза механизмов с низшими парами решены главным образом для частных механиз­ мов— кривошипно-ползунного, четырехшарнирного, кулисного и др.

В противоположность анализу механизмов, в котором путь реше­ ния задачи совершенно ясен и оно определенное, в области синтеза во многих случаях получается бесконечно большое число решений и для выбора наиболее подходящего из них необходимо производить дополнительный анализ решений. Это получается из-за того, что, во-первых, в некоторых случаях заданных условий оказывается недо­ статочно для получения определенного решения и, во-вторых, одни и те же условия могут быть воспроизведены несколькими различными механизмами. П. Л. Чебышевым, например, доказано, что одну и ту же траекторию шатуна четырехшарнирного механизма можно воспроизвести различными механизмами, длины звеньев ко­ торых находятся в определенном соотношении, но отличаются со­ ответственно одна от другой. Кроме того, не всегда необходимо вос­ производить совершенно точно заданные условия. Дело в том, что

вреальных механизмах траектории отдельных точек звеньев, ско­ рости и ускорения их отличаются от действительных вследствие за­ зоров между элементами кинематических пар, например в шарни­ рах. Поэтому во многих случаях приближенный синтез механизмов,

врезультате которого определяются размеры механизма, воспроиз­ водящего заданные условия (например, траекторию точки) в преде­ лах допустимых заданных отклонений, может дать лучшие резуль­ таты и быстрее привести к цели, чем точный синтез механизмов.

Различают виды синтеза: геометрический, кинематический и ди­ намический.

При геометрическом синтезе задаются положения отдельных звеньев, например положение шатуна четырехшарнирного механиз-

140

ханнзма так, чтобы скорость долбяка в пределах большей части хода его оставалась постоянной.

При динамическом синтезе проектирование механизмов ведется по заданным силам, чтобы воспроизвести заданный закон движения или динамическую точность.

§ 6.2. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЧЕТЫРЕХЗВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ ПО НЕКОТОРЫМ ЗАДАННЫМ УСЛОВИЯМ

Проектирование механизма по двум и трем заданным положениям шатуна 1. Необходимость проектирования четырехзвенного меха­ низма по двум, трем и более заданным положениям шатуна может появиться во многих случаях практики, например при проектирова­ нии шлаковых стопоров доменных печей, механизмов кантователей, укладчиков и др.

Пусть задано два положения шатуна — и M2N2 и положе­ ния центров А и D вращения двух других звеньев четырехшарнирного механизма (рис. 6.2, о). Требуется отыскать положения центров ß и С шарниров, при полощи которых шатун 2 присоединяется к звеньям ) и 3. При плоскопараллельном движении шатун из поло­ жения Mth\ можно перевести в положение M2N2 вращением вокруг центра Р12, который найдется как точка пересечения перпендикуля­ ров, восстановленных в середине отрезков MjM ^ и Л^ЛЛ^. Положе­ ния ß 2 и В2 искомой точки В, в связи с этим, всегда будут на окруж­ ности некоторого радиуса.

Рис. 6.2. Построение четырехшарнирного механизма по заданным положениям шатуна:

а — двум; б — трем

1 Синтез четырехшарнирного механизма по большему числу заданных по­ ложений шатуна и другим условиям см. [1] и [5J.

142

Если положение центра А задано, то, найдя полюс Р 1 2 , соединяют его с точкой А и от полученного луча ß 1 2 откладывают угол а 1 2 в направ­ лении, противоположном вращению звена. Точка Вх может быть взята в любом месте полученного луча bl2.

Аналогично может быть найдено положение точки С. Возмож­ ных механизмов, осуществляющих заданные условия, — бесконечно много. Если AB должно быть кривошипом, то при выборе длин AB и CD необходимо удовлетворить условиям существования криво­ шипа. Если положения центров Л и о не заданы, то их можно выби­

перевести его из первого положения во второе и третье, как пересече­

жения во второе шатун повернется на угол 2а1 2 , a при переходе из

должен лежать на построенном луче Ь12. Далее соединим центр шар­ нира А с полюсом Р13 и отложим угол а 1 3 в направлении, противо­ положном вращению шатуна. Точка Вг должна лежать на построен­ ном луче bis. Очевидно, что точка Вх будет совпадать с точкой пере­ сечения лучей Ь12 и Ь13. Аналогично может быть найдено и положение точки Сх на шатуне.

Описанное построение дает возможность определить длины звеньев AB, ВС и CD, которые во многих случаях должны удовлет­ ворять условиямсуществования кривошипа. Если при заданных положениях центров Л и D условия существования кривошипа не удовлетворяются, то необходимо выбрать новое положение их и вновь произвести описанное выше построение.

Размеры механизма по трем заданным положениям шатуна опре­ делить значительно проще, если не заданы положения центров не­ подвижных шарниров. В этом случае, соединив точку Мх с точками М2 и М3 и восстановив в середине этих отрезков перпендикуляры, в точке их пересечения получим центр неподвижного шарнира А. Все три заданных положения — М1г М2 и М3 — точки M будут рас­ полагаться на окружности радиуса AM. Если соединить точки

143

с N% и Nn с N$ H восстановить из середины полученных отрезков перпендикуляры, то в точке их пересечения получим центр непод­ вижного шарнира для звена DC.

Проектирование четырехшарнирного механизма по крайним поло­ жениям коромысла и коэффициенту увеличения скорости обратного хода (метод Г. Г. Баранова). Предположим, что размеры четырех­ шарнирного механизма заданы (рис, 6.3, а). Тогда крайние положе­ ния коромысла для этого случая находим следующим образом. При

и находим точку С'0, а при построении его левого крайнего положе­ ния — дугой радиуса / — г и находим точку С0 . Угол между на­ правлениями шатуна обозначим через т>. Угол а поворота кривоши­ па при вращении его по часовой стрелке, в пределах которого коро­

в 0.2, при этом получим центральный угол C0O2CÔ, равный 2т>, где Ф — вписанный угол, опирающийся на дугу С0С'й. Угол при вер­ шине С0 между хордой С0С'0 и радиусом С0 О2 равен 90° —

Пользуясь этой связью между углами, можно отыскать размеры механизма. Для этого поступаем следующим образом. Вычислив предварительно $ по заданному значению k, из произвольной точки Ох описываем дугу C0CÔ и делим хорду С0С'а, стягивающую заданный

Р и с 6.3, Проектирование четырехзвенного механизма:

а — по коэффициенту увеличения обратного хода; б — по трем заданным положениям

крнвошнпа н коромысла

144

угол ß, пополам. Проводя из середины хорды перпендикуляр, а через точку С0 — прямую под углом 90° — т}, находим, центр 02 . Радиусом О2 С0 описываем окружность и на ней выбираем точку А. Описав из найденного центра через С0 дугу до пересечения с линией АС а, найдем

C0A-C0À = (t + r)-(l-r)=*2r.

Длина шатуна / будет равна АС'п — г — I.

Проектирование четырехзвенного шарнирного механизма по трем заданным положениям кривошипа и коромысла. Пусть известны длина кривошипа 1 и его три положения, соответствующие заданным

постоянна, а точка В в преобразованном механизме неподвижна, то все три положения Ах, А* и А'3 центра шарнира А лежат на окруж­ ности с центром в В. Проведя через середины отрезков AiA't и А'^А'. перпендикуляры, в точке их пересечения можно поместить ось В шарнира. Этим самым размеры звеньев 1АВ и Івог будут определены.

§6.3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ФУНКЦИЙ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮ­ ЩИХСЯ ОТ НУЛЯ, К ЗАДАЧАМ СИНТЕЗА МЕХАНИЗМОВ

Точное воспроизведение заданных условий синтеза плоских механизмов с низшими парами, как это указывалось выше, не всегда необходимо. Во многих случаях приближенный синтез может дать значительно лучшие результаты. Приближенный синтез развивался сначала применительно к так называемым направляющим механиз­ мам, одна из точек звеньев которых на некотором участке траекто­ рии перемещается по дуге, мало отличающейся от прямой линии, а затем получил более общее значение благодаря использованию в других областях и при усложнении условий синтеза.

Наибольшее значение из известных методов синтеза имеет метод акад. П. Л. Чебышева, разработавшего теорию функций, наименее уклоняющихся от нуля, и применившего их в области синтеза на­ правляющих механизмов [20]. Советские ученые разработали идеи П. Л. Чебышева и в применении к другим случаям синтеза механиз­ мов, например к случаю синтеза механизмов, приближенно воспро­ изводящих движение звена с постоянной скоростью и др.

«45

Метод приближения функций П. Л. Чебышева заключается в сле­ дующем. Допустим, что в системе координат х, у траектория шатунной

в той же системе координат, к которой должна быть приближена шатунная кривая. Пусть, как это показано на рис. 6.4, траектория точки шатуна механизма, размеры которого должны быть опреде­ лены, не совпадает с заданной кривой. Поставим задачей подобрать параметры механизма так, чтобы траекторию шатунной точки наи­ лучшим образом приблизить к заданной кривой.

Согласно теореме Чебышева, для того чтобы полином

Р (х) = ріФі (х) + р2фг (х) + •. • + /W 4 W (*)

системы функции Чебышева наименее уклонялся от заданной непре­ рывной функции f (х) в интервале а < х < Ь, необходимо и доста­ точно, чтобы разность

Функции фх (х), ф2 (х) ит. д. образуют систему функций Чебышева, если полином (6.2), составленный из этих функций, имеет не более

2п + 4 неизвестных, можно воспользоваться следующими сообра­ жениями.

своего предельного значения, не должна переходить за это значение, F' {х) в этих точках обращается в нуль. Это дает возможность соста­ вить п дополнительных уравнений:

F(*,) = 0 (і = 2, 3, . . . . л + 1 ) .

146

минимальным, т. е. приближение для выбранной системы функций фх(х) ... ф„+ 1 (х) наилучшее.

Та же задача может быть решена более просто при использовании основной идеи Чебышева о наилучшем приближении [61. Допустим, что необходимо определить соотношение между размерами К-

Угол АСМ при любом положении шатуна — прямой, потому что через точки Л, С и M можно описать окружность радиуса ВС, поэ­ тому

Производя последовательно замену переменных в формуле (6.9), получим

147

можно искать значения параметров, при которых получается наи­ лучшее приближение. Очевидно, это условие будет удовлетворено,

148

Из формулы (6.11) после замены ср его значениями находим i / 0 = Q ] / № - ( l + p ) 2 ;

Чтобы упростить определение корней, соответствующих усло­ виям у х = у 0 и у г = г/0, найдем соотношение между р и % из других соображений. Если у х = у 0 , то соответствующие точки должны сли­ ваться и, следовательно, срх = 0 (cos у х = 1)ь

Тогда из формулы (6.13) при cos q>t = 1

Новым корнем является выражение (6.15), которое дает такое со­ отношение между параметрами, при котором обеспечивается наилуч­ шее приближение траектории точки шатуна к заданной прямой.

^-образный механизм, удов­ летворяющий соотношению (6.15)

—Уі — Уо- Величина уклонения

Азависит от р.

Детальный анализ показы-

149