Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

25.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 6013 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Дифференцируя уравнения				(5.1)			и (5.2),	получим
	— г\|) sin ір =				а +		Л.ф sin ф;			(5.5)
		ij)cosi\|) =			Àcpcos9.				(5.6)
Из уравнения (5.6)		передаточная					функция
		, о і =	І	=	5	і	^ ,		(5.7)
		- 1	ф				COS 1\|) '		ѵ	'
а из уравнения	(5.5)	передаточная				функция
гчі =	— ==—	Xsinœ — 4-stn'0) = —						К—ѵт \ .		(5.8)
d l	ф	т		ф			1	cos\p	ѵ	'

Выражения (5.7) и (5.8) показывают, что передаточные функции зависят только от положения механизма и не зависят ни от времени, ни от скорости начального звена.

Теперь нетрудно найти формулы для ускорений ведомых звеньев, если продифференцировать уравнения (5.4):

	•Ф = ф ' 2 і +	ф 2 ' " а і ;	(5-9)
	ст=Ф'зі	+ Ф г ' я і -	(5 -
Производные передаточных функций % и і'31 по углу ср имеют
вид
fc__x*j	+ w	S S j - l .	( 5 . П )
При основном движении начального звена с постоянной ско
ростью (ф = 0) первые слагаемые в правой части			(5.9) и (5.10)
обращаются в нуль. В начале движения, когда ф =			0, отношение

ускорений совпадает с отношением соответствующих скоростей. Если начальным является звено 2 или 3, то формулы для опреде ления скоростей и ускорений ведомых звеньев могут быть получены аналогично. Соответствующие формулы приведены в сводной

таблице на стр. 121.

Связь между угловыми координатами звеньев J и 2 задается уравнением (5.2), в которое входят параметры К и х. Эта связь приобретает простой вид для нормального кривошипно-ползунного механизма, которому соответствует к = 0, т. е. линия движения центра шарнира В проходит через ось О вращения звена /.

Поэтому из приведенных выше уравнений можно получить выра- 'жения для углового перемещения, скорости и ускорения шатуна нормального кривошипно-ползунного механизма. Так, при к = 0 из выражений (5.2), (5.7), (5.9) и (5.11) получаем для углового пере мещения

ф = aresin (К sin ф);

(5.13)

120

Значения передаточных функций и их производных

Веду

щее

звено

/ —


			1	cos 'ф		. -, .
2		' » = 5 1		-coscp'		Ч> = ^ » 5
2	,	1	sin г])		1	cos2 ір sin <р
	1S	К	COS ф		I?	COS8 ф '

	.	1	COS ip	.
	i l a	J.'sin(q>-H»;		t p	= < 7 f i 3 '
3		1 Г COS2		ф
3	J 8	Я . [яп»(ф+і\|))			1
	,	COS2	1J3 COS (ф -f- lp)^ ^
	1	X s m % + i p ) J '

	Ведомое		звено
		2
.	. COS ф		;	. .
,	sin ф	,	,s	cos2 ф sin ip
l a l _	cosip 1	K		cos>i\|> •

—

,		COS ф		•
' 2 a =	Stafo +		lp)'*	^ -	a ' « -
		Г	cos2 яр
' 2 3	~ ~	l.X.sin3(9 + ip)			'
	, COS2	ф cos (ф +		ір)]
+	ВІП» (ф + Ф>			J'
	^ =	ä/'2 3 -f-aa /;.,

			.	sin (ф-т-яр)	•
l 3	1	~	x	costp v ; ;	° - Ф ' з і ;
				Гсо8(ф+г(1)	, cos 2 V l
' 3	1	_	л [	cos^p 1	cossipj'

,	_ ' З	І	_ sin ( ф + r p ) .		z . r „ .
	'гі		COS ф
		Гсоз(ф+яр)		1	COS2 lp]
3	5	L	COS ф ' 1	X	C0S3 <pj '

о = $ » з 3 + і І > 2 » м

—

угловой скорости

		(5.14)
углового ускорения при щ = const
ф = В а	Л,со5(1	(5.15)

Точные формулы для перемещения, скорости и ускорения поршня.:

Координата Sß, определяющая положение центра В пальца поршня относительно оси вращения кривошипа с заданным законом движе ния «>! = ф = const, может быть найдена как сумма проекций кривошипа и шатуна на ось х. При этом получаем, как было пока зано, выражение

Sß = r^cosq) - f -j-costyj,

(5.16)

где ^ = y , а связь между <p и \p осуществляется равенством (5.2).

Ход поршня можно было бы найти как разность между макси мальным и минимальным значениями координаты sB. Однако неудоб ство этого общего метода заключается в том, что уравнение (5.16) является трансцендентным. При определении хода поршня, по этому, целесообразно воспользоваться иными соображениями, а именно тем, что максимальное и минимальное значение для sB получаются в случае совпадения направлений кривошипа и шатуна. Из рис. 53 получаем

	М п , а х = ОВ0			= У(1 + гу-е*;	1
	(SBUn =		OB-0	= V(l-r)2-e\	j
Отсюда ход поршня в			механизме со смещенным			кривошипом
	H = (5в)г а а х -	(s ß ) m l n = У ( / + г ) 2 - е а -			V(l- rf	- е \ (5.18)
В	нормальном	кривошипно-ползунном			механизме смещение
= 0,	поэтому		Н = 2г.			(5.19)
			Н = 2г.			(5.19)

Скорость поршня находим из уравнения (5.8) подстановкой

ѵв

о= т :

Sin (ф + Ф)	,г nm
ѵ в ^ - г щ	(5.20)

а ускорение — из уравнения (5.10) подстановкой уравнения (5.11) и

		ст=			ав		г
		ст=			Т ' Я	= =	Т :
а в =	_ т	\		L	cos ip	+	Я	.	(5.21)
			1	L	cos ip		'	cos? tpJ	4	1

122


Полученные		формулы
справедливы как для			меха
низма со	смещенным		кри
вошипом, так и для нор
мального кривошипно-пол-
зунного	механизма		при
стационарном движении.
Приближенные формулы
для скорости и		ускорения		Рис. 5.3. Определение хода поршня
поршня.	Вывод	формул

для приближенного вычисления скорости и ускорения ведомого звена имеет смысл только для стационарного движения, когда начальное звено (1 или 2) совершает вращение с постоянной или эпизодически изменяющейся угловой скоростью. Если начальным

является звено /, то это возможно

при Я. <; 1

и 1 — Я, > Я,х.

Если в качестве начального принято

звено

то

заданные

условия могут

быть воспроизведены

при

Я, >

1 и Я, — 1 >

Ях.

Рассмотрим случай, когда звено /

начальное.

Передаточную

функцию і31 [формула

(5.8)] можно

представить

в виде .

*Sincy} =

« s i

*• (sin ф +

COS ф tg fr) =

» / .

sin ф

(5.22)

— Я

s i n q > +

C O S < p -

7 = = £ =

У 1 — sin2 TJ)

Выражение

- p = = L = =

можно

разложить

ряд

1 -Ь — sin2 ib-

1- 3

sin4 -ф -

3-5

sin6 ijj.,

V1 — sin2

гр

2- 4

4 - 6

Воспользовавшись выражением (5.2) и приведенным разложе

нием, в уравнении

(5.22)

можно

исключить sin т|з:

/З і =

— Я, |sin ф -f- cos

ф [я, (sin ф — х) +

Я,3 (sin ф — х)3

-f-

А.» (sin ф -

х)» +

Я,7 (sin ф -

х)? ... ]} .

(5.23)

Дальнейшие преобразования ряда (5.23), с целью выделения простых гармоник, представляются такими. Каждый из биномиаль ных членов в разложении (5.23) раскрывают и группируют члены, содержащие одинаковые степени sin. При этом і 3 1 приобретает вид

/ З і = — Я, (sin ф + a ï cos ф + 62	cos ф sin ф + a3		cos ф х
Xsina 9 + 64 cos ф sin3 ф - f аъ cos		ф sin4 ф +	. . . ) .
Если теперь cos ф sin" ф заменить	в	зависимости от		п	чет
ного или нечетного суммой членов,	пропорциональных			sin	или

123

cos кратных углов, то	і31	можно	выразить	суммой простых		гар
моник:
h i = ^ ( ^ і s i n Ф +	A c o	s Ф +	&ъ sin 2ф +	А 3 cos Зф	ВІ X
X sin 4ф + Л 5 cos 5ф + 5„ sin 6ф - f . . . ) .					(5.24)
Все коэффициенты В содержат по одному слагаемому, зависящему
только от параметра X. Остальные зависят от произведения						Хк.
Что касается коэффициентов А , то все они зависят от Хк,					поэтому
при X = 0 все члены cos исчезают и передаточная функция					зависит

только от первой и остальных четных гармоник sin. Появление косинусоидальных гармоник зависит от параметра х.

Таким образом, принципиально каждая из передаточных функ ций может быть разложена в тригонометрический ряд, коэффициен ты гармоник "которого выражены посредством степенных рядов. Для этих коэффициентов могут быть составлены таблицы в зависи мости от параметров X и х.

После разложения передаточной функции в ряд легко определить

также	и ее производную по углу ф
і п	= X (Вх cos ф — Ai sin ф -f- 2B2 cos 2ф — ЗЛ3 sin Зф + . . . ) , (5.25)

позволяющую выразить ускорение поршня в форме гармонического ряда.

Для нормального кривошипно-ползунного механизма х = О (е = 0). В соответствии с этим значением х нетрудно получить коэф фициенты разложения передаточной функции:

Bi = -U

Л 1 = Лз = Л5 = ... = 0.

Иногда возникает необходимость выяснить закон изменения ско рости и ускорения поршня в первом приближении. Если обратиться вновь к разложению (5.23), то, ограничившись в квадратных скоб ках первым членом, будем иметь

і3- — — X (sin ф + X sin ф cos ф — Хк cos ф)

или

/ 3 1 = — А^ІПф-І-— Sin 2ф —ÀX СОБф).

124

В таком случае приближенное значение скорости поршня

ѵв = 1а>1і3і = — /чох ^sincp-l-у sin2cp — hxcosyj	(5.27)
и ускорения при ©х = const
flß = — ral (cos ф + К cos 2ф + Ум sin ф).	(5.28)
Для нормального кривошипно-ползунного механизма	к = О,
поэтому
Ѵв = — гсоі ^іпф + "2"S M 2ф]>*	(5.29)
ÜB — — reof (cos ф + Я, cos 2ф).	(5.30)

Эти две формулы дают достаточно точные для кинематических расчетов результаты.

При расчете на уравновешивание необходимо определять со ставляющие силы инерции, имеющие частоту, в 12 и более раз пре вышающую число оборотов вала. В этом случае необходимо исполь зовать формулы (5.24) для і31 и (5.25) для ig, с целью представить

ßß —	ускорение поршня в форме тригонометрического ряда. При
этом	имеем
		ѵв = — rcoi (Sx sin ф + B2		sin 2ф + Б 4	sin 4ф +...);	(5.31)
	ав	= — т\ (Вг	cos ф + 2В2	cos 2ф -f 4 ß 4 cos 4ф + • • •)•		(5.32)
Если		принять Л =	0, что соответствует		бесконечно длинному

шатуну, то перемещение, скорость и ускорение будут иметь только

первую гармонику:	перемещение и ускорение будут изменяться
по закону косинуса,	а скорость — по закону синуса.

Механизм с теоретически бесконечно длинным шатуном (Я = 0) известен под названием синусного механизма (рис. 5.4). Уменьшение длины шатуна до конечных размеров приводит к отклонению зако


нов	изменения sg, ѵв и ав для синусного механизма тем больше,
чем больше параметр X. На рис. 5.5
приведены кривые скоростей для X = 0,
X =	и Я = -^-, а на рис. 5.6 — кривые
ускорений поршня для X = 3-îg и 1 = ^ ,
по которым можно судить об искажении
гармонического		движения поршня вве
дением шатуна		конечной длины.

Пример 5.1. Найти угол ср, при котором скорость поршня имеет максимальное значение,

	("в)шах
	и отношение •	fie. 5.4. Синусный механизм
	ср	fie. 5.4. Синусный механизм
	ср

128

Рис. 5.5. Кривые скоростей поршня

126

Р е ш е н и е. Для определения		искомого угла ср используем приближенное
выражение для скорости	поршня.
Фі, при котором vß =	(ѵв)тах,	вычисляем из уравнения

^~°в = — rcù\ (cos фі -f- X cos 2rpx) = О dt

пли

cos q>! + X cos 2q>! = cos ф х + X (2 cos2 ф! — 1) = 0.

Получаем квадратное уравнение для cos Ф і , корни которого соответствуют

			cos2 фх +	c o s Фі — 2" =		° -
Решая его, имеем
			со5Ф і = ^ ( У		- 1).
Перед радикалом положительный знак принят потому, что в противном
случае абсолютное		значение cos Ф		получилось бы больше			единицы.
Для различных значений X получаем следующие значения Ф і , при которых
»Д = (°й)тах:
X		1	1	1	1	1		1	1
		3,4	3,5	3,6	3,7	3,8		4	со

Фі		75°10'	75°33'	75°50'	76°09'	76°26'		77°	90°
Ы т а х		1,631	1,629	1,626	1,624	1,620		1,617	1,571

Отношение максимальной скорости к средней скорости поршня можно вы
разить следующим		равенством:
/„ \	ra/sin		Фі+-?г	sin 2ср.\	2 I81"Фі+		25Ш Ч
Ы 7 =				=

Численные значения искомого отношения при различных значениях X при

ведены в таблице.
П р и м е р 5.2. Найти значения ф2 угла поворота кривошипа, при			котором
ускорение поршня нормального кривошипно-ползунного механизма		принимает
экстремальные	значения.
Р е ш е н и	е . Для определения значений угла ф, при которых	ав	прини

мает экстремальные значения, используем приближенную формулу (5.30). daB

Дифференцируя ав и приравнивая -gj- нулю, получаем

daB

-— = rcûj (sin фа + 2Х sin 2фг) = 0

или

sin ф2 -f- 4Я sin фг cos ф2 = sin Ф г (1 -(- 4Я cos фг) = 0.

127

Отсюда sin ф2 = 0	или	(фа)! =	0	и	(ф2 )2	= 180° .
Второе уравнение	1 +	4 X cos ф2		=	0 дает корни в том случае, если X ^ 1/4,
при этом
		С	0 3	ф	2 = _ і	- .

Теперь д л я А , ^ - ^ - максимальное и минимальное значения ускорения полу чаем из формулы (5.30), подставляя ф = (;ра)і=0 и ф = (ф2 )2 = 180е:

Ы т і п =• — " » ! о + * - ) ;

При ^ ^ - ^ - получаем дополнительно два минимума при углах (ф2 Ь,4 =

= 180°- ± arccos ~		:
	АК
Ытіп	= - ™'[ t c o s Фі +		- (2 COS ф 2 - Г)] =	- гш? \| - ~ + X (jlp - 1 Yj.
Окончательно
Минимальные значения, определенные найденным выражением, легко от
метить на	кривой	ускорения	для Я, = 5 - 5 (см.	рис. 5.6).
			о,О

§ 5.3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА КУЛИСНЫХ МЕХАНИЗМОВ

На практике приходится рассчитывать разнообразные кулисные механизмы, отличающиеся один от другого количеством звеньев и конструктивной реализацией кинематической схемы. Простейшим кулисным механизмом является четырехзвенный. На рис. 9, а

Рис. 5.7. Механизм строгального станка

Рис, 5.8. Ротативный двигатель

128

была показана конструктивная схема пневмати ческого насоса, в котором кривошипом является эксцентрик /, а кулисой — звено 2. Аналогич ный механизм использован в масляном насосе (рис. 9, б). Отличается он от предыдущего нали чием кривошипа, заменяющего собой эксцен трик. На рис. 9, г изображена конструктивная схема тестомешалки, в которой качательное движение тестомесителю 2 сообщается от вра щающейся шестерни /. Все эти механизмы, от личающиеся как конструкцией, так и исполь зованием в рабочих машинах, могут быть пред ставлены одной и той же кинематической схемой (рис. 5.9) и, следовательно, могут быть рас считаны по одним и тем же формулам.

Рис. 5.9. Четырехзвениый кулисный

механизм

Более сложными являются шестнзвенные кулисные механизмы (рис. 5.7), получившие применение в металлорежущих станках для обработки плоскостей (продольно-строгальные, долбежные станки и др.). На рис. 5.8 приведена схема ротативного двигателя.

Угловые перемещение, скорость и ускорение кулисы. Кулису 3

(рис. 5.9) можно координировать углом <р, отсчитываемым от линии центров Л и С вращения кривошипа 1 и кулисы 3.

Проектируя длину кривошипа AB и переменную длину СВ ку лисы на линию центров АС, легко установить связь между извест ным для любого момента времени углом а поворота кривошипа и углом ф:

			г sin а	(5.33)
			tgq>= е -f- г cos а '	(5.33)
Если	ввести		отношение X = - , то уравнение (5.33) можно пред
ставить	в	виде
			sin а	(5.34)
			tg<P = X + cos а *	(5.34)
В зависимости от величины X получим кулисный механизм с вра
щающейся		или	качающейся кулисой. Для качающейся	кулисы
Ф < 90°	и	tg ф < оо, следовательно, знаменатель ни при		одном

из значений а не должен принимать значения, равного нулю, т. е.

должно быть X, >	1. Аналогично рассуждая, получим для вращаю
щейся кулисы X <	1, т. е. е <		г.
Дифференцируя	уравнение		(5.34) и имея в виду, что
	da			dtp	8>
	d t = ( ° l		И	dt"
получим окончательно			1 - f X cos		a
	0),, = © !					(5.35)
		1 + 2 Я		cos a + AT

б С. Н. Кожевников

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 6013 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ