книги из ГПНТБ / Казаков А.П. Технология и организация перегрузочных работ учебник

произвольные, заведомо высокие затраты на перевозку, что исключает использование этого направления в оптимальном плане.

Задача методами линейного программирования решается по опре­ деленным формализованным правилам (алгоритму). При этом каждый метод имеет свой алгоритм решения, следуя которому и отыскивают оптимальный план. При решении задачи линейного программирования составляется ряд систематически улучшаемых вариантов, позволяю­ щих постепенно приблизиться к искомому оптимальному варианту. Для оценки оптимальности варианта в различных методах решения задач выработаны отличительные признаки, которые и позволяют уста­ новить оптимальность того или иного варианта.

Используем для решения поставленной задачи метод потенциалов а. Составим рабочую матрицу (табл. 15) и занесем в нее все цифровые

исходные данные.

К решению задачи приступают с составления исходного плана, устанавливающего первоначальное распределение перевозок между предприятиями. При этом можно начинать распределение ресурсов (перевозок) с верхней левой клетки матрицы и последовательно разме­ стить весь грузооборот 1, 2 и 3-го причалов до его полного исчерпыва­ ния (метод «северо-западного угла»).

Однако применяют и другие методы составления исходного плана, которые позволяют получить улучшенный исходный план и этим самым

уменьшить число шагов (итераций) приближения к оптимальному плану.

В примере в основу составления исходного плана положим прин­ цип заполнения клеток по самым дешевым направлениям перевозок.1

1 В учебнике не излагаются теоретические основы различных методов реше­ ния задач линейного программирования. С ними читатель может познакомиться в специальной литературе [72, 52].

292

По этому принципу на предприятие Вг направим 250 тыс. т песка с при­ чала А 2, на предприятиеВ г — 350 тыс. т песка с причала А 3 косталь­ ную часть потребного песка с причала А и так как на причале А 3 пе­ сок исчерпан, и т. д. При распределении всех ресурсов сумма чисел в клетках каждого столбца должна равняться ограничению по столбцу bj и в каждой строке—ограничению по строке at.

Далее переходим к улучшению исходного плана и отысканию оп­ тимального решения.

План будет оптимальным в том случае, если во всех клетках вы­

293

Зададимся произвольным значением % = 0 и рассчитаем значения а и Р для всех пунктов отправления Ai и пунктов назначения By. Пользуясь уравнением (189), находим:

мальности выполняется. Аналогичный расчет делаем для других свободных клеток:

Так как условие оптимальности не соблюдено, поскольку имеются свобод­ ные клетки, для которых а* -г Ру > Сц, необходимо план улучшить.

Для этого выбираем свободную клетку, где в наибольшей степени не соблю­ дено условие оптимальности. В нашем случае имеется всего одна такая клетка 3—4. Это свидетельствует о том, что в данной клетке при оптимальном плане должна быть определенная величина распределяемого ресурса.

Улучшение производится перемещением ресурсов (груза) из одной клетки в другую путем обхода по замкнутому прямоугольному контуру («цепочке»). Построение контура начинается из выбранной свободной клетки 3—4. Из нее линия контура идет в заполненные клетки 1—4, далее в клетку 1—2, опускается вниз в клетку 3—2 и снова возвращается в клетку 3—4.

Цепочка начинается и заканчивается в избранной свободной клетке, идет по свободным и занятым клеткам. Необходимо стремиться, чтобы цепочка имела наименьшее число поворотов, но повороты должны быть только в заполненных клетках. Цепочка может образовывать как четырехугольную, так и сложную фигуру. Двигаясь из клетки 3—4 по контуру, расставляют в каждой клетке зна­ ки плюс и минус, означающие сдвиг в распределении ресурсов (груза). Знак минус указывает, что из данной клетки груз частично или полностью изымает­ ся, а знак плюс — что груз в данную клетку добавляется.

Наибольшее количество груза, которое можно переключить из клетки 3—2 в клетку 3—4, равно 150.

Изменим (улучшим) на это количество план. Чтобы удовлетворить потреб­ ность в песке всех предприятий, такое же количество песка переместим из клетки 1—4 в клетку 1—2. Новое распределение перевозок представлено в табл. 16.

Далее проверяется улучшенный вариант плана на соблюдение условий оп­ тимальности по новым значениям вспомогательных величин (условных оценок). Если условия оптимальности не соблюдаются, то делают следующие шаги (ите­ рации) улучшения до тех пор, пока во всех клетках не будет выдерживаться условие оптимальности.

Рассчитаем значение вспомогательных величин, соответствующих новому

294

тп

тп

г=1/=1

§56. Оптимальное распределение перегрузочных машин по объектам работы

Впрактической деятельности работников порта возникает необ­ ходимость распределения имеющегося парка перегрузочных машин по отдельным причалам и участкам работы.

Особенно большой маневренностью обладают плавучие и самоход­ ные стреловые краны на гусеничном и пневматическом ходу. Благодаря своей подвижности они свободно могут перемещаться с одного причала на другой, что позволяет их использовать в разное время на различ­ ных объектах работы.

Оптимальный план расстановки кранов по объектам работы может быть составлен с использованием методов линейного программирова­ ния.

За критерий оптимальности в таких задачах могут быть приняты минимальные суммарные затраты машино-часов на выполнение задан­ ного объема работы, минимальные простои судов под обработкой, ми­ нимальные эксплуатационные расходы по перегрузочным работам

295

и содержанию флота. Многие проведенные расчеты показывают, что оптимальные планы, рассчитанные по разным критериям оптималь­ ности, незначительно отличаются один от другого. Поэтому в опера­ тивных расчетах часто за критерий оптимальности принимают тот, по которому легче рассчитать оптимальный план, так как быстро меняю­ щиеся условия работы не дают возможности затрачивать много времени на отыскание точного решения.

Рассмотрим отыскание плана оптимального распределения пере­ грузочных машин по причалам, перерабатывающим различные грузы. Такая задача возникает при перестановке плавучих кранов с одного причала на другой, при смене специализации причалов в связи с изме­

объекте за данный период времени с учетом всех воз­ можных перерывов в работе (на обед, ремонт, из-за отсутствия судов и т. д.);

Эи — эксплуатационные расходы по г-му крану и содержа­ нию флота под обработкой на /-м объекте (участке) за данный период, руб./кран;

xtj — искомое количество кранов г-ro типа, которые необ­ ходимо установить на у-м объекте (участке);

Gj — объем переработки груза на у-м участке;

N t — количество кранов г-го типа, которое подлежит рас­ пределению.

Решение задачи сводится к отысканию такого распределения пере­ грузочных установок (кранов) по объектам работы (участкам), при ко­ тором обеспечивается минимум расходов по перегрузочным установкам и содержанию флота под обработкой,

При этом необходимо соблюдать следующие ограничения.

1. Количество груза, перерабатываемое всеми кранами на том или ином участке, должно быть равно объему грузопереработки данного участка:

2. Количество кранов каждого типа на всех участках не должно превышать их имеющегося количества:

( 193)

/=1

296

3. Число кранов, закрепляемых за любым участком, не может при­ нимать отрицательных значений:

Иногда вместо числа разнотипных перегрузочных машин задается их ресурс в машино-часах или машино-сменах, нормативные затраты времени в машино-часах (машино-сменах) на перегрузку 1 тыс. т того или иного груза и эксплуатационные расходы по содержанию машины

за час или смену.

Для решения таких задач используются как точные, так и прибли­ женные методы.

Ниже решается симплексным методом, являющимся наиболее уни­ версальным в линейном программировании, конкретная задача по оп­ тимальному распределению трех типов плавучих кранов по трем спе­ циализированным участкам работы. Основные исходные данные задачи

расходы по кранам и флоту за время его обработки Э1} рассчитаны для определенной технологии и концентрации перегрузочных средств на обработке судов. Необходимо выбрать из числа имеющихся кранов для

297

перегрузки каждого рода груза такие, применение которых обеспечит минимальные расходы на переработке заданного грузооборота. Если при оптимальной расстановке часть кранов окажется излишней, то их предполагается использовать на причалах клиентуры.

В математической форме условия задачи могут быть записаны

ввиде следующей системы линейных уравнений и неравенств:

1)суммарная норма выработки за навигацию всех кранов на участ ке с учетом перерывов в работе по различным причинам должна быть равна объему грузопереработки участка:

В нашем случае

200*!!+ 120х31+ 130х31 = 1200; 210х12 -(- 150x224~ 220х32 = 1400;

160х13+ 180х23 + 1 4 0 х 33 = 1000;

2) число кранов данного типа на всех участках не должно превышать общего количества кранов этого типа:

3) отыскиваемые неизвестные должны иметь неотрицательные зна­ чения:

2 = 60xu 4~ 45х12 4~ 7 0х13 4~ 4 0 х 2 1 4 - 30х22 4~60х23 4 ~ 80х314 ~

4- 20х32 4- 50х33 -> min.

298-

Условия задачи, выраженные равенствами (195) и неравенствами (196), можно переписать в виде следующей системы равенств:

Рit *п 4-4*21 *21 4~ Р3хХз1 Jt~xi = G1;

200x2!+ 120x21+ 130x31 + Xi = 1200;

210x12 + 150x32 + 220x3a -f x2 = 1400;

160x13+ I80x23-f- 140x33-f x3 = 1000;

(200)

*n 4~*12 4" *13 + *4 = 9; *214“ *224“*234“*5 = 4,

*314- *324“*33-Г *6 = 6,

где переменные xx; x2; x3 являются искусственными, а переменные x4; x5; x9 — дополнительными и означают недоиспользование ресур­ сов кранов при определенном их распределении по участкам (в нашем случае они означают краны, которые могут быть переданы для ис­ пользования на причалах клиентуры). Коэффициенты при неизвестных (включая и те неизвестные, у которых они равны нулю) и свободные члены в системе уравнений (200) можно представить как вектор-столбцы

Из всех векторов Лп ; Л12; ..., Л5; Лв выбирается определенным-об­ разом т (число уравнений в системе) линейно независимых векторов, которые образуют базис /п-мерного пространства. Неизвестные, соот­ ветствующие базисным столбцам, называются базисными, а осталь­ ные—свободными.

Сущность симплексного метода состоит в переходе от одного допу­ стимого (неотрицательного) базисного решения к другому, при этом каждый такой переход совершается не произвольно, а сопровождается

299

приближением к оптимальному решению. Процесс отыскания оптималь­ ного решения совершается за сравнительно небольшое число прибли­ жений (шагов).

Примем за первоначальный базис векторы Аг, А 2, А 3, Л4, Л5, Лв, которые являются линейно независимыми, так как ни один из них не может быть линейно выражен через остальные. Составим симплекс­ ную таблицу (табл. 18), которая является исходным планом решаемой проблемы.

Основа симплексной таблицы — вектор-столбцы, составленные из свободных членов и коэффициентов при неизвестных в системе урав­ нений (200).

В заглавной верхней строке таблицы указываются соответствующие каждому вектору эксплуатационные расходы (оценки) 9j, а в следую­ щей строке —обозначения векторов: Л0; Лп ; Л12; ..., Л5, Л6.

Вектор Ад, называемый вектором условий или планом, составляется

Поскольку искусственные переменные ставятся в равенства, ко­ торые означают, что не допускается недовыполнение или перевыпол­ нение плана, то искусственные векторы вводятся в базисные решения при машинном счете с очень большой численной оценкой, а при ручном счете—с оценкой М без указания численного значения. Под этой оцен­ кой можно понимать высокие штрафные санкции за невыполнение плана и т. п.

Дополнительные векторы выражают лишь потенциальную возмож­ ность использования ресурсов свободных кранов, а поэтому они вводятся в базисное решение с нулевой оценкой.

В первом левом столбце, называемом целевым, записываются оценки базисных векторов Эь во втором—обозначения принятых для

суказанием номеров i строк матрицы.

Впредпоследней (индексной) строке таблицы дают значения индек­ са Zj для каждого столбца на данном шаге, вычисляемые по формуле

где y i} — элемент i-й строки /-го вектор-столбца;

Эь — оценка базисного вектора, находящегося в i-й строке. При вычислении индекса z} для /-го столбца элементы этого столб­

ца у и умножают на соответствующие оценки Э( базисных векторов

300