книги из ГПНТБ / Казаков А.П. Технология и организация перегрузочных работ учебник

§ 53. Применение метода статистического моделирования при организации работы порта

Применение аналитических методов теории вероятностей для иссле­ дования процессов, протекающих в условиях воздействия случайных факторов, вызывает много трудностей, связанных с получением урав­ нений, в которых используются распределения и их числовые харак­ теристики (средние значения, дисперсии и т. д.).

Эти трудности особенно велики, когда зависимости между случай­ ными возмущениями и искомыми параметрами описываются сложными нелинейными соотношениями. Так, процесс обслуживания транспорт­ ных средств в порту в целом не может быть задан в виде системы урав­ нений, в результате решения которой можно было бы найти количест­ венные зависимости между входными и выходными параметрами си­ стемы обслуживания с учетом особенностей ее функционирования.

Единственный способ исследования (кроме натурного эксперимен­ та) — моделирование процесса функционирования на ЭВМ. При этом процесс функционирования системы расчленяется на ряд элементарных актов, каждый из которых формализуется (описывается аналитичес­ ки), а затем в заданной последовательности воспроизводится на ЭВМ. Широкое распространение получил метод статистического моделирова­ ния сложных систем (метод Монте-Карло), носящих стохастический характер процессов их функционирования [12]. Сущность статистиче­ ского моделирования состоит в построении для исследуемого процесса соответствующего моделирующего алгоритма, имитирующего при по­ мощи арифметических и логических операций на ЭВМ последователь­ ность элементарных актов, характеризующих поведение элементов системы и взаимодействие между ними с учетом возмущающих фак­ торов.

Случайные факторы имитируются при помощи случайных чисел (особо распределенных в заданном интервале), формируемых на ЭВМ.

Реализация на ЭВМ моделирующего алгоритма позволяет по задан­ ным значениям параметров системы и начальным условиям вычислять необходимые характеристики процесса функционирования системы.

Метод статистического моделирования находит применение при ис­ следованиях, связанных с совершенствованием организации произ­ водства, технологии, планирования, учета и управления в промышлен­ ности, на транспорте и в других областях народного хозяйства.

Значительную роль играет метод статистического моделирования при решении задач, возникающих в связи с автоматизацией управле­ ния производством. Методом статистического моделирования может быть оценена эффективность различных принципов управления, ва­ риантов построения и оптимизации управляющих систем, а также рабо­ тоспособность и надежность управляющей аппаратуры.

Ниже рассмотрен пример применения метода статистического мо­ делирования для исследования процесса обслуживания судов на при­ чале, когда распределение длительности обслуживания не поддается аналитическому описанию. Пусть имеется одноканальная система об-

281

служивания с ожиданием без отказа. В систему поступает ординарный поток заявок, распределенный по показательному закону (простейший поток). Время занятости канала (длительность обслуживания заявки) задается интегральной функцией произвольного закона распределе­

ния L (^гр). Если в момент Г" поступления k-й заявки канал свободен, то он приступает к обслуживанию заявки, что продолжается в течение

времени tKTV. Если в момент канал занят обслуживанием преды­ дущей (k — 1)-й заявки, то k-я заявка ждет начала обслуживания в те­ чение времени Ц.0;к. Заявки обслуживаются в порядке очередности.

В рассматриваемом случае в качестве заявок выступают однотип­ ные суда, поступающие под грузовую обработку к специализирован­ ному причалу. Цель исследования организации работы причала —по­ лучение характеристик качества обслуживания: среднего времени гру­ зовой обработки и среднего времени ожидания судном освобождения причала (среднего времени ожидания обслуживания). •

В некоторых частных случаях удается найти аналитические реше­ ния подобных задач, как, например, в случае показательного распре­ деления длительности обслуживания и интервалов поступления судов под обработку (см. § 51). Однако в нашем случае, при произвольном законе распределения длительности обслуживания, метод статистиче­ ского моделирования (метод Монте-Карло) оказывается единственным методом расчета описанной задачи.

Процесс функционирования системы обслуживания рассматривается за период времени от 0 до Тв, где Тэ—рассматриваемый период работы

причала в часах. Суда, для которых момент > Тэ, в систему не попадают и не обслуживаются.

Исходными данными для моделирования являются закон распре­ деления интервалов поступления судов ф (т), функция распределения L (trр) длительности их грузовой обработки, количество Z реализаций (опытов), обеспечивающих заданную точность расчета, а также начальное состояние системы при t — 0.

Обозначим момент освобождения k-ым судном причала через Т\. За начальный момент расчета будем считать момент поступления нуле­

вого судна Г" = 0. Принимаем, что в момент t — 0 и Т" = Т£ = = 0. Момент окончания расчета — Тэ.

Алгоритм решения задачи упростится, если мы зададимся не пе­ риодом работы причала Тэ, а количеством судов, рассматриваемых за каждую реализацию, N. Тогда момент окончания расчета определится из условия k = NZ, где к — очередной номер судна, а N — заданное число судов, поступающих под обработку.

Решение рассматриваемой задачи методом статистических испыта­ ний, реализуемых на ЭВМ, сводится к построению алгоритма, моде­ лирующего процесс обслуживания судов.

Алгоритм решения задачи представлен в виде блок-схемы (рис. 153), включающей запись всех соотношений имитационной модели процесса обслуживания (формул, неравенств и т. д.), последовательно отража­ ющих выполнение элементарных операций функционирования одно­ канальной системы для каждого шага приращения ДА.

282

Ниже приводится описание блок-схемы.

Блок 1 осуществляет ввод всей необходимой информации в память ЭВМ.

Блок 2 определяет начальное состояние системы обслуживания (причала) для каждого фиксированного значения К.

Блок 3 производит засылку нулей в ячейки (очищение ячеек ЭВМ) накопления суммы 2Ук.гр и 2^к.ож и присваивает номеру судна к зна­ чение, равное 1.

Блок 4 генерирует случайные числа (С. Ч.), равномерно распреде­ ленные в интервале (от 0 до 1) по специальному алгоритму (имеется стандартная программа для ЭВМ).

Блок 5 преобразует последовательность случайных чисел (С. Ч.) в последовательность интервалов поступления судов с показательным законом распределения:

(Т" > Тк—i) управление передается на блок 9.

Блок 8 формирует момент начала обслуживания к-го судна, равный моменту окончания обслуживания (к — 1)-го судна.

Блок 9 формирует момент начала обслуживания к-го судна, равный моменту поступления этого судна.

Блок 10 производит обращение к генератору случайных чисел (Г. С. Ч.). При каждом новом обращении к Г. С. Ч. выдается новое слу­ чайное число.

Блок 11 преобразует случайные числа, равномерно распределенные в интервале (0, 1), в случайные числа, распределенные также равно­ мерно, но в интервале (0,100), и выделяет целую часть полученных чи­ сел С. Ч. X 100 = /. В блоке 11 через [|3] обозначена целая часть числа.

Блок 12 по полученному числу I выбирает из таблицы моделирова­ ния соответствующее ему значение tTp (табл. 11). Например, машина вырабатывает случайное число 40. Считая его номером строки, выби­ раем из таблицы моделирования соответствующее ему значение tTp =

— 13,1 ч. Таблица моделирования, введенная в память машины, состав­ ляется на основании трансформации ста равномерно распределенных чисел от 0 до 99 через функцию распределения L (£гр) на ось ^гр спо­ собом, указанным на рис. 154 (составлена на основе статистических данных).

284

Блок 16 фиксирует накопленным итогом значения tKож, т. е. вычис­ ли

ляет 2 tKож.

285

Блок 22 проверяет условие К > Ашах. Если оно выполняется, то это означает, что задача решена полностью, и управление передается блоку 23, останавливающему машину. Если условие не выполняется, т. е. А, <; А,тах, то управление передается на блок 2 и задача решается для нового значения А,: = Я, -j—ДА, в той же последовательности.

Ч и с л о в о й п р и м е р р е ш е н и я з а д а ч и

Исходные данные:

1)судопоток за одну реализацию N = 30 ед.;

2)плотность входящего судопотока в диапазоне А = 0,1 — 1,0 судов в сут­

ки, с шагом приращения ДА = 0,1;

^ = П‘ = П’=0:

6)нулевой интервал т0 поступления судна равен нулю;

7)стандартная программа генерирования случайных чисел (С. Ч.) для конкретной ЭВМ.

Результаты решения данной задачи путем

еемоделирования на ЭВМ сведены в табл. 12. По результатам решения строится график за­ висимости времени ожидания грузовой обра­ ботки от коэффициента использования причала при произвольном законе длительности распре­ деления /гр (рис. 155).

использования причала по времени.

Для указанных распределений расчеты времени ожидания прове­ дены аналитическим путем по формуле (161). При этом в случае стан­ дартного времени обслуживания судна причалом введен поправочный коэффициент 0,5.

286

Моделирующий алгоритм данной задачи может быть записан также в операторной форме:

F 1122Ръ F t •18 Ф4 А.0 Ав РЦ9Р87Ft ■9 Ф10 Фп Ф12 К 13 Аи Аи К 1в Р„\Ц /7!!

Ai9Ф20 Pzi Р2Ц2 Я 23',

где F, Ф, А, Р, К, Я — операторы, изображающие содержание и по­ следовательность выполнения операций [12].

Г л а в а XIV

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ПЛАНИРОВАНИИ

ИОРГАНИЗАЦИИ РАБОТЫ ПОРТА

§54. Решение эксплуатационных задач

сприменением методов линейного программирования

Эксплуатационные задачи отличаются большим количеством взаимо­ зависимых переменных, что приводит к множеству возможных вариан­ тов их решения. До последнего времени в организации работы флота и портов в основном использовались простейшие вычислительные средства, которые не позволяли в короткий срок выполнять большой объем вычислений. Это заставляло инженерно-технических и плановых

287

работников при организации работы флота и портов ограничиваться расчетом и сопоставлением показателей для небольшого количества вариантов (двух-трех), из которых выбирался наилучший.

Электронно-вычислительные машины и новые математические ме­ тоды дают возможность в короткий срок и с высокой точностью выпол­ нять сложные и трудоемкие расчеты, учитывать большое количество различных факторов, их взаимосвязь и взаимодействие и на этой осно­ ве наиболее эффективно использовать материальные и людские ресурсы в портах и на транспорте.

Значительная часть эксплуатационно-экономических задач, свя­ занных с работой речного транспорта, выражается системой уравнений и неравенств первой степени, что позволяет использовать для их ре­ шения методы линейного программирования, которые дают возмож­ ность при сравнительно небольших затратах труда и времени отыскать оптимальные решения неопределенных систем линейных уравнений.

Прежде чем пользоваться линейным программированием, необ­ ходимо точно сформулировать эксплуатационную задачу и установить, относится ли она к классу задач, решаемых методами линейного про­ граммирования.

Эксплуатационно-экономические задачи, которые могут быть ре­ шены методами линейного программирования, должны обладать рядом отличительных признаков:

а) между всеми экономическими, технологическими и другими фак­ торами и искомыми величинами, определяющими оптимальное решение, была линейная зависимость, описываемая системой уравнений и не­ равенств первой степени;

б) система линейных соотношений имела множество допустимых решений (возможность большого количества вариантов использования распределяемых ресурсов — перегрузочных машин, рабочей силы, судов и т. п.), из которых при заданных условиях, как правило, лишь одно оптимально;

в) основная цель решаемой проблемы обладала определенным эко­ номическим содержанием и выражалась линейным соотношением.

Решение эксплуатацисщной задачи с применением линейного про­ граммирования начинается с выявления всех особенностей решаемой проблемы и установления взаимозависимости между основными фак­ торами и условиями, влияющими на выбор оптимального варианта {ресурсы, потребность в них и ограничения в использовании).

Следует иметь в виду, что не все факторы и условия, связанные с данной экономической проблемой, являются определяющими и в рав­ ной степени влияют на выбор оптимального решения. Поэтому нужно разграничить определяющие и второстепенные условия.

Для выбора оптимального варианта устанавливают критерий оп­ тимальности, т. е. конечную цель, которая должна быть достигнута при отыскании оптимального варианта. В зависимости от условий задачи критерием оптимальности может быть наименьшая себестои­ мость, наименьшие приведенные затраты, наибольшая производитель­ ность, наибольший объем производства, наименьшие простои судов под обработкой и т. д.

288

Этот план должен отвечать следующим условиям:

1) общее количество груза, отправляемое с г-го причала на все предприятия, равно грузообороту данного причала:

П

2 х и = аг (t = 1, 2,..., т\ / = 1, 2... п); (186) i=i

2) общее количество груза, отправляемое на ;-е предприятие со всех причалов, должно равняться потребности в этом грузе данного пред­ приятия:

!= 1

3) количество груза, отправляемое с любого причала или при­ бывающее на любое предприятие, не может быть отрицательной вели­ чиной:

Целевая функция вместе с системой приведенных уравнений и не­ равенств и есть экономико-математическая модель транспортной за­ дачи.

При решении задачи принимаем общее количество отправляемого груза равным суммарной потребности в нем всех предприятий:

' т п

/=1 /=i

Уравнение (185) представляет собой функцию цели. Решение его сводится к отысканию минимума расходов на перевозку. Три послед­ них уравнения (186) — (188) называются системой ограничений данной задачи.

Ограничения, накладываемые на решение задачи, могут быть обус­ ловлены структурой разрабатываемого плана ( например, не допускает­ ся перевыполнение плановых величин), недостаточным количеством используемых ресурсов и производственными условиями. Кроме того, переменные, входящие в состав уравнений, должны иметь положитель­ ные значения, так как только при этом условии задача имеет реальное экономическое содержание.

Решение задачи состоит в отыскании таких неотрицательных пере­ менных xtj в системе данных линейных соотношений, при которых це­ левая функция имеет минимальное (задачи на минимум) или максималь­ ное (задачи на максимум) значение.

Линейное программирование включает различные методы числен­ ного решения задач [50, 67]. Одни из них дают приближенные решения, другие—точные. Некоторые способы удобны для решения на электрон­ ных цифровых вычислительных машинах, а другие — для ручного счета. Поэтому следует в каждом случае выбирать наиболее простой и наименее трудоемкий способ, обеспечивающий получение необходи-

290