книги из ГПНТБ / Каган Б.М. Цифровые вычислительные машины и системы учеб. пособие

дится к арифметическому сложению. В результате уп­ рощаются арифметические устройства машин.

Для представления двоичных чисел в машине при­ меняют прямой, обратный и дополнительный коды. Во всех этих кодах предусматривается дополнительный раз­

полнительном кодах имеют один и тот же вид, а отрица­ тельные — различный.

Способы представления чисел (2-13) и (2-14) назы­ ваются прямым кодом соответственно положительных и отрицательных двоичных чисел.

Сложение в прямом коде чисел, имеющих одинако­ вые знаки, выполняется достаточно просто. Мантиссы складываются и сумме присваивается код знака слага­ емых. Значительно более сложной является операция алгебраического сложения в прямом коде чисел с раз­ личными знаками. В этом случае приходится определять большое по модулю число, производить вычитание ман­ тисс и присваивать разности знак большего (по модулю) числа. Таким образом, если положительные и отрица­ тельные числа представлены в прямом коде, операции над кодами знаков и мантиссами выполняются раз­ дельно.

69

Операция вычитания (алгебраического сложения) сводится к операции простого арифметического сложе­ ния при помощи обратного и дополнительного кодов, ис­ пользуемых для представления отрицательных чисел в машине. При этом операция сложения распространяется и на разряды знаков, рассматриваемых как разряды це­ лой части числа.

Чтобы представить двоичное отрицательное число (2-12, а) в обратном коде, нужно поставить в знаковый разряд единицу, а во всех других разрядах заменить единицы нулями, а нули — единицами:

числа заменяют дополнением модуля числа до целой единицы. Отрицательное число G ~ = —0, уі у2, -.-,Уп в до­ полнительном коде имеет вид:

Установим связь между самим отрицательным чис­ лом G~ и числами (G~)06p и (G- )ÄOn, представляющи­ ми его обратный и дополнительный коды.

Вычитая (2-12а) из (2-15), имеем:

= 1,11 - --1 = 2 — 2~п,

так как cri+Y*== 1- Следовательно,

Вычитая (2-12а) из (2-16), имеем:

(С~)доп — СГ = 1, ех е2• • • ея — (— 0, Yi Ys• • ■Yn)-

Учитывая (2-17), получаем:

70

нительный код может быть получен из обратного путем добавления к нему единицы младшего разряда.

Рассмотрим представление нуля. В процессе вычис­ лений могут возникнуть «положительный» и «отрица­

так как перенос из разряда знака теряется.

Используя обратный или дополнительный код, мож­ но операции вычитания и сложения чисел различных знаков свести к арифметическому сложению кодов чисел.

Рассмотрим использование обратного кода при ал­ гебраическом сложении двух двоичных чисел G и Q, ког­ да одно из них или оба числа отрицательны. Для этого случая может быть сформулировано следующее прави­ ло (предполагаем, что модуль алгебраической суммы меньше единицы).

При алгебраическом сложении двух двоичных чисел с использованием обратного кода положительные слага­

рые при этом рассматриваются как разряды целых единиц. При возникновении переноса из разряда знака единица переноса прибавляется к младшему разряду

71

суммы кодов'. В результате получается алгебраическая сумма в прямом коде, если эта сумма положительна, и в обратном коде, если она отрицательна.

Это правило легко проверить. Пусть имеем двоичные

Двойка, стоящая в квадратных скобках, соответству­ ет переносу из знакового разряда. В этом случае соглас­

Итак, сложение с циклическим переносом обратных кодов двух отрицательных чисел дает обратный код их алгебраической суммы.

Рассмотрим алгебраическую сумму двух чисел: поло­ жительного G+ и отрицательного Q~. Тогда

кий, то двойку нужно в рассматриваемом выражении заменить на 2~п.

1 Такой перекос называется круговым или циклическим.

72

сумма положительна, и в обратном коде, если она отри­ цательна.

Рассмотрим теперь использование дополнительного кода для алгебраического сложения. Приведем соответ­ ствующее правило (полагаем, что модуль алгебраиче­ ской суммы меньше единицы).

При алгебраическом сложении двух двоичных чисел с использованием дополнительного кода положительные слагаемые представляются в прямом коде, а отрицатель­ ные— в дополнительном и производится арифметиче­ ское суммирование этих кодов, включая разряды знаков, которые при этом рассматриваются как разряды целых единиц. При возникновении переноса из разряда знака единица переноса отбрасывается. В результате получа­ ется алгебраическая сумма в прямом коде, если эта сум­

скобках, меньше двух, но больше единицы. Двойка, сто­ ящая вне скобки, образует перенос из разряда знака, ко­ торый будет отброшен. В результате получаем:

73

торая отбрасывается. При этом получаем:

(при G+ -f QT < О)-

Применение дополнительного или обратного кода для представления отрицательных чисел упрощает операцию алгебраического сложения. Алгебраическое сложение чисел с разными знаками заменяется арифметическим сложением кодов, при этом автоматически получается код знака результата. Однако остается нерешенным во­ прос о выработке признака переполнения разрядной сетки.

Допустим, что производится сложение двух отрица­ тельных двоичных чисел, представленных в дополнитель­ ном коде, причем эти числа по модулю меньше, а их сум­ ма по модулю больше единицы, например:

(<7)доп= 1,01010 (—0,10110)

(<3)доп = 1,00101 (— 0,11011)

0 , 0 1 1 1 1

При сложении кодов теряется единица переноса из разряда целых единиц и результат ошибочно восприни­ мается как положительное число, меньшее единицы.

Отметим, что при алгебраическом сложении двух чисел G и Q, каждое из которых по модулю меньше еди­ ницы, может возникнуть переполнение разрядной сет­ ки, но при этом модуль получаемой суммы всегда мень­ ше двух. Это обстоятельство облегчает построение кодов, по виду которых можно судить о переполнении разрядной сетки.

Для получения признака переполнения разрядной сетки применяют модифицированные прямой, дополни­ тельный и обратный коды. Эти коды отличаются от ра­ нее рассмотренных кодов тем, что для представления знака используются два разряда. При этом знак плюс обозначается 00, а знак минус — 11.

При алгебраическом сложении чисел знаковые раз­ ряды рассматриваются как разряды целой части числа.

74

При возникновении переноса единицы из старшего разряда знака эта единица отбрасывается, если отрица­ тельные числа представляются модифицированным до­ полнительным кодом, или производится циклический пе­ ренос в младший разряд мантиссы, если отрицательные числа изображаются модифицированным обратным ко­ дом.

При алгебраическом сложении на переполнение раз­ рядной сетки (модуль алгебраической суммы больше единицы) указывает несовпадение цифр в знаковых раз­ рядах. Комбинации 01 в знаковых разрядах соответст­ вует положительное число, а комбинации 10—отрица­ тельное число.

В этих случаях модуль суммы

75

(G)“on= 11.10011

(Q)“p= 00,10101 11,10011

+

_______________ 00,10101

(1)00,01000 (G + Q)np =00,0100°

Показанные на рис. 2-2 и 2-3 разрядные сетки соот­ ветствуют формам, в которых слова записываются в ячейки оперативной памяти. В арифметическом устрой­ стве для контроля переполнения вводят дополнительно второй знаковый разряд мантиссы, а также второй зна­ ковый разряд, порядка (для машин с плавающей запя­ той при отсутствии смещения порядка) и для изображе­

76

ния мантиссы и порядка используют модифицированные коды с двумя знаковыми разрядами.

Отметим особенности нормализации и выполнения сдвига для отрицательных чисел, представленных в до­ полнительном (обратном) коде.

У нормализованного положительного или отрицатель­ ного числа с мантиссой, изображаемой в прямом коде, цифра в старшем 5-ичном разряде мантиссы должна быть отлична от нуля. Для отрицательных мантисс, пред­ ставленных в обратном или дополнительном коде, усло­ вие нормализации | q 1/5 выполняется, если цифра

встаршем 5-ичном разряде мантиссы есть нуль.

Вслучае чисел с плавающей запятой комбинации 01 и 10 в знаковых разрядах мантиссы указывают на нару­

ния нормализации производится сдвиг мантиссы впра­ во (или влево) на нужное число разрядов, при этом порядок увеличивается (уменьшается) на соответствую­ щее число единиц.

Если отрицательные числа представляются в допол­ нительном (обратном) коде, сдвиг производится по осо­ бым правилам («модифицированный сдвиг»), с тем что­ бы в результате сдвига дополнительного (обратного) кода числа х на т 5-ичных разрядов получился дополни­ тельный (обратный) код числа Smx или S~mx соответст­ венно для сдвига влево или вправо.

При модифицированном сдвиге дополнительного (об­ ратного) кода вправо в освобождающиеся старшие раз­ ряды мантиссы записываются единицы, а при сдвиге влево единицы записываются в освобождающиеся млад­ шие разряды.

2-5. К О Д И Р О В А Н И Е Д Е С Я Т И Ч Н Ы Х Ч И С Е Л

В большинстве вычислительных машин и систем для представления и хранения информации внутри машин и ее преобразований используются двоичный алфавит и двоичная система счисления. Однако и в этом случае для облегчения связи человека с машиной необходимо иметь возможность готовить и вводить в машину исход­

77

ную информацию в привычной для человека десятичной системе и получать результаты обработки информации в этой же системе.

Для этой цели необходимы специальные коды, поз­ воляющие представлять десятичные цифры посредством букв двоичного алфавита (0 и 1). Такие коды называ­ ются двоично-десятичными.

Был предложен ряд систем кодирования. Выбор той или иной из них зависит от особенностей использования десятичной информации в вычислительных устройствах Если десятичные числа используются только при вводе и выводе информации, а вычисления производятся в двоичной системе, то наиболее важными требования­ ми к системе кодирования десятичных чисел являются наглядность представления десятичных чисел и просто­ та перевода чисел из десятичной системы в двоичную

иобратно.

Вмашинах, предназначенных для обработки эконо­ мической информации, часто сами операции над числа­

ми выполняются в десятичной системе счисления. В этом случае способ кодирования десятичных чисел приходит­ ся выбирать с учетом удобства выполнения над ними арифметических операций.

Наконец, если определяющим моментом является достоверность подготовки десятичных данных и переда­ чи их в машину, то для выбора способа кодирования существенны простота контроля правильности поступа­ ющих данных и возможность исправления возникающих при передаче ошибок.

Система кодирования десятичных знаков, как впро­ чем и любых других знаков \ посредством букв дво­ ичного алфавита должна удовлетворять следующим ус­ ловиям: а) в кодовом слове легко должна определяться граница между кодами рядом записанных знаков; б) ка­ ждому знаку должна соответствовать одна единствен­ ная комбинация букв двоичного алфавита.

ну (число разрядов). Тогда, если известно местоположе­ ние начала слова, легко определяется граница между соседними кодами знаков. Чтобы можно было предста-

1 В следующем параграфе рассматривается кодирование алфа­ витно-цифровой (текстовой) информации.

78