книги из ГПНТБ / Каган Б.М. Цифровые вычислительные машины и системы учеб. пособие

ибольшее положительное число, представимое в разряд­ ной сетке, показанной на рис. 2-2, а, равно:

0,1 1 ... 1 = 1 — 2"31,

31единица

анаименьшее число:

В разрядной сетке (рис. 2-2, а) могут быть представ­ лены числа в диапазоне

от — (і — 2-31) до — 2~31 и от + 2-31 до + (і — 2-31),

Кроме того, в разрядной сетке могут быть представ­ лены также коды «положительного» и «отрицательного» нуля (см. § 2-4). Числа

М < 2 -31

не могут быть изображены в разрядной сетке и прини­ маются равными нулю («число выходит за разрядную сетку вправо»).

С другой стороны, все числа

М > 1

также не могут быть представлены в принятой разряд­ ной сетке. Такое число «выходит из сетки влево» («пере­

59

полнение разрядной сетки»), и его старшие разряды (разряды слева от запятой) теряются, а результат вы­ числений оказывается неверным. Поэтому обычно при переполнении происходит автоматическая остановка ма­ шины либо формируется соответствующий сигнал преры­ вания программы.

В случае запятой, фиксированной справа от младше­ го разряда, разрядная сетка на рис. 2-2,6 позволяет представлять положительные и отрицательные целые двоичные числа, модуль которых

не могут быть представлены в этой разрядной сетке и принимаются равными нулю («число выходит за разряд­ ную сетку вправо»).

При выполнении на машине вычислений с использо­ ванием представления чисел с фиксированной запятой необходимо, чтобы все исходные данные и получающие­ ся в процессе вычислений промежуточные и конечные величины не выходили за диапазон чисел, представимых в данной разрядной сетке. В противном случае в вычис­ лениях могут возникнуть грубые ошибки. Для этого при программировании задачи величины, участвующие в вы­ числениях, берутся с соответствующими масштабными коэффициентами.

Масштабирование оказывается более простым и при­ вычным для научно-технических расчетов, если все чис­ ла по модулю должны быть меньше единицы, т. е. запя­ тая фиксирована перед старшим разрядом числа. В этом случае удается сравнительно просто автоматически контролировать переполнение разрядной сетки при де­ лении, не производя самой операции (делимое больше делителя).

В случае запятой, фиксированной после младшего разряда, опасность представляет переполнение разряд­ ной сетки при умножении, контроль которого до совер­ шения операции по величине операндов более сложен.

Использование представления чисел с фиксированной запятой позволяет упростить схемы машины, повысить

60

ее быстродействие, но создает некоторые трудности при программировании. Первые ЦВМ были машинами с фик­ сированной запятой, причем запятая, как правило, фик­ сировалась перед старшим разрядом числа. В настоящее время представление чисел с фиксированной запятой ис­ пользуется как основное и единственное лишь в сравни­ тельно небольших по своим вычислительным возможнос­ тям машинах, применяемых для управления технологи­ ческими процессами и обработки измерительной инфор­ мации в реальном масштабе времени.

В машинах, предназначенных для решения широкого круга вычислительных задач, основным является пред­ ставление чисел с плавающей запятой, практически не требующее масштабирования данных.

Однако в таких машинах часто наряду с этой формой представления чисел используется также и представле­ ние с фиксированной запятой, поскольку операции с та­ кими числами выполняются за меньшее время. При этом в большинстве случаев формат чисел с фиксированной запятой служит для представления целых двоичных чи­ сел (запятая фиксируется справа от младшего разряда числа) и выполнения операций над ними, что, в част­ ности, необходимо для операций «адресной арифмети­ ки» над кодами адресов (см. гл. 5).

Представление числа с плавающей запятой в общем

Обычно число 5 совпадает с основанием или целой степенью основания системы счисления, которая исполь­ зуется для представления в ЦВМ мантиссы q.

Порядок р может быть положительным или отрица­ тельным целым числом, которое указывает положение запятой в числе х.

Мантисса q — обычно правильная двоичная дробь. Поэтому распространена следующая форма представле­

61

Рассмотрим в качестве примера машину, в которой слова имеют длину 32 двоичных разряда. Пусть число х — 2Pq изображается в машине двоичным словом

которому соответствует формат данных, показанный на рис. 2-3, а.

Разряды ßoßx ... ß6 отводятся под изображение по­ рядка числа р, при этом разряд ß0 изображает знак по-

Ja a /c м а а т и ссь/

/( числа)

11

Зная мантиссы

изображение мантиссы q числа. Разряд ао служит для

Неравенство показывает, что двоичное число нор­ мализовано, если в старшем разряде мантиссы стоит единица.

62

Установим диапазон изменения чисел, представлен­ ных в этой разрядной сетке.

Поскольку для порядка р (включая его знак) отве­ дено семь разрядов, то порядок может быть любым це­ лым числом от —63 (1111111) до +63 (0111111).

Наибольшее и наименьшее нормализованные поло­ жительные числа в разрядной сетке (рис. 2-3, а) соответ­ ственно равны:

263• 0,111 • • • 1 = 2 63 (1 — 2~24)

и

2_63-0,100- ..0 = 2 -64.

Следовательно, с учетом знака q в разрядной сетке (рис. 2-3, а) можно представлять числа, лежащие в диа­ пазоне

о т — 263 (і — 2-24) до — 2~64 и от + 2_64до +

+ 263 (1 — 2-24),

что соответствует для абсолютных величин диапазону чисел примерно от 10~19 до ІО19.

Введем термин «нормализованный нуль». Так будем называть наименьшее по модулю число. Для разрядной сетки (рис. 2-3, а) нормализованным нулем являются оба числа —2~64 и + 2 ^64, двоичные коды которых име­ ют соответственно вид:

Число, содержащее во всех разрядах сетки нули,т. е. имеющее положительную нулевую мантиссу и положи­ тельный нулевой порядок, называется «истинным нулем».

При фиксированном количестве разрядов мантиссы любая величина представляется в машине с наибольшей возможной точностью нормализованным числом. В про­ цессе вычислений может получаться ненормализованное число. В этом случае машина с плавающей запятой авто­ матически нормализует его («нормализация результата» операции).

Пусть г старших разрядов мантиссы равны нулю. Тогда нормализация заключается в сдвиге мантиссы на

63

г разрядов влево и уменьшении порядка на г единиц. При этом в младшие г разрядов мантиссы записывают­ ся нули. После такой операции величина числа не меня­ ется, а условие (2-7) выполняется.

Например, ненормализованное число

л: = 23 (— 0,00001010- --0)

после нормализации примет вид:

X — 2—1(— 0,1010---0).

При выполнении некоторых команд операция норма­ лизации блокируется и получаемый результат операции не подвергается нормализации.

В случае нулевой мантиссы нормализации невозмож­ на и она не производится.

Диапазон представляемых чисел зависит от основа­ ния характеристики и числа разрядов, выделенных для изображения порядка. Точность вычислений определяет ся числом разрядов мантиссы.

Задачи, решаемые на ЦВМ, предъявляют различные требования в отношении точности вычислений. Поэтому во многих ЦВМ для представления чисел с плавающей запятой наряду с форматом, соответствующим машинно­ му слову, как это было принято нами на рис. 2-3, а, пре­ дусматривается также формат двойной длины, занима­ ющий два машинных слова (представление с удвоенной точностью). Пример такого формата показан на рис. 2- 3, б. В формате двойной длины обычно не меняется ко­ личество разрядов для изображения порядка и, следова­ тельно, сохраняется диапазон представляемых чисел, а длина мантиссы увеличивается (в нашем примере — до 56 разрядов).

Формат двойной длины для чисел с плавающей запя­ той позволяет проводить вычисления с повышенной точ­ ностью. Однако при использовании этого формата увели­ чиваются время выполнения операций в ЦВМ и объем памяти, необходимый для хранения данных.

Выше было рассмотрено представление нормализо­ ванных чисел с плавающей запятой в форме

X = 2Р q, где 1 > \q\ >

В некоторых вычислительных машинах получило рас­ пространение представление чисел с плавающей запятой

64

с основанием характеристики, равным целой степени числа два (S = 2W)

двоичного основания характеристики несколько умень­ шает точность вычислений (при заданном числе разря­ дов мантиссы), но позволяет увеличить диапазон пред­ ставляемых в машине чисел и ускорить выполнение некоторых операций, в частности нормализации, за счет того, что сдвиг может производиться сразу на несколько разрядов [по четыре разряда для случая (2-10)]. Кроме того, уменьшается вероятность появления ненормализо­ ванных чисел в ходе вычислений.

Будем для определенности рассматривать числа с плавающей запятой вида

х = 16Р <7.

Пусть по-прежнему формат числа с плавающей запя­ той имеет вид, изображенный на рис. 2-3, а. Хотя в ЦВМ мантисса числа фактически представляется двоичным числом

24

Я = üai2~‘(а,= 0,1),

!=і

при излагаемом способе представления чисел удобнее рассматривать мантиссу как число, составленное из ше­ стнадцатиричных (двоично-кодированных) цифр в виде

/ = і

Число X -считается нормализованным, если старшая шестнадцатиричная цифра <Ji отлична от нуля. В рас-

сматриваемом случае в нормализованном числе три стар­ шие двоичные цифры а ь а 2, а 3 могут равняться нулю. Это несколько уменьшает точность представления чисел при фиксированном числе разрядов мантиссы.

Если г старших шестнадцатиричных разрядов ман­ тиссы равны нулю, то нормализация в этом случае со-- стоит в сдвиге влево мантиссы на г шестнадцатиричных разрядов и соответствующем уменьшении порядка на г единиц.

Сдвиг на одну шестнадцатиричную цифру обычно вы­ полняется как одновременный сдвиг мантиссы на четыре двоичных разряда. При этом в крайние справа четыре двоичных разряда записываются нули.

Используя формат данных, изображенный на рис. 2- 3,а, и форму представления чисел (2-10), получаем сле­ дующий диапазон для нормализованных чисел:

от — 1 б63 (1 — 16-6) до — 16“ 64и от

+ 16-64 до + 1663 (1 — 16_6),

что соответствует для модулей чисел диапазону пример­ но от ІО-77 до ІО76.

Как видно, форма (2-10) позволяет получить значи­ тельно больший диапазон чисел, чем форма (2-6).

Рассмотрим правила выполнения арифметических операций над числами с плавающей запятой для общего случая основания характеристики S.

Приведенным формулам соответствуют следующие процедуры, автоматически выполняемые в.ЦВМ. При сложении и вычитании чисел в машинах с плавающей

66

«смещенным порядком». В машинах ЕС ЭВМ при записи числа в память к его порядку р прибавляется положи­ тельное целое число — смещение N. При этом

N = 1“Ь ІРмаксІ-

Смещенный порядок p '— p-\-N всегда положителен. Для его представления нужно такое же количество раз­

случая приведены примеры представления чисел с пла­ вающей запятой (в формате слова) в памяти машины. Следует обратить внимание на то, что при изображении кода числа в памяти шестнадцатиричными числами пер­ вые две старшие цифры представляют знак числа и сме­ щенный порядок.

2-4. П Р Я М О Й , О Б Р А Т Н Ы Й И Д О П О Л Н И Т Е Л Ь Н Ы Й К О Д Ы

При проектировании вычислительных устройств не­ обходимо решить вопрос о способе представления в ма­ шине положительных и отрицательных чисел и о призна­ ке переполнения разрядной сетки (см. § 2-3). Указан­ ный вопрос решается применением специальных кодов для представления чисел. При помощи этих кодов опе­ рация вычитания (или алгебраического сложения) сво­

68