книги из ГПНТБ / Каган Б.М. Цифровые вычислительные машины и системы учеб. пособие
.pdfПри этом триггер реализует функцию
fi = Oi@bt ~ a l b1\/a l b,. |
(3-31) |
После установления переходных процессов в тригге ре на его счетный вход подается цифра переноса из пре дыдущего разряда Сі и триггер реализует функцию
ft = к 0 |
ci = k - biVaib,) ct V |
V а, bt) с, = |
|
= |
at bi с, V at bt Сі V at b{с, V at bt ct. |
(3-32) |
|
Рис. 3-70. Функциональная схема одноразрядного накапливающего сумматора.
Соотношение (3-32) аналогично соотношению (3-28) для суммы, которое было получено при рассмотрении комбинационного сумматора. Таким образом, накапли вающий сумматор по схеме рис. 3-70 после поступления на его входы цифр слагаемых и переноса образует сум му Si.
Сигнал переноса в старший разряд имеет две состав
ляющие. Одна из них вырабатывается клапаном |
И ь ре |
ализующим функцию |
|
/з = fl Сі = а,- bi Ci V at bt c-r |
(3-33) |
Эта составляющая возникает при распространении сигнала переноса со входа сумматора на выход, если имеют место условия для распространения переноса.
Вторая составляющая сигнала переноса вырабаты вается, если цифры первого и второго слагаемых явля ются единицами. Эта составляющая не может быть по лучена путем подачи на клапан И слагаемых öj и Ьі, так как они поступают в разные дискретные моменты
220
времени. Поэтому в сумматоре по схеме рис. 3-70 вто рая составляющая реализуется клапаном Иг, на один из входов которого подается сигнал с нулевого выхода триггера, а на другой — второе слагаемое 6, через эле мент задержки, который задерживает поступление Ьі на время установления переходных процессов в триггере.
Элемент И2 реализует функцию |
|
|
|
|
/4 = fi bi = (fl, bi V Щbi) bi = |
at bi. |
(3-34) |
||
Таким образом, сигнал переноса на выходе клапана |
||||
ИЛИ2 определяется выражением вида |
|
|
|
|
сі+1 = |
а{ bt\Ja( b. ct V at b. cr |
|
(3-35) |
|
Это соотношение |
легко приводится |
к |
соотношению |
|
(3-30). |
|
|
при |
сложении |
В сумматорах накапливающего типа |
||||
одно из слагаемых обычно находится в сумматоре. При подаче на вход сумматора кода числа образует
ся сумма этого числа с числом, находившимся в сумма торе ранее. Накапливающий сумматор может поочеред но суммировать любое количество поступающих на его вход чисел. Полученная сумма сохраняется и после сня тия кода слагаемого.
Достоинство накапливающего сумматора по сравне нию с комбинационным состоит в более простой органи зации суммирований с накоплением результата благо даря его способности к запоминанию. Недостатком сум матора накапливающего типа является необходимость двух тактов для образования суммы, что увеличивает время выполнения операции сложения.
Положительные свойства сумматоров накапливаю щего и комбинационного типа сочетает в себе сумматор комбинационно-накапливающего типа. Одноразрядным сумматором комбинационно-накапливающего типа назы вается сумматор, в котором сигнал переноса вырабаты вается комбинационной схемой, а сумма образуется в триггере, на счетный вход которого с помощью комби национной. схемы подается результат суммирования по модулю 2 цифр второго слагаемого и переноса.
Функциональная схема одноразрядного сумматора комбинационно-накапливающего типа показана на рис. 3-71. Элементы Из—И5 вырабатывают сигнал пере
221
носа так же, как и в комбинационном сумматоре, пока занном на рис. 3-69.
После подачи на элементы И\, И2 синхронизирующе го сигнала Строб в триггере образуется сумма от сло-
Рис. 3-71. Функциональная схема одноразрядного сумматора комбинационно-накапливающего типа.
жения цифры, которая в нем хранилась, и цифр второ го слагаемого и переноса, поступающих на вход сумма тора. Следует учитывать, что сигнал переноса на выхо де сумматора действует только до момента установле ния результата суммирования в триггере.
3-16. М Н О Г О Р А З Р Я Д Н Ы Е С У М М А Т О Р Ы
В зависимости от того, каким образом в вычислитель ной машине передаются числа, могут быть два способа сложения: последовательный или параллельный. Если для передачи каждого числа используется один канал, по которому код числа передается в виде временной по следовательности сигналов, то используется последова тельный способ сложения. Если для передачи каждого разряда числа предусмотрен отдельный канал, то при меняется параллельный способ сложения.
Последовательный сумматор должен преобразовать последовательные коды слагаемых в последовательный код суммы этих слагаемых. Последовательный сумматор обычно строится на основе одноразрядного комбинаци онного сумматора. Другие типы одноразрядных сумма торов используются редко, так как они обладают более сложным законом функционирования.
222
На входы последовательного комбинационного сум матора в каждом рабочем такте поступают сигналы, со ответствующие значениям і-х разрядов слагаемых, и сигнал переноса с,-, который был получен в предыду щем такте при суммировании (і—1) -х разрядов слагае мых и переноса из (г—2)-го разряда.
В последовательных сумматорах используют способ передачи цифры переноса из одного такта в другой с за
поминанием |
переноса |
та |
|
|
ким образом, что сигнал |
|
|||
переноса поступит на вход |
|
|||
сумматора |
одновременно |
|
||
с поступлением |
на |
два |
|
|
других входа цифр в сле |
|
|||
дующем более |
старшем |
|
||
разряде слагаемых. |
|
|
||
Схема сумматора с за |
|
|||
поминанием |
переноса |
по |
Рис. 3-72. Схема последователь |
|
казана на рис. 3-72. Здесь |
||||
значение цифры переноса |
||||
в данном такте сложения |
ного сумматора. |
|||
запоминается на D-триггере, с выхода которого снимает ся сигнал переноса в следующем такте сложения.
При параллельном способе сложения необходимо иметь отдельные сумматоры для каждого разряда чисел.
Рис. 3-73. Структурная схема параллельного сумма тора с последовательным переносом.
Параллельный сумматор может быть составлен из одно разрядных сумматоров, число которых равно числу раз рядов слагаемых, путем соединения выхода, на котором получается сигнал переноса данного разряда, со входом для сигнала переноса соседнего, более старшего разря да. В зависимости от типа используемых одноразрядных сумматоров параллельные сумматоры могут быть трех
223
типов: комбинационного, накапливающего или комбина- ционно-накапливающего.
На рис. 3-73 показана схема нескольких разрядов па раллельного сумматора.
В параллельных сумматорах, состоящих из однораз-. рядных, цепь переноса из разряда в разряд получается последовательной. Это вызвано тем, что сигнал переноса в каждом следующем разряде может быть образован только после формирования сигнала переноса в преды дущих разрядах.
3-17. М ЕТОДЫ УСКОРЕНИЯ РАСП РО СТРАН ЕН И Я ПЕРЕНОСА
Быстродействие параллельных сумматоров в основ ном определяется скоростью распространения сигнала переноса. Поэтому особое внимание при построении сум маторов следует обращать на организацию цепи распро странения сигнала переноса.
Рассмотрим принцип построения параллельных ком бинационных сумматоров на элементах, реализующих так называемую инверсную логику (элементы ИЛИ — НЕ; И — ИЛИ — НЕ), которые широко применяются в связи с внедрением интегральных схем.
Если в сумматорах на таких элементах формировать в каждом разряде сигнал переноса, то при распростра нении по сумматору он будет проходить через два эле мента в каждом разряде. На рис. 3-74 показана схема
Рис. 3-74. Функциональная схема сумматора на клапанах И —И Л И —Н Е .
224
двух разрядов сумматора, построенного на |
элементах |
|||
И - ИЛИ - НЕ. |
образования |
сигнала |
|
переноса |
Соотношения для |
|
|||
можно записать в виде |
|
|
|
|
С 2 і + 1 ~ а 2 і |
02і Ѵ й2і c2i Ѵ5„C 2 i'i |
|
(3-36) |
|
C2 t + 2 — a 2 i + l & 2 І + 1 V a 2 i + l C 2 i + l V&2[+1С2<+Г |
(3-37) |
|||
Если использовать для формирования сигнала пере |
||||
носа в четных разрядах соотношение |
(3-37), |
а |
в нечет- |
|
Р и с . 3 7 5 . С у |
м м а т о р |
н а |
к л а п а н а х |
И — И Л И — Н Е |
|
с ф о р м и р о в а |
н и е м в |
ч е т н ы х р а з р я д а х |
с и г н а л а |
||
п е р е н о с а , а в |
н е ч е т н ы х — с и г н а л а |
и н в |
е р с и и п е |
||
|
|
р е н о с а . |
|
|
|
ных— соотношение (3-36), |
то при распространении сиг |
||||
нала переноса по сумматору он будет проходить в каж дом разряде только через один элемент И — ИЛИ — НЕ.
Соотношение для суммы можно привести к такому виду, чтобы для ее образования использовать только сформированные сигналы переноса или его инверсии без дополнительного инвертирования их.
На рис. 3-75 показана схема двух разрядов суммато ра на элементах И — ИЛИ — НЕ, использующая для формирования сигнала переноса соотношения (3-36)
15—333 |
225 |
т
и (3-37), |
а для формирования |
суммы — соотношения |
||
(3-38) и (3-39) |
|
|
|
|
"■*2 = |
С2£+1 С 2іѴС2(+ 1а2£ Ѵ С2/+ 1^2і |
^2i C2i> |
(3-38) |
|
^2£+l — C2£+2 C2i+lV C2i+2fl2i+ l V C2£-[-2^2i+ l V |
|
|||
|
Va2£+1 ^2i+l C2i+1 |
|
(3-39) |
|
Эти соотношения могут быть получены преобразова |
||||
нием соотношения (3-28). |
|
|
|
|
Сумматоры можно строить |
также |
на элементах |
||
ИЛИ — НЕ, выполнив схему формирования сигнала пе
реноса так, чтобы при |
распространении он |
проходил |
в каждом разряде только через один элемент. |
переноса |
|
Соотношения для |
образования сигнала |
|
в этом случае можно преобразовать к следующему виду:
с2»+і = a 2 t ^ Ь 2{ \ / a 2 j \ J Ь 2 І\ / c 2l\ |
(3-40) |
л ' |
IP |
|
™2і+ 1 |
и н + \ |
|
С2І+1 = Я2£+1 V ^21+1 V |
й2/+1 V ^2£+1 V с 2£+1 * |
(3 |
11 — I— —'• |
и 2 і + 2 |
|
^2£+2 |
|
|
А |
R |
|
Если использовать для формирования сигнала пере носа в четных разрядах соотношение (3-41), а в нечет ных — соотношение (3-40) и передавать сигнал перено са из разряда в разряд по двум проводам (составляю щие А и В), то при распространении по сумматору он будет проходить в каждом разряде только через один элемент.
На рис. 3-76 показана схема двух разрядов суммато ра, использующая для формирования сигнала переноса
соотношения |
(3-40) |
и (3-41), а для формирования сум |
||
м ы — соотношения |
(3-42) —(3-45): |
|
|
|
S 2i = |
^2(+1 ^ а2р^2і V fl2£ |
Р С2І> |
(3-42) |
|
г д е |
|
|
|
|
|
^2£+1 |
а21 у/ ^21 V ö2£^2£ ѴС2£’ |
|
(3-43) |
^2/-н -"^2£+2Ѵа2{+іѴ^2/+іѴ^+іѴ^гг+іѴ^гг+гѴ^-і-і1(3-44)
226
где
^ 2 і + 2 ~ |
а 2 і + \ V ^2i+l V а 2 і + \ V ^ 2 І+ 1 V С 2 І + Г |
(3-45) |
|
Эти соотношения легко могут быть |
приведены |
к соотно |
|
шению (3-28). |
|
|
|
При построении сумматоров, в |
которых происходит |
||
формирование |
сигнала переноса |
в четных |
разрядах |
З^ІСС-І
Р и с . |
3-76. С у м м а т о р |
н а |
к л а |
п а н а х |
И Л |
И — Н Е |
с |
д в у х п р о в о д н о й |
п е р е |
|
|
д а ч е й |
с и г н а л а |
п е р е н о с а . |
|
|
|
||
и сигнала инверсии переноса в нечетных, необходимо учитывать два неблагоприятных случая распространения сигнала переноса. Первый случай имеет место, когда происходит последовательное переключение сигналов на
выходах |
элементов, где |
формируется |
сигнал переноса, |
|
из нулевого в единичное |
состояние, |
а на |
выходах эле |
|
ментов, |
формирующих сигнал инверсии |
переноса,—из |
||
единичного в нулевое. Другой случай возникает, когда последовательно переключаются из единичного состоя ния в нулевое сигналы на выходах элементов, где фор мируется сигнал переноса.
Действительно, если на входах сумматора слагаемые имеют значения 111 ... 11 и 000 ... 00, то на всех выходах переноса сигналы имеют нулевое значение, а на выхо дах инверсии переноса— единичное значение. Если младший разряд второго числа примет единичное зна чение, то цифра переноса в каждом разряде, начиная с младшего, изменится на обратную: элементы, форми рующие сигнал переноса, переключатся в единичное со
15* |
227 |
стояние, а элементы, формирующие сигнал инверсии пе реноса,— в нулевое. Будем называть такое последова тельное переключение распространением переноса.
Если затем младший разряд второго числа вновь примет нулевое значение, то элементы, формирующие сигнал переноса, последовательно, начиная с младшего разряда, переключатся из единичного состояния в нуле вое, а элементы, формирующие сигнал инверсии перено с а,— из нулевого состояния в единичное. Будем назы вать такое последовательное переключение распростра нением инверсии переноса.
При проектировании схем ускорения переноса необ ходимо учитывать возможность распространения и пе реноса и инверсии переноса в сумматорах, формирую щих в четных разрядах сигнал переноса, а в нечетных — сигнал инверсии переноса. Например, в сумматорах с групповым последовательным переносом, описанных ниже, недостаточно организовать цепь, ускоряющую рас пространение переноса.
Необходимо дополнительно организовать цепь ускоре ния распространения инверсии переноса. Однако наличие дополнительной ускоряющей цепи практически удваивает затраты оборудования на реализацию ускорения пере носа.
В зависимости от способа определения момента окон чания распространения переноса сумматоры делятся на
синхронные и асинхронные.
Синхронными называются сумматоры, в которых время сложения постоянно и не зависит от кодов сумми руемых чисел. В таких сумматорах время сложения складывается из максимального времени распростране ния переноса в сумматоре и времени срабатывания схе мы образования суммы.
Асинхронными называются сумматоры, в которых время сложения меняется в зависимости от кодов сум мируемых чисел. В таких сумматорах имеется специаль ная схема, которая определяет момент установления сиг налов переноса во всех разрядах.
Известно, что средняя длина пробега переноса (ко личество разрядов, на которое распространяется пере нос) в сумматоре, равна log2H, где п — число разрядов сумматора. Например, в 32-разрядном сумматоре сред няя длина пробега переноса равна 5 и среднее время суммирования іс при организации асинхронной работы
228
будет равно:
СІ |
~ К + 5/ |
(3-46) |
2 * ^ n ’ |
|
где /п — время распространения переноса в одном разря де; t z — время срабатывания схемы образования суммы.
При организации синхронной работы без применения специальных мер ускорения переноса время суммирова ния будет составлять:
(3-47)
Обычно |
и поэтому использование асинхрон |
ного принципа может существенно повысить быстродей ствие сумматора. Однако в некоторых случаях реализа ция асинхронного принципа приводит к значительному увеличению затрат оборудования. Тогда более эффек тивным может оказаться применение специальных мер ускорения переноса в синхронных сумматорах. Ниже бу дут рассмотрены различные методы ускорения распро странения переноса в синхронных сумматорах и приме ры построения асинхронных сумматоров.
По характеру распространения переноса различают следующие виды синхронных сумматоров: с поразряд ным последовательным переносом, с параллельным (од новременным) переносом, с групповым переносом.
Сумматоры с поразрядным последовательным переносом
В сумматорах этого типа (рис. 3-73) перенос распро страняется последовательно от разряда к разряду по мере образования цифры суммы в каждом отдельном разряде. При наиболее неблагоприятных условиях для распространения переноса, например при сложении чи сел 11 ... 11 и 00 ... 001, будет иметь место «пробег» еди ницы переноса через весь сумматор от самого младшего к самому старшему разряду. Поэтому в худшем случае время распространения переноса будет равно:
(3-48)
где т\ — время распространения переноса в одном раз ряде; п — число разрядов сумматора.
Данный тип сумматора наиболее прост с точки зре ния схемы цепей распространения переноса, но имеет сравнительно низкое быстродействие.
229