книги из ГПНТБ / Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв

Максимальную высоту уровня грунтовых вод Zm и в этом случае получаем, приравнивая нулю х и у:

Иначе говоря, Zmнаблюдается в центре эллипса. Уравнения (17.9), (17.10) применимы к периферической закрытой дрене и к перифери­

из которых имеет стороны 2L x и 2Ь 2 Примером служит прямоугольное поле, границами которого является канава, доходящая до водоупора, причем слой воды в канаве равен Z 0. План такой дренажной системы показан на рис. 17.2.

Решение уравнения (17.3) для рассматриваемых граничных усло­ вий приводится у Карлслоу и Егера [21]. Оно имеет вид

За начало координат принят центр прямоугольника. Здесь, где х и у равны нулю, высота уровня грунтовых вод Zmмаксимальна и опре­ деляется уравнением

{Z'n - Z \ ) I L \ = (glK) 1 - (32/я 8) 2 ( - 1)п/{(2га + 1)3 X

о

X ch (2га -f 1) я£ 2/2£і}

Этот ряд быстро сходится, и если, как обычно, принять за L l меньшее из междренных расстояний, достаточно бывает первого члена ряда. Тогда решение принимает форму

В частном случае, когда ячейка сети квадратная, а стороны равны

мится к нулю, и указанная формула, как и следовало ояшдать, сво­ дится к уравнению (15.15), относящемуся к единой группе парал­ лельных дрен, отстоящих друг от друга на расст-ояние Ь г.

Очень простое выражение можно получить, если аппроксимиро­ вать прямоугольную ячейку эллиптической периферийной дреной. Эллипс, вписанный в прямоугольник, на большом протяжении до­ вольно близко следует прямоугольной границе. Такой эллипс имеет большую и малую оси, величины которых соответственно равны 2Ь 2

Эти выражения можно сравнить с точным решением, сопоставив частный случай квадратной сетки со стороной 2L и круглый дрени­ руемый участок радиуса L. По уравнению (17.15) получим прибли­ женное значение

{Z'm-Z%)IL* = 0,bqlK,

которое можно сравнить с результатом, следующим из уравнения (17.13). Ошибка составляет менее 20%, хотя это наихудший из воз­ можных случаев, поскольку по мере возрастания эксцентриситета эллипса с увеличением отношения Ь 2]Ьг уравнения (17.15) и (17.12) стремятся к одной и той же формуле, а именно к уравнению (15.15).

Возможно и еще одно полезное, хотя и несколько примитивное приближение, как бы позволяющее применить двухмерную теорию для учета влияния водоупора, когда последний находится глубже дна дренажной канавы. Систему пересекающихся дрен, показанную на рис. 17.2, можно рассматривать как группу параллельных дрен ступенчатой формы с «шагом» и «подъемом», имеющими длину соот­ ветственно 2Ь г и 2Ь 2. Если каждую ступенчатую дрену заменить прямолинейной, рассматриваемой как средняя длина ступенчатой дрены, то получим группу параллельных дрен, отстоящих друг от друга на расстояние 2L. Если средний угол крутизны «лестницы» равен Ѳ, то из геометрии фигуры следует:

Ь/Ь2 соэѲ,

LjLl = sin Ѳ

лельных дрен, отстоящих друг от друга на расстояние Ь І7 были доба­ влены другие системы дрен, перпендикулярных первым. Расстояния L 2 между дренами второй системы были различны в разных случаях. На рис. 17.3 показано изменение высоты уровня грунтовых вод в зависимости от интенсивности осадков при трех значениях отно­ шения Ь г]Ь2 для случая, когда дрены лежат на водоупоре. Там же приведены теоретические кривые, вычисленные по уравнению (17.12) и весьма приближенному уравнению (17.15). На рис. 17.4 показана зависимость высоты уровня грунтовых вод над уровнем системы параллельных дрен Ь г от величины LJ/L2. Здесь же приведены кри­ вые, вычисленные по уравнению (17.12), справедливому только при

Рис. 17.4. Зависимость

ZR/ZLi от отношения L J L Ü.

есть уровень грунтовых вод

над системой параллельных дрен, отстоящих друг от друга на расстояние Ь, ; Z д — уровень

грунтовых вод, когда к этой си­ стеме добавляется ортогональная ей система с расстоянием между дренами Ь,. Средние из опыт­ ных значений: I — при р/Ь,=О

>0,3; 8 —-по уравнениям (17.16)

допущениях Дюпюи — Форхаймера, кривые, рассчитанные по урав­ нению (17.15), применимому и при очень глубоко залегающих водоупорах, а также кривые, построенные по уравнениям (16.56) и (17.16) для промежуточных глубин залегания водоупора.

17.5. Вертикальный дренаж посредством группы откачиваемых скважин

Иногда, например в Пенджабе, сравнительно проницаемая толща бывает перекрыта слоем почвы толщиной в несколько десятков сантиметров, обладающим довольно низкой влагопроводностью. При этом оказывается выгоднее дренировать нижележащую толщу с помощью откачки из группы обсаженных достаточно глубоких скважин, чем перехватывать воду поверхностными дренами после того, как она поднимется в верхний слой. Если скважины располо­ жены регулярно, то такую дренажную систему нетрудно рассмотреть с помощью приближения Дюпюи — Форхаймера.

На рис. 17.5 показаны два различных способа размещения сква­ жин. В одном случае скважины расположены на пересечениях линий, делящих участок на группу равносторонних треугольников. В дру­ гом случае они находятся в узлах сетки с квадратными ячейками.

В первом случае участок делится на группу гексагональных водо­ сборов, каждый из которых дренируется одной скважиной, во вто­ ром — отдельные водосборы представляют собой квадраты.

При интенсивности осадков q и скорости откачки из каждой скважины Q стационарное состояние устанавливается тогда, когда Q равно количеству осадков, выпадающему в единицу времени на эле­ ментарный водосбор, обслуживаемый одной скважиной. При этом благодаря симметрии легко видеть, что границы между водосборами представляют собой линию нулевого потока и ровную поверхность грунтовых вод, а также что поток через вертикальную эквипотенци­

многоугольник, равен L. Если принять ось скважин за начало коор­ динат, направление потока будет противоположно направлению возрастания г и потому отрицательно. В соответствии с законом Дар­ си уравнение потока через цилиндрическую эквипотенциальную поверхность радиуса г примет вид

АQ = , - q ( A - nr2) = - 2 nrZK (dZjdr),

где A — общая площадь элементарного водосбора (квадрата или гексагонального многоугольника), a AQ — доляО, перехватываемая

предполагается равным уровню грунтовых вод в данной точке. Инте­

Сравнивая уравнения (Д41.2) и (Д41.3), запишем

Решение для круглого дренируемого участка запишем в следующей форме:

В случае эллипса отношение (х2 + у2)/(Ха + Y 2) играет роль г2//?2, a R s/2 можно заменить некоторой постоянной А. Подставив эти значения в уравнение

(Д41.5) и используя уравнение (Д41.4), можно придать решению форму, под­ лежащую проверке:

Если это уравнение действительно является решением, то А можно найти

путем дифференцирования и подстановки в основное дифференциальное урав­ нение рассматриваемой задачи (17.3). Дифференцируя уравнение (Д41.6) после­

но и соответствует граничному условию, согласно которому на границе, где х и у принимают значения Х и У, удовлетворяющие уравнению (Д41.1), Z = Zg.

Следовательно, уравнение (Д41.7) действительно является решением задачи.

ГЛАВА 18

Неустановившееся течение грунтовых вод

18.1. Общая постановка задачи

Математический аппарат теорий, изложенных в главах 14—17, упрощался за счет рассмотрения только тех случаев, когда скорость притока воды в систему равнялась скорости оттока, благодаря чему гидродинамическая сетка находилась в установившемся, стационар­ ном состоянии. В природе подобные состояния если и наблюдаются, то редко и случайно. Если граничные условия изменяются, напри­ мер в случае перемежающихся осадков, то выведенные ранее соотно­ шения между граничными условиями и конфигурацией гидродинами­ ческой сетки, особенно высотой уровня грунтовых вод и капиллярной каймы, можно рассматривать как зависимости между осредненными за некоторый период времени граничными условиями и состоя­ нием гидродинамической сетки. Однако на данном этапе такое рас­ смотрение является интуитивным и нуждается в обосновании.

В этой главе мы предполагаем выяснить, насколько воз­ можно, реакцию уровня грунтовых вод и капиллярной каймы на временные изменения скорости выпадения осадков для случая дрени­ рования грунтовых вод местного атмосферного происхождения. При этом будут использованы и решения для стационарных условий, если они окажутся пригодными для описания мгновенных состояний изменяющейся гидродинамической сетки.

Очевидно, что прежде чем приступить к анализу, необходимо знать скорость притока в гидродинамическую сетку в функции от времени. Изменение потока на границе, занимаемой в данный момент уровнем грунтовых вод или капиллярной каймой, вводится на основе того факта, что эта граница подвижна, а потому в зоне, лежащей выше уровня грунтовых вод, происходит водоотдача или увеличе­ ние влагозапаса. Так, движение границы вверх соответствует восхо­ дящему потоку из грунтовых вод, а движение ее вниз — нисходя­ щему. Оба этих потока дополняют поток, вызванный осадками.

Кроме того, при подъеме или опускании уровня грунтовых вод происходит изменение распределения потенциала в гидродинамиче­ ской сетке. Вообще говоря, при таком изменении должно проис­ ходить изменение распределения той составляющей потенциала, кото­ рая зависит от давления, поскольку только на самом уровне грунтовых

вод и на границах дрены это давление постоянно. Известно, что скорость распространения импульса, связанного с изменением давле­ ния, в воде очень велика, поскольку она по своей природе близка к скорости распространения звука. Последняя близка к 1500 м/с, т. е. бесконечно велика по сравнению с любой мыслимой скоростью движения уровня грунтовых вод. Поэтому изменение давления во всех точках происходит практически мгновенно. Любую стадию изменения гидродинамической сетки можно рассматривать как мгно­ венное состояние, удовлетворяющее уравнению Лапласа при извест­ ных для этого момента граничных условиях для потенциала или потока, когда этот поток можно достаточно приближенно определить по скорости движения уровня грунтовых вод.

Что касается этого последнего обстоятельства, то, как было показано в параграфе 12.11, удельная водоотдача Y определяется уравнением

АП = Y AZ,

где АП — объем воды на единицу площади поверхности грунтовых вод, высвобождаемый при опускании уровня грунтовых вод на AZ. Обратно, АП есть объем воды, который должен пройти вверх через исходный уровень грунтовых вод, когда последний поднимается на AZ. Таким образом, помня условие о знаках, согласно которому скорость и высота уровня грунтовых вод положительны при отсчете снизу вверх, можно записать

где ѵг — вклад в поток через уровень, занимаемый в данный момент поверхностью грунтовых вод, связанный с движением самого уровня.

В параграфе 12.11 подчеркивалось, что хотя Y при более или менее установившихся и длительных перемещениях уровня грунто­ вых вод можно считать константой, свойственной данной почве, его величина способна меняться в широких пределах, когда уровень грунтовых вод, близкий к поверхности почвы, колеблется быстро и нерегулярно. Однако величину возникающей при этом погрешности, связанной с некритическим допущением о постоянстве У, пока еще детально не оценивали. Несмотря на это, анализ нестационарных состояний обычно проводят, исходя из постоянства Y. Мы также будем пользоваться этим допущением.

18.2. Нестационарный уровень грунтовых вод для случая местных дождевых осадков

Если не считать нестационарного режима при откачке воды из скважин, детально рассмотренного Тоддом [159], то наиболее изу­ ченным случаем из области нестационарного течения грунтовых вод является дренирование местных осадков системой параллельных равноудаленных и равнозаглубленных дрен, подобных тем, о кото­ рых говорилось в главах 15 и 16, и тем, которые изображены на рис. 14.1 и 15.5. Аналитические решения для стационарного состоя-

ния, полученные как методом преобразований годографа, так и спо­ собом Дюпюи — Форхаймера, стали возможны лишь потому, что поток через уровень грунтовых вод, связанный в рассматривавшихся случаях только с осадками, можно было считать равномерно рас­ пределенным на поверхности. С помощью теории Дюпюи — Форхай­ мера можно было добиться полезных результатов и тогда, когда это распределение не являлось равномерным, но представляло собой изве стную аналитическую функцию расстояния от дрены. Когда ж указанное распределение выражается только численно, например

б)

от дрены.

решение можно получить только численным интегрированием или аналоговыми методами.

При нестационарном потоке движение уровня грунтовых вод вначале неизвестно и подлежит определению. Поскольку это движе­ ние составляет одну из компонент потока через уровень грунтовых вод, сам этот поток задать вначале также не удается; когда же он известен, его нелегко бывает выразить простой алгебраической фор­ мулой. Поэтому для решений нестационарных задач характерны численные или аналоговые методы.

Итак, граничные условия должны включать определенное началь­ ное положение уровня грунтовых вод. В качестве примера можно рассмотреть решение с помощью электроаналогии задачи о следую­ щей за прекращением осадков динамике понижения уровня грунтовых