книги из ГПНТБ / Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв

то

d*W/dx* + d2W/dz2= О,

d’O/ôz2 ; d20 /oz2 = 0 ,

<92ijijdx2-І- d2\\'/dz‘ = 0 .

Обе группы решений Ф и ф связаны следующим образом. Распре­ деление Ф можно показать на диаграмме х, z с помощью третьей оси, перпендикулярной плоскости координат. При этом распреде­ ление изобразится поверхностью, которая располагается над этой плоскостью. На плоскости диаграммы поверхность Ф можно обозна-

кривых называются ортогональными.

В уравнении (14.6), как оно было выведено в параграфе 11.3, переменная Ф обозначает гидравлический потенциал, а линии Ф представляют эквипотенциали. В параграфе 9.1 мы установили, что градиент потенциала в направлении потока всюду перпендику­ лярен эквипотенциалям, поэтому кривые равных ф всюду изображают направление силы, действующей на поток. Линии равных ф назы­ ваются линиями тока, а само ф называется функцией тока. Две эти функции называются сопряженными. Сеть, состоящая из ячеек, образуемых ортогональными семействами эквипотенциалей и линий тока, называется гидродинамической сеткой. Если интервалы между соседними эквипотенциалями и линиями тока достаточно малы, элементарные ячейки гидродинамической сетки прямоугольны. Не­ редко их считают прямоугольными даже когда ячейки не так малы, а их стороны более или менее криволинейны.

жине со всех направлений, исходящих от нее (т. е. в отрицательном направлении г), через цилиндрическую поверхность радиуса г и длиной I, концентричную скважине, причем I — толщина огра­ ниченного водоносного пласта, полностью пройденного скважиной^ Следовательно,

откуда следует, что максимум функции тока соответствует макси­ муму Ѳ, т. е. 2л, так что поток на единицу длины скважины равен

Q/l=Kilpmax. (14.13)

Если уровень воды в скважине, радиус которой равен rw , ниже, чем в скважине, отстоящей на расстояние г, на величину D, которая

этот метод, строго говоря, справедлив только для ограниченного водоносного пласта, его, тем не менее, применяют и для откачки грунтовых вод со свободным уровнем. Возникающая ошибка неве­ лика, если сработка, или в данном случае депрессия, мала по сравне­ нию с эффективной глубиной скважины. Однако этот метод следует использовать критически, предварительно оценив его применимость,

плоскостями, исходящими из осей концентрических цилиндрических поверхностей, содержащих линии тока. Решение опишет поток между плоскими радиальными сторонами сегмента цилиндрического кольцевого канала.

Случай б

В приводимых далее решениях важную роль играет уровень. грунтовых вод. Поскольку потенциал Ф равен сумме высоты z и гидро­ статического напора Н , который на уровне грунтовых вод равен нулю, сам этот уровень определяется равенством Ф и z, которое теперь обозначим Z. Рассмотрим решение

W — Ф Т гф = (Xф- гг) е~ІѲsin Ѳ+ h cos Ѳ,

где h и Ѳ — постоянные, физический смысл которых еще надо выяс­

Рис. 14.8. Равномерный поток воды между водоупором с постоянным на­ клоном (1) и параллель­

ным ему уровнем грун­ товых вод (2).

где отсекаемая часть на оси z равна фа/sin Ѳcos Ѳ. Таким образом, все линии тока параллельны между собой и отсекают тем большие части, чем больше значение функции тока. Нулевая функция тока, соответствующая нулевому ф, лежит вдоль водоупора, изображаемого прямой с наклоном Ѳ, проходящей через начало координат. Задача, таким образом, касается течения грунтовых вод по водоупору, что показано на рис. 14.8.

Уровень грунтовых вод изобразится линией нулевого давления,

Поскольку эта линия также прямая с наклоном Ѳ, параллельная водоупору, она является линией тока с отсечкой на оси z, равной h]cos Ѳ. Если предположить, что капиллярная кайма отсутствует, уровень грунтовых вод явится ограничивающей верхней поверх­ ностью зоны течения, где функция тока равна фтах, а толщина зоны течения, измеренная по перпендикуляру к линиям тока, равна h. Сравнивая уравнения (14.17) и (14.18), найдем, что

Фтах/^ІИ Ѳ COS Ѳ) = А/COS Ѳ,

или

Пусть Q есть величина потока на единицу ширины зоны течения, т. е. величина потока, измеренная в направлении, перпендикулярном плоскости X, г. Тогда по закону Дарси

где отрицательный знак, как обычно, показывает, что поток напра­ влен по уклону, а потенциал возрастает в противоположном на­ правлении. Абсолютная величина grad Ф, | grad Ф | , равна

I grad ФI - {(дф/дх)2+ (дФ/dz)2}2 .

Значения частных производных можно найти из уравнения (14.15), откуда следует

Случай в

Теперь рассмотрим параболическую форму

W 2 —(ф + іф)2 = А (х -j- iz),

или

ф 2 — ф2 -f- 2іФф —- А (я -f- iz).

Приравнивая соответствующие действительные и мнимые части, получим

т. е. положительная ось х.

Уровень грунтовых вод, на котором гидростатический напор равен нулю, а Z и Ф в уравнении (14.24) становятся синонимами описывается условиями:

Ф у . Г . В . ------

(14.25)

ф — А/2 = фтахі

а поскольку эти величины постоянны, уровень грунтовых вод также является линией тока, ограничивающей зону течения. Форму огра­ ничивающей поверхности можно получить, подставив величины фтах и Ф из уравнения (14.25) в уравнение (14.23):

Z2 — А х — А2/4 = 0.

Это уравнение описывает параболу, осью симметрии которой

Условие равенства нулю z, определяющее ось х, может выпол­

Иначе говоря, отрицательная ось х является нулевой эквипотенциалью, вдоль которой функция тока возрастает до максимума при пересечении с уровнем грунтовых вод в точке —А]4. На этой оси равны нулю как полный потенциал, так и его высотная составляющая,

Рис. 14.9. Течение при­ точных вод по горизон­ тальному водоупору (1)

к горизонтальной при­ мыкающей поверхности высачивания (2).

з — уровень грунтовых вод.

а потому должен быть равен нулю и гидростатический напор. Таким образом, отрицательная ось х обозначает поверхность высачивания, на которой вода находится под нулевым давлением.

Следовательно, полученное решение относится к движению грунтовых вод по горизонтальному ложу от источника, расположен­ ного выше по течению, к горизонтальной поверхности стока, или высачивания. Подобным стоком может служить заполненная щебнем канава.

Поток Q в расчете на единицу ширины зоны течения, измеренный по перпендикуляру к плоскости диаграммы, можно вычислить следующим образом. На поверхности высачивания, являющейся эквипотенциальной, градиент потенциала вертикален. Поэтому, дифференцируя уравнение (14.24) по z, найдем

Градиент потенциала, а потому и величина потока уменьшаются по мере того, как ф возрастает в направлении отрицательных х. Суммарный поток можно найти, интегрируя доли dQ, поступающие с элементарных полос dx поверхности высачивания. Используя закон Дарси и уравнение (14.28), имеем

гидростатическая составляющая потенциала равна нулю. Второе уравнение определяет форму линий тока, представленную на рис. 14.10; из него следует, что

поскольку же между двумя указанными уровнями должна быть заключена вся зона течения, эта вторая функция тока должна быть максимальна. Таким образом,

Фшах^-В. (14.36)

Форму этой линии тока, включая уровень грунтовых вод, можно получить из уравнения (14.31)

Она, очевидно, симметрична относительно оси z, причем для нулевой линии тока, согласно уравнению (14.34), имеем

X = А —В/2 при Z = 0 1

(14.38)

х - і— В /2 при Z-*— оо J

Как следует ожидать на основании этой симметрии, ось z опре­ деляется уравнениями:

Ф==Я/2,

X = 0,

что можно проверить путем подстановки в уравнение (14.31). Форму нулевой эквипотенциальной поверхности (Ф = 0) можно

найти с помощью уравнений (14.31)—(14.32):

где

0 < ф < В .

Пределы находят, подставляя крайние значения ф: о*і = - А + В /2; z = 0,

0х.2~ А —В /2; z = 0.

Это ранее полученные точки пересечения граничных линий тока с осью X. Таким образом, ширина нулевой эквипотенциали при исчезающе малых z равна С, где

Пересечение нулевой эквипотенциали с осью z получают, под­ ставив В]2 вместо ф в уравнения (14.39) и (14.40):

х = 0, z = — А.

Следовательно, постоянная А определяет максимальную глубину нулевой эквипотенциальной поверхности. Остальная часть этой эквипотенциали показана на рис. 14.10. Она может повторять, например, форму ложа канала, заполненного водой до краев. В такой системе зона восходящего тока отсутствует, поэтому нет нужды обсуждать гидродинамическую сетку для положительных z.

Из сказанного можно заключить, что рассматриваемая гидро­ динамическая сетка соответствует фильтрации воды из необлицованного канала шириной С и максимальной глубиной А в грунтовые воды, находящиеся на такой глубине, что их можно не учитывать. Ширина полосы фильтрации наверху равна С, а на большой глубине увеличивается до В, определяемого из уравнения (14.41):

Величину фильтрационного потока на единицу длины канала можно вычислить, определяя поток на большой глубине, где линии тока, а потому и градиент потенциала вертикальны. В этой области эквипотенциали горизонтальны, так что если z для некоторой экви­ потенциали постоянно, то постоянно и давление. На пересечении с граничной линией тока давление, как известно, равно нулю, по­ скольку здесь находится уровень грунтовых вод, и, следовательно, оно равно нулю во всей области.

Итак,

Ф =z,

gr&dO — dO/dz— i.

Из закона Дарси

Q — —К В grad Ф = —КВ.

Таким образом, из уравнения (14.42)

Q = - K ( C + 2A),

или из уравнения (14.36)

Минус показывает, что движение направлено в сторону понижения потенциала.

Во всех этих случаях, кроме случая а, относящегося к ограни­ ченному водоносному пласту, предположение о том, что уровень