книги из ГПНТБ / Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв

Желая выразить D непосредственно как функцию определяющей «го влажности, используем уравнение (12.31), чтобы исключить % из уравнения (12.37), и получим

Таким образом, если D увеличивается с увеличением с, согласно уравнению (12.38), то форма профиля влажности будет подчиняться

ние dc/d% к нулю при стремлении %к бесконечности, где с равно с0, уравнение (12.39) можно переписать так:

(12.40) равна заштрихованной площади PQRS рис. 12.10, которую можно измерить, поэтому коэффициент диффузии Dc вычисляют,

ления для достаточного числа точек, подобных Q, можно проследить всю зависимость D от с. Легко показать, что приведенное выше урав­ нение (12.38) также можно вывести как частный случай уравне­ ния (12.40).

Обратную процедуру — расчет профиля влажности по известной зависимости D от с — нельзя выполнить непосредственно. Поэтому Филип [124] предложил собирать библиотеку пар, состоящих из профилей влажности и соответствующих этим профилям зависи­ мостей D от с, вычисленных аналитически по методу Матано, и для начала привел несколько подобных пар. Имея достаточно большую библиотеку такого рода, можно надеяться Подобрать с ее помощью ту функцию коэффициента диффузии, которая соответствует усло­ виям задачи, и найти отвечающий ей профиль влажности. Вычисле­ ние профиля влажности для данной зависимости D от с сводится в общем к интегрированию конечно-разностных эквивалентов соот­ ветствующих дифференциальных уравнений с помощью итеративных приближений.

Крэнк и Генри [50, 51] разработали подобную методику примени­ тельно к задачам, не связанным с почвами, Клют [97] применил ее к движению влаги в пористом материале, для которого зависимость коэффициента диффузии от влажности вычислена по методу Чайлдса и Коллис-Джорджа [38]. Эспериментальных данных, подтвержда­ ющих результаты, не приводилось. Теория предсказывает суще­ ствование четко выраженного фронта смачивания, связанного с за­ метным уменьшением коэффициента диффузии при понижении влаж­ ности. Такой фронт действительно наблюдается в опытах.

Филип [120] предложил более быстрый и менее трудоемкий метод, по существу обратный методу Матано, основанному на использова­ нии уравнения (12.40). Возвращаясь к рис. 12.10 и уравнению (12.40), видим, что если площадь PQRS и коэффициент диффузии Dc при влажности с известны, можно вычислить величину dcjd% и, следова­ тельно, приближенно определить изменение Д%, соответствующее изменению Ас. Поэтому если известно %для с, можно вычислить его

для с + —-Ас и для с — —Ас, и эти дополнительные точки нанести

на профиль. Поскольку ясно, что цель расчета состоит в вычислении самого профиля влажности только на основании данных о зависи­ мости D от с и о влажности С на входной поверхности, где, как изве­ стно, X равно нулю, площади под кривой вначале не известны, и труд­ ность состоит в том, как приступить к вычислению.

Методика, излагаемая ниже, несколько отличается от той, кото­ рая предложена Филипом, однако в своей основе аналогична ей. Интервал влажности от с0 до С разбивают на равные интервалы Ас, число которых выбирают настолько большим, насколько позволяют практические сообраяшния. Затем уравнение (12.40) переписывают в конечно-разностной форме:

где индексы обозначают соответствующие влажности, а

C - l U A c

Интегрирование начинают с входной поверхности, где влаж­ ность равна С, а %с равно нулю. Величиной А с~>/,дс задаются предположительно. Неудачный выбор удлиняет процедуру итераций; указания относительно принципов подбора удачной начальной

Теперь можно определить площадь под линией графика между

которые были получены на предыдущем этапе. Так находят Х с -і1/ 2дс и следующую точку профиляС

Эти операции продолжают до тех пор, пока не будет исчерпан весь интервал влажностей, и если исходная оценка была сделана правильно, на последнем этапе, при достижении влажности с0, площадь под линией графика становится равной нулю. Если этого не происходит, значит начальная оценка была неверной, и нужно повторить расчет, задаваясь новой величиной А С- ч 2а с , значение которой выбирают с учетом полученных расхождений. Методика дальнейшего подбора также освещена в статье Филипа, куда мы и адресуем читателя, интересующегося деталями. При хорошей сходимости аппроксимаций подходящий профиль получают за не­ сколько итераций.

12.7.Вертикальное впитывание воды

вбесконечно глубокую однородную почву

а.Однородный профилъ.

Вкачестве введения рассмотрим однородный профиль влажности, где влажность равна с0 на всех глубинах. Следовательно, влагопро­ водность всюду равна К 0. Считая, что предшествующая история также была одной и той же для всех точек профиля, можно выразить закон Дарси в форме уравнения (11.10), которое для случая, когда градиент влажности равен нулю, примет вид

где ѵг — скорость вертикального потока влаги, положительная кверху. Согласно уравнениям (11.8), (11.9), движение влаги в других

1 Существуют программы для выполнения подобных расчетов на основе явных и неявных конечно-разностных схем с помощью ЭВМ. Такими програм­ мами располагает, в частности, библиотека Вычислительного центра Агрофизи­ ческого института. — Прим. ред.

направлениях отсутствует. Из уравнения (12.41) следует, что ѵг оди­ наково по всему профилю, а поскольку это означает, что величина притока воды в любой элемент профиля в точности равна величине оттока, скорость изменения влагозапаса равна нулю, и влажность остается постоянной. Формально этот результат выражается урав­ нением (1 1 .2 0 ), в котором для данного случая правая часть равна нулю, поскольку все дифференцируемые величины либо равны нулю, либо постоянны.

Следовательно, профиль с постоянной влажностью является стационарным, но условие сохранения стационарности состоит в том, чтобы ѵг имело величину, которая определяется уравнением (12.41), в том числе и на самой граничной поверхности за счет соответству­ ющей величины скорости впитывания на этой поверхности. Необ­ ходимо еще доказать, что такой профиль устойчив, т. е. что неболь­ шое возмущение не только не влечет за собой еще большее, но на­ оборот, стремится исчезнуть под действием компенсирующих эффектов, автоматически возникающих при появлении самого воз­ мущения.

Такое локальное возмущение профиля повлекло бы за собой возникновение максимума или минимума влажности в некоторой точке. Недостаточно показать, что возмущение ликвидируется в той точке z, в которой его ввели, поскольку это может явиться просто результатом миграции возмущения от места возникновения без уменьшения величины самого возмущения. Следует доказать, что в ходе миграции возмущение исчезает. Пусть скорость движения профиля влажности такова, что скорость некоторой рассматриваемой его точки, характеризуемой влажностью с, равна (dzjdt)c. Обозна­ чим через (dc]dt)c скорость изменения влажности в этой точке влаж­ ностного профиля в ходе движения, а через (dc]dz)c градиент влаж­ ности. Тогда при прохождении влажностным профилем некоторой точки почвенного профиля, обладающей постоянным z, влажность

вэтой точке должна изменяться со скоростью, которая является суммой двух компонент: первой — связанной с изменением влаж­ ности в данной точке влажностного профиля по мере его движения,

т.е. (dcjdt)c, и второй — связанной с движением всего профиля через рассматриваемую точку почвенной толщи, благодаря чему более высокая влажность сменяется более низкой в этой точке, что пони­ жает градиент. Таким образом, скорость изменения влажности (dc]dt)z

вфиксированной точке z выражается уравнением

В рассматриваемом случае интерес представляет та точка про­ филя, которая соответствует максимуму наведенного возмущения; в этой точке профиля влажности (дс]д£)с равно нулю. Следовательно, для этого случая уравнение (12.42) примет вид

Таким образом, в точке максимального возмущения нет раз­ ницы между скоростью изменения влажности в фиксированной точке

почвенного профиля и скоростью изменения влажности в фиксиро­ ванной точке профиля влажности. Поэтому индексы при производных в дальнейшем можно опустить.

Ограничиваясь рассмотрением максимума возмущения, мы имеем право применять уравнение (11.3) вне зависимости от наличия ги­ стерезиса, а потому можем использовать также и уравнение (1 1 .20). Одномерной формой последнего для направления ъ служит уравне­ ние (11.31), а именно

Здесь опять обнаруживается тот факт, что на максимуме возму­ щения dc/dz равно нулю. Это позволяет упростить уравнение (12.45):

Поскольку возмущение связано с максимальной влажностью,

d2c/dz*<0,

поэтому из уравнения (12.46) следует, что

dcjdt < 0 ,

т. е. максимум стремится уменьшиться. Обратно, с помощью таких же рассуждений можно показать, что возмущение в форме минимума стремится возрастать, а прямолинейные участки профиля по обе стороны от возмущения остаются устойчивыми. Малейшее возму­ щение сразу влечет за собой компенсирующую реакцию, так что в действительности никаких возмущений профиля не развивается1. Поэтому мы избавлены от трудности аналогичных доказательств в отношении областей, граничащих с большим возмущением, где отклонения влажности значительны и где в то же время нельзя ис­ пользовать аргументы, справедливые для максимума или минимума.

б. Качественная характеристика развития профиля влажности

Предположим, что в профиле с постоянной влажностью, рас­ смотренном выше, внезапно возникло нарушение. Примем этот мо­ мент времени за начало отсчета при анализе последующих процессов.

В параграфе 12.6 уже упоминалось о технических трудностях под­ держивания такой влажности С, которая равна влажности насы­

1Из отрицательности производной еще не следует, что максимум стремится

кнулю. Поэтому приведенные выше рассуждения не являются строгим доказа­ тельством устойчивости. — Прим. ред.

меньше нем С. Такая зона должна соединяться с поверхностью по­ средством вышележащей зоны; эта последняя должна иметь не только положительный градиент влажности, но где-то в ее пределах должна быть положительной и скорость изменения градиента влажности,

т.е. с увеличением высоты градиент должен становиться все круче. Для таких условий все члены правой части уравнения неразрывности (12.45) должны быть положительны, поэтому положительно и dcjdt,

т.е. влажность возрастает. Следовательно, данная форма профиля

влажности не есть окончательная устойчивая форма.

Следует отметить, что когда упоминается закончивший развитие профиль постоянной формы, передвигающийся вниз как одно целое без дальнейших изменений, речь может идти только о профиле, по­ следовательно достигшем стадии 5 на рис. 12.11, у которого зона постоянной влажности начинается с поверхности. На любой более ранней стадии нисходящий профиль соединяется с поверхностной зоной постоянной влажности через излом или изгиб, как кривые 5 и 6 на рис. 12.12. В следующих разделах будет дан количественный и более детальный анализ различных стадий развития профиля.

Если профиль влажности развивается благодаря впитыванию дождя или при поливе дождеванием, а не за счет затопления поверх­ ности, в уравнение (12.47) входит постоянная величина ѵг, а не по­ стоянные влагопроводность и коэффициент диффузии. Поэтому в на­ чальный момент, когда вследствие внезапного увлажнения поверх­ ности градиент влажности de]dz очень велик, на поверхности должна сама собой установиться определенная влажность, такая, которая обеспечит величины D и К, достаточно низкие для того, чтобы удо­ влетворить уравнению (12.47) при заданной величине ѵг. Таким образом, начальный профиль имеет форму, представленную кривой 1 на рис. 12.13, с большим градиентом влажности, заканчивающуюся не очень высокой влажностью на поверхности.

Когда инфильтрация доходит до стадии 2, градиент влажности уменьшается по мере увлажнения все более глубоких слоев, и для того чтобы обеспечить постоянную скорость потока ѵг, значения D и К должны возрасти, поэтому влажность на поверхности должна увеличиться. Процесс этот продолжается, влажность поверхности возрастает, а градиент влажности на поверхности непрерывно умень­ шается, чтобы поддержать постоянство ѵг, пока, наконец, его вели­ чина не станет исчезающе малой, а влажность на поверхности не до­ стигнет постоянной величины, равной, согласно уравнению (1 2 .47), такому значению, которое при данных условиях обеспечит почве влагопроводность К, равную скорости выпадения осадков ѵг. Та­ ким образом, окончательная стадия 5 подобна той же стадии на рис. 12.11 в том, что касается поддержания постоянства влажности на поверхности, однако достигается она иным путем — через стадии

3 и 4.

Стадии, показанные на рис. 12.11, можно рассчитать аналитиче­ ски, но кривые рис. 12.13 такому анализу пока не поддаются.

В этом разделе будет рассмотрен профиль влажности на стадиях, следующих за стадией 5 на рис. 12.11. Допустим, что достигается окончательная форма профиля, и он затем равномерно перемещается вниз, не меняя формы. Анализ развития профиля основан обычно на уравнении неразрывности. Однако уравнение неразрывности в любой из своих форм, представленных в параграфе 11.3, применимо только в отсутствие гистерезиса, поэтому сначала необходимо дока­ зать, что этого препятствия не существует.

В параграфе 12.7(6) было показано, что на любой стадии развития инфильтрационного профиля, начинавшегося с внезапного затопле­ ния сухой почвы, максимумы и минимумы влажности возникнуть не могут и что по мере увеличения высоты от фронта смачивания влажность либо возрастает, либо остается постоянной. Следова­ тельно, когда при движении вниз профиль проходит некоторую точку почвенной толщи, влажность в этой точке должна либо возрастать, либо оставаться постоянной. Таким образом, ни в один из моментов развития профиля не происходит переход от увлажнения к сушке, а потому не возникают и гистерезисные явления. Отсюда следует, что к данному случаю применима любая форма уравнения неразрыв­ ности. Формой, выведенной специально для равномерно нисходя­

Постулат, состоящий в том, что профиль может достичь стадии, на которой он опускается как одно целое с постоянной скоростью без изменения формы, можно теперь проверить просто путем подста­ новки постоянной, не зависящей от с, величины V вместо —dz]dt. Если после такой подстановки можно будет получить решение этого уравнения в требуемом виде, т. е. в форме однозначной зависимости с от z или наоборот, справедливость постулата будет доказана.

Итак, уравнению (12.48) придадим вид

Такое преобразование сводит дифференциальное уравнение нераз­ рывности в частных производных к обыкновенному дифференциаль­ ному уравнению с двумя переменными с и z, как это имеет место

тверждающие теорию. Решение это, как показано в Дополнении 28, имеет вид

Со

где Zf— высота продвигающегося фронта смачивания в данный момент, отсчитываемая от произвольного нулевого уровня. Таким образом,

z — Zf есть высота точки, имеющей влажность с, над движущимся фронтом увлажнения.

Правая часть уравнения (12.50) содержит только известные по­ стоянные С, с0, К с и К 0 и переменные К и D, являющиеся извест­ ными функциями влажности с. Следовательно, подынтегральное вы­ ражение может быть протабулировано для отдельных интервалов с, после чего численным или графическим интегрированием по способам, описанным в параграфе 1 2 .2 , нетрудно вычислить профиль влажно­ сти. Отметим, что, когда с принимает значение С, подынтегральное выражение становится бесконечно большим, поэтому последнее приращение с происходит на бесконечно большом приращении z.

Рис. 12.14. Оконча­ тельная форма нисхо­ дящего профиля влажности в сланце­ вой пыли (а) и сте­ клянных шариках (б).

Влажность, % от объема

Это означает, что верхняя часть профиля имеет постоянную влаж­ ность, что подтверждает сказанное об этом в параграфе 12.7 (б), т. е. что окончательный профиль, опускающийся с постоянной скоро­ стью, не может сформироваться до тех пор, пока градиент влажности на поверхности не понизится до нуля. Сопоставление наблюдавшегося и вычисленного профилей, по данным Янгса, приведено на рис. 12.14.

г. Ранные стадии развития профиля после изменения влажности на поверхности

Анализ ранних стадий развития нисходящего профиля влажно­ сти в функции от глубины и времени выполнен Филипом [122]. Решение уравнения неразрывности (12.48) относительно z получено в виде суммы ряда членов, содержащих возрастающие степени t1'*:

Каждый из коэффициентов К, р, ѵ и т. д. представляет собой функ­ цию влажности, выраженную в форме кривой, с которой можно снять численное значение коэффициента, соответствующее данному с. Каждый из них является решением одной из систем вспомогатель­ ных уравнений. Поэтому если задано с, то известны все коэффициенты и можно вычислить z для интервала значений t, так что когда подоб­ ные расчеты проведены для достаточно широкого диапазона с, можно построить ряд профилей для различных моментов времени. Обычно