книги из ГПНТБ / Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв

Согласно уравнениям (11.8) и (11.9), поток влаги пропорционален градиенту влажности в направлении потока; такому же закону — закону Фика — подчиняется молекулярная диффузия растворенного вещества в растворителе. В этом случае коэффициент пропорци­ ональности D называется коэффициентом диффузии. Что касается рассматриваемых явлений, то хотя никто не утверждает, что вода движется через порозное пространство пористых тел путем молеку­ лярной диффузии (поскольку приведенные выше уравнения есть просто разновидность закона Дарси для объемного течения под действием градиента потенциала), коэффициент D из уравнения (11.6) обычно тоже называют коэффициентом диффузии воды в почве.1 В этом смысле говорят о диффузии воды в почве.

С

Рис. 11.1. Вычис­ ление коэффици­ ента капиллярной диффузии D по

влагопроводности К и дифференци­

альной влагоемко­ сти dcjdH.

В более сухих почвах, где движение пара составляет существен­ ную долю общего потока влаги в уравнении (11.6), предпочтительнее

использовать полную влагопроводность К (параграф 10.8). С ее

помощью вместо D получают полный коэффициент диффузии D. Отметим, что более сложные уравнения (11.1)—(11.2) не приводят

к уравнениям (11.8)—(11.9). Эти более сложные виды переноса нельзя описать как «диффузию», поскольку они не подчиняются уравнениям теории диффузии. Дело не только в том, что коэффи­ циент диффузии придется выражать весьма сложным образом, сама теория диффузии оказывается неприменимой. Далее, следует ука­ зать, что даже в простейшем случае, т. е. при вертикальном движении влаги, к которому относится уравнение (11.10), закон Фика описы­ вает процесс неадекватно, поскольку учитывает только одну соста­ вляющую такого потока влаги. Этот факт играет важную роль при последующем анализе развития профилей влажности в почве.

В качестве примера построения графика зависимости коэффи­ циента диффузии от влажности на базе основных кривых — зависи­ мости Н и К от с — приведем рис. 11.1. На графике влажностной характеристики в интересующей нас точке, соответствующей влаж­ ности с, которая обозначена общей ординатой, проводят касательную

1 Указанный термин diffusivity в отечественной литературе нередко переводят словом «диффузивность». Мы предпочитаем выражение «коэффициент капилляр­ ной диффузии», или просто «коэффициент диффузии влаги», которое и будем использовать далее без оговорок. — Прим, перев.

и определяют ее наклон dH/de. Затем считывают значение К с соот­ ветствующего графика, умножают его на производную и произве­ дение К (dH/de), т. е. коэффициент диффузии D, откладывают на третьем графике.

Интересно, что когда влагопроводность К можно рассчитать по влажностной характеристике, как описано в параграфе 10.5, зависимость D от с удается вычислить по одной лишь влажностной характеристике.

Поскольку влажностная характеристика подвержена гистере­ зису, а ее наклон есть фактор, от которого зависит D, само D также должно быть подвержено гистерезису. Меньший гистерезис зависи­ мости К от влажности вносит соответственно и меньший вклад в ги­ стерезис D. Поэтому когда рассматриваются задачи, где встречается коэффициент диффузии, необходимо следить, чтобы величина D была выбрана правильно, в соответствии с историей сушки и увлаж­ нения образца.

11.2. Закон Дарси с учетом гистерезиса

Рассматривая уравнение (11.2), являющееся математической фор­ мулировкой закона Дарси для случая, когда в истории передвижения влаги был только один переход (например, от увлажнения к сушке) и когда профиль влажности непостоянен, можно несколько углубить наш анализ. Если подставить grad Н из уравнения (11.2), закон Дарси примет вид

V= — К (grad Я -f к) *= — К [(дН/дс) grad с -f

Составляющие в горизонтальном направлении ж и в вертикальном направлении z равны соответственно:

Физический смысл (дН]дс)г и его связь с (дН/дс) можно выяснить, рассмотрев гистерезис и диаграммы независимых доменов. На рис. 1 1 .2 показаны две первичные кривые сушки, одна из которых начинается на граничной кривой увлажнения при влажности сг, а другая начинается с влажности сг + бсг. При общей влажности с соответствующее давление на первой кривой есть Н, а на второй Н + 6Я. Поскольку 8Н отрицательно, сосущая сила в этом случае выше. Отношение ЬН]Ьсг, таким образом, отрицательно, и в пределе, когда 8сг бесконечно мало, это отношение стремится к предельной величине дН]дсг. При постоянной сп т. е. вдоль первичной кривой, начинающейся с сг, величина дН]дс просто обратна наклону кривой, поскольку сам наклон равен дс/дН. Это отношение положительно.

Обратимся теперь к соответствующей диаграмме независимых доменов (рис. 11.3). В точке сг (показанной на рис. 11.2) на гранич­ ной кривой увлажнения состояние поровой воды отмечено горизон-

тальной прямой, проходящей через соответствующее давление, кото­ рое для процесса увлажнения обозначается символом H t . Элементы порового пространства, изображаемые участками под этой линией, заполнены, а остальные поры пусты, так что влажность сг равна

отрицательно и равно прежнему изменению, то влажность станет равной с + 8с и изобразится объемом, стоящим на основании ALJU. Следовательно, 8с также отрицательно, а его величина изображается объемом, стоящим на основании JLCD. Таким образом, 8Н]8с в дан­ ном случае есть отношение 8Не к объему, стоящему на основании JLCD, т. е. величина положительная, поскольку оба приращения отрицательны.

Из уравнений (11.14)—-(11.15) следует, что 8Не/8сг и 8Не/8с имеют разные знаки и что величина последнего превосходит величину первого. При предельных уменьшениях изменений Н и с получается, что дН]дс и дИ]дсг тоже разного знака и что

где \ дН]дс \ обозначает абсолютную величину частной производной. Интуиция подсказывает, что перераспределение влаги по про­ филю после впитывания стремится уменьшить градиент влажности, как это и будет показано в параграфе 12.13, так что градиент влаж­ ности дс/дх в данной точке в данный момент стремится стать меньше, чем градиент дсг]дх в момент изменения хода процесса. Таким

образом,

Итак, из уравнений (11.16)—(11.17) следует, что произведение (дН]дс){дс]дх) стремится стать того же порядка, что и (дН/дсг)(дсг]дх), и что эти два произведения имеют противоположные знаки. Следо­ вательно, члены в квадратных скобках уравнения (1 1 .12) в ходе перераспределения влаги стремятся нейтрализовать друг друга, и потому вполне возможно, что скорость ѵх станет равной нулю, когда еще сохраняется заметный градиент влажности.

В случае вертикального впитывания и перераспределения ско­ рость ѵг не может упасть до нуля до тех пор, пока произведение (дН]дсг) (dcr/âz) не превысит произведение (дН/дс)(дс/дг) на единицу, что менее вероятно.

11.3. Уравнение неразрывности

Когда характер течения жидкости в пористой среде сложен

ипоток меняется по величине и направлению как во времени, так

ив пространстве, обычно обнаруживается, что непосредственное применение закона Дарси не дает полезных результатов. Однако

сочетая закон Дарси с выражением для баланса воды, втекающей в небольшой элемент объема тела и вытекающей из него, можно получить дифференциальное уравнение, содержащее только ска­ лярные величины, такие, как влажность, гидравлический потенциал или гидравлическое давление. Это уравнение известно как уравнение неразрывности. Решения такого уравнения, когда их можно полу­ чить, имеют форму распределения скалярной величины во времени и в пространстве. Так, наиболее общая форма уравнения неразрыв­ ности для поровой влаги, как показано в Дополнении 25, выглядит следующим образом 1:

или в альтернативной форме, если вместо Ф выбрана другая пере­ менная,

Эти наиболее общие формы упрощаются в частных случаях, на­ пример когда материал — изотропный или насыщенный, или когда поток стационарен, или когда он одномерен. Так, и для стационар­ ного потока, и для насыщенной среды dc/dt равно нулю, а в послед­ нем случае, кроме того, влагопроводность вдоль пути потока не меняется. Тогда уравнение (11.18) принимает вид

Если материал изотропен, то при написании К можно опустить индексы, тогда форма уравнения становится очень простой:

где q — вектор потока влаги. Тогда, соединяя его с законом Дарси, получают уравнение (11.18). — Прим. ред.

Это хорошо известное уравнение Лапласа, одно из наиболее исследованных основных уравнений физики.

Даже когда материал анизотропен в отношении влагопровод­ ности, уравнение (11.21) можно свести к уравнению Лапласа, подо­ брав соответствующее преобразование координат. Выбираются новые координаты X, р и ѵ, такие, что

X — X

нием (11.23), мы сводим задачу о потоке в насыщенном анизотропном материале к задаче о потоке в изотропном теле. Если для такого преобразованного тела можно получить решение, то обратным пре­ образованием этого решения к первоначальной форме можно полу­ чить решение и для исходного материала. В Дополнении 26 показано,

Такие задачи, связанные с анизотропными насыщенными мате­ риалами, не вызывают особых затруднений.

Благодаря симметричности системы иногда может упроститься даже уравнение Лапласа. Например, далее мы будем рассматривать задачу о поддержании уровня грунтовых вод с помощью системы параллельных дрен, расстояние между которыми мало по сравнению с их длиной. В этом случае поток, если не говорить о зоне вблизи концов линий дрен, практически перпендикулярен направлению дрен, и потому можно ограничиться анализом движения воды в пло­ скости, содержащей оси у и z (х — направление дрен). Тогда урав­ нение (1 1 .22) примет двухмерную форму ’

Глава 12 будет посвящена таким явлениям, при которых движе­ ние воды в почве ограничено одним направлением, обычно вер­ тикальным, например случаем, когда на обширную плоскую поверх­ ность почвы выпали осадки, которые просачиваются вглубь, или случаем, когда после впитывания вода движется вверх к равно­ мерно испаряющей поверхности. Для движения влаги в горизон­ тальном направлении х уравнения (11.19) и (11.20) принимают вид

Даже когда поток влаги направлен вертикально, может слу­ читься, что член Kz очень мал в сравнении с Dz {de]dz), например когда поток движется в относительно сухой почве, где и К, и D малы, но могут существовать высокие локальные градиенты влажности dc]dz. Когда благодаря этому можно пренебречь гравитационным членом, уравнение (11.31) сводится к более простому уравнению (11.29).

Уравнения (11.28)—(11.31) показывают, что влажность в некото­ рой точке изменяется с течением времени. Скорость этого изменения является функцией формы профиля влажности, т. е. кривой распре­ деления с по X или г. Решения этих уравнений позволяют получить кривые зависимости с от і или z для любого момента времени. В от­ дельных случаях удобнее следить за изменением профиля влажности во времени, если задаться некоторой влажностью и проследить за движением точки, в которой наблюдается эта влажность. Например, за развитием профиля влажности можно наблюдать, прослеживая нисходящее движение фронта смачивания. В этом случае отыски­ вается не {dc]dt)x или (dc/dt)z, а (dx/dt)c или {dz]dt)c. Для этого исходят из уравнения, выражающего с как функцию z u t , когда обе эти величины — переменные. Если z изменилось на небольшую вели­ чину ôz, a t увеличилось на 8t, то общее увеличение влажности со­ ставит

Если же рассматривать точку, в которой влажность с остается постоянной, то при движении этой точки на расстояние Ôz за время ôt, т. е. при скорости ôz/ô£, изменение влажности будет равно нулю, так что из уравнения (11.32) для этого случая получаем

{dc/dt) 8t + {de/dz) ôz = 0 .

Следовательно, когда приращения z и t достаточно малы, чтобы

Подставляя в уравнение (11.33) значение dcjdt, например из

Это форма уравнения неразрывности, определяющая dz]dt. Ис­ пользуя значение dcjdt из уравнения (11.31), получим эквивалентное выражение

Таким же путем с помощью уравнения (11.28) и (11.29) можно написать

Д О П О Л Н Е Н И Я

Дополнение 24. Переход от градиента давления в ненасыщенном пористом материале к градиенту влажности.

Когда ненасыщенный пористый материал находится в переходном состоянии, различие давления воздуха в разных точках порового пространства не позволяет однозначно связать влажность с гидростатическим давлением. Приходится рас­ сматривать две различные потенциальные функции: Фш для воды, движущейся по увлажненным порам, и Фа для движущегося воздуха. В этом случае выгодно принять определение потенциала, основанное на единичном объеме флюида [уравнение (9.1а)]. Таким образом,

Фш= -ри« + гРш^

Фa= P a+gPa*-

Поскольку плотность воздуха р„ в данном случае ничтожно мала, гравита­ ционной составляющей Фа можно пренебречь, так что

Фо= Ра-

Применяя к каждому флюиду в отдельности закон Дарси, получим