книги из ГПНТБ / Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв

s2=о

где (ДФ)і и (АФ) 2 есть соответственно разности потенциалов между входными и выходными поверхностями тел В 1 и В г. Уравнение (Д18.18) можно переписать

Sü/N~L

Определенные интегралы в уравнениях (Д18.171 и (Д18.19), очевидно, равны, так что из этих двух уравнений получаем

Благодаря равенству величин потока в соответственных точках на вход­ ных и выходных поверхностях обоих тел величины суммарного потока пропор­ циональны площадям поверхностей, поэтому в обозначениях уравнения (9.6)

Если длины обоих тел между входной и выходной поверхностями (которые нельзя смешивать с истинной длиной линии тока в пористом пространстве) равны Zj и Z2, то

Теперь можно записать уравнение (9.6), выражающее закон Дарси, для обоих тел в форме

Используя уравнения (Д18.20) и (Д18.22), можно переписать уравнениеД18.24) в следующем виде:

Наконец, поделив уравнение (Д18.25) на уравнение (Д18.23) и используя уравнение (Д18.21), приходим к результату

Таким образом, если пористые пространства двух тел геометрически по­ добны, но размеры пор одного больше, чем размеры другого, в N раз, то влаго­ проводность одного больше влагопроводности другого в N 2 раз.

Дополнение 19. Скорость потока в цилиндрической трубке.

На рис. Д19.1 показаны поперечное сечение и перспективный вид цилиндри­ ческой трубки радиуса В и длины Z, содержащей жидкость, которая течет слева

направо за счет того, что левый конец трубки имеет потенциал ДФ по отношению к правому концу. Таким образом, градиент потенциала ДФ/Z направлен справа налево, и потому, согласно Дополнению 14, на каждую единицу веса жидкости действует сила ДФ/Z слева направо.

Рассмотрим теперь внутреннюю цилиндрическую поверхность радиуса г,

концентричную трубке в целом. Внутренняя по отношению к этой поверхности масса жидкости скользит по внешнему кольцевому цилиндру, так что оба испы­ тывают взаимное вязкостное [сопротивление по искривленной поверхности площадью 2ягі. Поскольку внутренний объем движется с постоянной скоростью,

без ускорения, суммарная сила равна нулю, поэтому вязкостное сопротивление должно быть в точности скомпенсировано силой, связанной с градиентом

Если рассматривать то же тело как однородное и обладающее влагопроводностыо Кн в направлении потока, то величина последнего будет равна

Q / t = — К н п {ß\ + D2) grad Ф.

Сравнивая два этих выражения, получаем

^ я = ( х А + а д )/(В і + ад. { ((іоЛ2)

Если наложить градиент потенциала перпендикулярно к плоскости слои­ стости, то через единицу площади поперечного сечения будет проходить поток

а потенциал на его выходной поверхности, т. е. на входной поверхности второго слоя, равен Ф2; потенциал же на выходной поверхности второго слоя есть Ф3. Применяя последовательно к каждому слою закон Дарси, получаем:

Q/t = K 1 ( 0 2~ 0 J) / D 1

(Д21.2)

Q/t = K 2 (Ф3 —Фг) / ^ 2

Если вместо этого рассматривать чередующиеся слон как единое тело с влагопроводностью^у и толщиной^(П1 + Ъ 2), получим

Рассмотрим п слоев, каждый из которых г имеет толщину Dr и влагопроводность Кг. Пусть плоскость спайности будет горизонтальна. Тогда, если гра­

диент потенциала направлен по плоскости спайности, имеем на единицу ширины слоя

(Q/t)r = K rDr grad®.

Отсюда

В этом уравнении / и А имеют те же величины, что и в исходной недеформиро­

ванной колонке, вследствие постоянства упомянутых выше объемов и поверхно­ стей. Из уравнений (Д22.1), (Д22.2) и (Д22.3) имеем

К = К т ( L / L e)t ,

откуда, подставляя значение К т из уравнения (Д22.3), получаем

Если жидкость в порах имеет электрическое сопротивление р/, то сопротив­ ление колонки, рассматриваемой как пучок каналов длиной Le и общей площадью

поперечного сечения s, равно

Однако то же измеренное сопротивление можно выразить через размеры колонки и ее среднее сопротивление рт в форме

Сравнивая эти два уравнения, получаем

Поскольку общий объем колонки единичного поперечного сечения есть L, тогда как объем содержащихся в ней капилляров есть sLe, пористость / равна

Подставляя в уравнение (Д22.8) выражение для s из (Д22.9), получаем

Дополнение 23. Закон движения водяного пара в почве.

В свободной неограниченной массе воздуха, где концентрация водяного пара равна а, масса, проходящая единицу площади, перпендикулярной градиенту о

в единицу времени, согласно закону Фика, равна

В этом уравнении Di есть постоянная, зависящая от давления воздуха и

называемая коэффициентом взаимной диффузии водяного пара в воздухе. В ко­ лонке материала, имеющего пористость /, доля которой с заполнена водой, для воздуха и для диффузии в нем водяного пара доступна лишь доля (/ — с) единич­ ного сечения. Далее, извилистость пути диффузии через пористое пространство должна увеличивать эффективную длину пути, поэтому истинный градиент кон­ центрации пара вдоль колонки в а раз меньше, чем вычисленный из ее длины. Извилистость возрастает, и, следовательно, а уменьшается по мере того, как

увеличивается влажность, сокращая пористость, доступную для диффузии пара. Однако при таких высоких влажностях доля пара в общем переносе влаги ничтожна. При тех влажностях, при которых существен перенос пара, а можно

считать константой, равной приблизительно 0,6. Следовательно, плотность потока водяного пара в ненасыщенном пористом материале, в котором суще­ ствует макроскопический градиент концентрации пара grad а, равна

Если концентрация пара, находящегося в равновесии со свободной водой при нулевом гидростатическом давлении, есть а0, то концентрация пара над водой,

испытывающей напорное давление Н (отрицательное в ненасыщенном материале,,

обладающем сосущей силой), будет, в соответствии с уравнением (7,1), равна

ГЛАВА 11

Некоторые другие выражения законов движения почвенной влаги

11.1.Форма закона Дарси, выраженного

спомощью градиента влажности

Когда почва не насыщена влагой, влажность может меняться

впространстве и во времени. С этим связаны задачи расчета изме­ нений распределения влаги по профилю. Сходные задачи возникают

втеории теплопроводности. Решение таких задач облегчается, если градиент температуры, которому пропорциональна плотность потока тепла, преобразовать в градиент теплосодержания. Этот переход выполняется с помощью удельной теплоемкости, которая равна отно­ шению прироста теплоты на единицу массы к приросту температуры. Теория теплопроводности [21] 1 содержит формальный аппарат,

весьма полезный и для описания движения почвенной влаги.

Так же как теплосодержание зависит от температуры, влаж­ ность с пористого тела зависит от гидростатического давления Н, которое в ненасыщенном теле, конечно, отрицательно.2* Точно так же, как поток тепла зависит от градиента температуры, скорость дви­ жения жидкости зависит от градиента гидростатического давления. Основное различие между обоими случаями состоит в том, что отно­ шение прироста теплосодержания к приросту температуры (удельная теплоемкость) практически постоянно, тогда как изменение объемной влажности при изменении давления есть наклон влажностной характеристики, а по форме этой кривой легко видеть, что при изме­ нении влажности отношение de]dH меняется в широких пределах. Поэтому, хотя данная величина и известна как удельная влаго­ емкость 3 материала, ей пока не присвоили общепринятого обозна­ чения.

Второе важное различие состоит в том, что дифференциальная

хСм. также Л ык о в А. В. Теория теплопроводности. М., 1967.—Прим, itepee. 2 Ясно, что в недеформируемой почве при положительном гидростатическом давлении Н влажность не зависит от него, поскольку она равна полной влаго-

емкости. — Прим, перев.

3 В отечественной литературе эта величина называется дифференциальной влагоемкостью. — Прим, перев.

действием градиента давления, измеренного относительно услов­ ного нуля, тогда как влажность зависит от разности между давле­ нием в воде и давлением в воздухе по другую сторону раздела фаз в порах. Если сам воздух движется, как бывает в переходном состо­ янии, когда меняется влажность, то давление воздуха должно ме­ няться от тонки к точке, чтобы обеспечить его поток, и потому гра­ диент гидростатического давления, который определяет поток влаги, может отличаться от того градиента, который определяет градиент влажности. Наконец, сила тяжести является компонентой потен­ циала, которая может влиять на движение воды так же, как и гра­ диент давления. В этом отношении сила тяжести не имеет аналога в теории теплопроводности. Все эти различия создают специфические трудности в теории влагопроводности пористых тел и не позволяют использовать решения теплофизических задач в готовом виде. С этими различиями связан также и тот особый интерес, который представ­ ляют задачи гидрофизики.

В Дополнении 24 будет показано, что, когда давление норового воздуха практически постоянно и равно внешнему атмосферному давлению (а это бывает либо когда влажность не меняется, либо когда поровое пространство далеко от насыщения), градиент гидро­

X

Это выражение относится к случаю, когда данный профиль влаж­ ности сформировался путем ряда переходов от сушки к увлажнению и обратно. Тут rCL есть влажность после r-го изменения хода про­ цесса из общего числа п имевших место переходов. Таким образом, grad с есть наклон окончательного профиля влажности, тогда как grad rCL — наклон профиля после r-го перехода. Величина дН/дс есть наклон окончательной кривой развертки, a dH]drciJ — величина, на которую изменилось бы давление, соответствующее конечной влажности, при изменении влажности в r-ом переходе, если бы все остальные переходы и окончательный профиль остались без изме­ нений.

Практически важная ситуация возникает, когда имеется един­ ственный переход в процессах сушки — увлажнения, например когда по окончании полива вода перераспределяется в почвенном профиле. При этом в верхней части профиля, увлажнившейся в ходе полива, влажность уменьшается, а вода уходит в более глубокие слои, куда продолжает проникать фронт смачивания. В этом случае можно опустить индексы в уравнении (11.1) и переписать его так:

где cL — теперь влажность точки профиля в момент единственного изменения хода процесса. В наиболее простом случае, когда нет переходов, а влажность изменяется непрерывно либо в ходе сушки