книги из ГПНТБ / Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв

10.3. Зависимость гидравлической проводимости от структуры

Наиболее неудачные результаты формула Козени дает при ис­ пользовании почв с развитой структурой. Причина становится ясной, если рассматривать идеализированную почву, состоящую из сфери­ ческих частиц, имеющих размеры глинистой фракции, а именно

найдем, что проводимость К нашей почвы имеет величину прибли­

Допустим теперь, что наша почва рассечена плоскими парал­ лельными трещинами шириной 0,1 см с интервалами в 10 см. Тогда межструктурная пористость равна 0,01, т. е. обеспечивает прирост общей пористости не более чем на 2%. Удельная поверхность при этом практически не меняется. Следовательно, гидравлическая влагопроводность, вычисленная по уравнению (10.9), в результате появления трещин почти не меняется. Однако в данном случае можно применить уравнение (10.6). Тогда, рассмотрев одни трещины и пол­ ностью пренебрегая вкладом внутриагрегатной пористости в про­

Таким образом, структура обеспечивает гидравлическую про­ водимость, которая почти в 30 000 раз больше, чем вычисленная по формуле Козени. Полевые данные показывают, что в реальных условиях проводимость может быть в сотни раз выше той, которую можно бы ожидать, если учитывать только механический состав [39]. Отсюда можно заключить, что излишне распространенная тенден­ ция связывать проводимость с механическим составом может быть рискованной.

10.4. Структура как причина анизотропии

Изучение уравнения Козени показывает, что оно не содержит ни одной величины, представляющей направленное физическое свой­ ство, так как ни удельная поверхность, ни пористость не являются понятиями, имеющими отношение к направлению. Верно, конечно, что при выводе это уравнение применялось только к параллельным капиллярным трубкам и в этом плане касалось только проводи­ мости в направлении этих трубок. Однако при дальнейшем широком применении к разнообразным укладкам частиц это обстоятельство неизбежно игнорируется, поскольку весь смысл придания этому уравнению его обобщенной формы состоит в том, чтобы обеспечить его широкое применение. Отсюда следует, что уравнение Козени в его простейшей форме не может пролить свет на анизотропную проводимость. Самоочевидно также, что совершенно случайная укладка частиц должна быть изотропной, поскольку любой намек '

на дифференциацию свойств по направлению противоречит самому понятию случайности укладки.

Причину анизотропных свойств следует искать, таким образом, в отклонении от случайности укладки, т. е. в структуре. Тут опятьтаки не может существовать обобщенного анализа, поскольку струк­ тура по самой своей природе специфична и в каждом случае должна быть определена геометрически. Здесь трудно сделать что-нибудь большее, чем снова сослаться на параллельные капиллярные трубки, как пример однонаправленных проводников, и на параллельные щели, как проводники, равнопроводящие в двух любых взаимно перпендикулярных направлениях, лежащих в плоскости щели. В каждом из этих случаев величины составляющих сильно анизо­ тропных проводимостей в направлении главных осей можно вычи­ слить с помощью Дополнений 19 и 20 соответственно. В параграфе 9.3 и в Дополнении 15 уже было показано, что тело, пронизанное лю­ бой данной комбинацией таких щелей и трубок, будет обладать анизо­ тропной проводимостью, которую можно выразить через проводи­ мости индивидуальных групп щелей и трубок. На практике, конечно, чрезвычайно сложно описать количественно геометрические особен­ ности структуры.

К структурной анизотропии близка анизотропия, связанная со слоистостью. Плоская трещина представляет собой пространство, поток жидкости в котором вычисляется по уравнениям Навье— Стокса. Это пространство окружено материалом, в котором поток пренебрежимо мал по сравнению с потоком в трещине. Могут су­ ществовать также чередующиеся прослойки материалов двух или более типов, в каждом из которых течение жидкости подчиняется закону Дарси, а их проводимости различны. Такой сложный ма­ териал можно считать неоднородной средой, каждый слой которой обладает особой проводимостью. При этом подходе толщина каждого слоя должна быть сравнима с общим размером тела, как, например, в случае расчета дренажа для слоев толщиной в несколько десятков сантиметров, когда расстояние до грунтовых вод несколько метров. С другой стороны, если слои настолько тонки, что могут рассматриваться как микропрослойки по сравнению с масштабом

тропной проводимостью К2. В Дополнении 21 показано, что макро­ скопический поток в теле, состоящем из большого количества по­ добных прослоек, будет такой же, как в однородном анизотропном теле, проницаемость которого в направлении, перпендикулярном плоскости слоистости, есть К у , а в любом направлении, параллель­ ном плоскости слоистости, равна Кн , где

В более общем случае, когда имеется п слоев, представитель которых г обладает проводимостью К г и толщиной Dr, горизонталь­ ная и вертикальная проводимости соответственно равны

Поскольку слоистость вряд ли приводит к образованию более чем одной группы параллельных плоскостей, нет нужды осложнять задачу учетом вкладов в проводимость со стороны различных групп, о чем рассказывалось в параграфе 9.3 и Дополнении 15, хотя это

иможно было бы сделать.

10.5.Зависимость влагопроводности

от влажности и некоторые более сложные модели пористых материалов

Применимость закона Дарси для ненасыщенной почвы была установлена в параграфе 10.4. Типичная почва в набухшем влажном состоянии имеет поры, наибольший размер которых порядка мил­ лиметра. Такая почва почти не теряет воду до тех пор, пока сосущая сила не превысит десяток сантиметров водяного столба. На стенках поры, опорожнившейся при такой сосущей силе, остается очень тонкая пленка воды, в которой течение воды осуществляется очень медленно по сравнению с потоком через заполненную пору. Следо­ вательно, вклад пустой поры в общую влагопроводность тела нич­ тожен. Уменьшение влажности эквивалентно, таким образом, со­ кращению эффективной пористости, обеспечивающей проводимость, а потому и сокращению проводимости. Если использовать уравнение Козени, то величина / будет обозначать не пористость, а объемную влажность.

Далее, поскольку последовательное увеличение сосущей силы вызывает последовательное уменьшение влажности, на первых ста­ диях этого процесса опустошаются поры большего размера, а на по­ следующих — более мелкие поры. Так как, согласно уравнениям (10.1)—(10.5) и (10.6), более крупные поры служат более эффектив­ ными проводящими каналами, влияние начальных фаз уменьшения влажности на проводимость оказывается больше, чем последующих. Это влияние учитывается в уравнении Козени величиной А 2, по­ скольку заполненную воздухом пору можно рассматривать как часть сечения, не являющуюся более проводящей, т. е. в некотором роде как часть твердой фазы. Поэтому удельную поверхность раздела твердое тело — вода можно оценивать, основываясь на распреде­ лении пор по размерам, как в параграфе 8.4, но ограничиваться при этом заполненными водой порами и считать воздушные поры твер­ дой фазой. Таким путем можно вычислить эффективную величину

удельной поверхности А применительно к данным условиям. Разу­ меется, этот метод весьма отличен от того, который используют при применении уравнения Козени к насыщенным материалам и вычи­ слении удельной поверхности по данным о механическом составе. По сути дела первопричиной вывода формул типа уравнения Козени была распространенность механического анализа в те времена, когда определение и анализ влажностной характеристики не применялись. Отсюда формулы, в которых упор делался на геометрию твердой фазы, хотя проводимость определяется геометрией пор.

Далее, пора, заполненная воздухом, не просто не проводит воду. Она является препятствием, поскольку если раньше вода проходила сквозь нее, то теперь поток вынужден ее огибать. Путь потока ста­ новится более извилистым и потому более длинным. Чем суше ма­ териал, тем более извилист путь потока.

Наконец, если материал содержит коллоидную фракцию, то при увеличении сосущей силы происходит усадка (параграф 8.7), так что все поры уменьшаются в размерах. Это опять-таки вызывает понижение влагопроводности при уменьшении влажности. Данный эффект чаще всего мал по сравнению с тремя другими и подлежит учету только в том случае, если материал в основном коллоидален и большую часть влаги удерживает за счетвысоких сосущих сил, когда существенна усадка.

Изменение проводимости с влажностью порождает как проблемы, так и возможности. Поскольку уменьшение влажности приводит к сокращению эффективной пористости, можно благодаря этому проверить теоретические формулы в гораздо более широком интер­ вале пористостей, чем каким-либо другим образом. С другой стороны, если опыт обнаружит, что существующие теории зависимости влаго­ проводности от геометрии пор недостаточны, выявится необходимость выдвигать лучшие гипотезы и модели. Усовершенствования теории состояли пока большей частью или в модификации уравнения Ко­ зени, или в анализе более сложных геометрических моделей.

Наиболее уязвимым местом уравнения Козени является либо отсутствие величины, учитывающей извилистость и истинную длину фактического пути потока, либо способ оценки этой величины, если ее включают в уравнение. Это обстоятельство привлекло внимание ученых-нефтяников Вилли и Роуза [174]. Если предположить, что капиллярные трубки, рассматриваемые при выводе уравнения Ко­ зени, извилисты и имеют длину Le на участке пористого тела дли­

Этот результат впервые был, по-видимому, получен Карманом [20]. Было высказано предположение, что величину L/Le можно оценить, измеряя электрическое сопротивление рт материала, поры которого заполнены жидкостью с известным сопротивлением р. Если материал насыщен, т. е. все пористое пространство эффективно

проводит как жидкость, так и электричество, то, как показано в До­ полнении 2 2 ,

Различие в форме связано с несколько отличным подходом Вилли и Роуза к эффективной пористости. Если материал насыщен, то как в уравнении (10.15), так и в уравнении (10.16) / следует заменить эффективной пористостью, т. е. объемной влажностью, а также вычислять А 2 исходя из того, что воздушные поры являются как бы частью твердой фазы, о чем уже упоминалось. При этом в урав­ нении (10.15) в качестве переменной, зависящей от влажности, появляется множитель L/Le, который используется с соответству­ ющим ему значением влажности. Вилли и Спенглер [175] нашли, что эта модификация сильно улучшает исходное уравнение Козени, когда его проверяют на ненасыщенных пористых телах.

Против идей Вилли и Роуза можно выдвинуть два возражения. Во-первых, поскольку для получения информации о геометрии пор требуется отдельный эксперимент, модифицированное уравнение уже не будет целиком основано на геометрии, оно становится полуэмпирическим. Во-вторых, неявно предполагается, что в материале, обладающем порами разных размеров и путями потока различной извилистости, вклад различных путей потока в извилистость одинаков как в случае потока электричества, так и в случае потока жидкости, а это отнюдь не самоочевидно. Поскольку жидкость предпочитает пути с большим поперечным сечением, а для потока электричества, не зависящего от вязкости, все пути одинаковы и важна лишь об­ щая площадь поперечного сечения проводящих каналов, роль узких каналов в электропроводности более значительна, чем во влаго­ проводности. Однако ошибки, связанные с использованием электри­ ческого метода оценки извилистости для гидравлических целей, имеют второстепенное значение.

Примером другого подхода служит модель, принятая Чайлдсом и Коллис-Джорджем [38] и относящаяся к пористым телам, у кото­ рых распределение пор различных размеров в пространстве совер­ шенно неупорядоченно. Несколько видоизмененный, но по существу тот же подход был позднее использован Маршаллом [105]. Если колонку пористого материала с единичным поперечным сечением раз­ ломить надвое, каждая из поверхностей разлома будет обладать репрезентативным распределением пор по размерам.

Остановимся вначале на той группе пор одной из поверхностей, средний размер которой есть р, а диапазон размеров ôr; иначе го­ воря, диапазон охватывает размеры от р — ôr/2 до р -f ôr/2. Затем на другой поверхности разлома рассмотрим группу пор, средний размер которой равен сх, а интервал ôr. Площадь, занимаемая данной группой на поверхности разлома, равна доле пористости, приходя­ щейся на эту группу, а эта доля в свою очередь равна произведению концентрации объема пор для данного размера (т. е. объема пор, приходящихся на единичный интервал размеров пор) на ширину интервала. Концентрация объема пор для данного размера есть функ­

Опыты с некоторыми инертными материалами — фракциями пе­ ска и сланцевой пылью — позволили найти кривые изменения про­ водимости при изменении влажности (рис. 10.1). Эти кривые пока­ зывают, как быстро убывает проводимость в начальных стадиях ненасыщенности. В целях сравнения на рисунке приведены также теоретические кривые, вычисленные по уравнению Козени без по­ правки на извилистость и по приведенной выше модели, в которой поправочный коэффициент, или эмпирическая константа М, был получен совмещением опытных и теоретических кривых в точке, обозначенной на рисунке.

Рис. 10.1. Зависи­ мость влагопроводно­ сти от степени насы­ щения.

фракция песка 1—0,5 мм.

10.6. Некоторые смешанные выражения для влагопроводности

В дополнение к уравнению Козени для влагопроводности, вы­ ражающему ее через пористость и величину частиц, а также к экви­ валентной формуле Фэйра и Хэтча время от времени предлагаются другие формулы подобного типа, в той или иной степени эмпириче­ ские. Сюда относится формула Терцаги [і55]

К^Втд? (/- 0 ,1 3 )7 (1 - /),

где В т— постоянная.

Цункер [183] предложил формулу я= Я *(1М »)/»/(1 -Л *,

где Bz — постоянная, A u f имеют то же значение, что и в урав­ нении Козени, /0 — эффективная, проводящая пористость, т. е. по­ ристость с учетом поправки на прочно связанную воду и воду тупи­ ковых пор.

Среди первых работ по связи гидравлической проводимости с рас­ пределением пор по размерам следует отметить труд Бэвера [7]. Если влажностная характеристика имеет точку перегиба, эту точку

можно принять за рубеж, делящий пористое пространство на две части. Считают, что часть пористости, которая соответствует меньшим сосущим силам, характеризует воду, находящуюся в крупных порах. Эту воду Бэвер условно называет некапиллярной и легко подвижной. Величина сосущей силы в точке перегиба есть общая мера величины пор, так что чем ниже сосущая сила в точке перегиба, тем выше про­ водимость материала. Учитывая оба фактора, Бэвер вводит критерий, равный некапиллярной пористости, деленной на логарифм сосущей силы в точке перегиба влажностной характеристики. Он получил эмпирическую кривую зависимости между этим критерием и гидра­ влической проводимостью для ряда материалов. Позже Нельсон и Бэвер [112] предложили более простой критерий для такой кор­ реляции, а именно объем пор, дренируемый при увеличении сосущей силы от нуля до 40 см вод. ст.

Дальнейшие разработки проведены Смитом, Браунингом и Под­ меной [145]. Вместо того чтобы разделить пористое пространство на две части и пренебречь одной из них, они разделили его на три части и придали каждой из них определенный «вес» при оценке ее вклада в общий критерий пористости. Так, если ту часть пор, которая опустошается при увеличении сосущей силы от нуля до 10 см вод. ст., обозначить /j, пористость, опустошающуюся при даль­ нейшем увеличении сосущей силы до 40 см вод. ст., — / 2, а пори­ стость, дренирующуюся при повышении сосущей силы до 100 см вод. ст., — /g, то критерий в смысле Бэвера представит собой сумму

силой на доминирующую и пренебрежимую части, но ввели фактор времени. Их критерий представляет собой пористость, дрениру­ ющуюся за 1 час при сосущей силе 60 см вод. ст.

10.7. Гистерезис влагопроводности

Влагопроводность материала зависит от степени насыщения, и поскольку влажность связана с сосущей силой, влагопроводность тоже зависит от сосущей силы. В параграфе 8.5 было показано, что зависимость между влажностью и сосущей силой подвержена гисте­ резису, так что при данной сосущей силе влажность может иметь много различных значений в соответствии с историей смен сушки и увлажнения образца. Отсюда следует, что влагопроводность также может иметь много значений при данной сосущей силе и характери­ зуется гистерезисом.

В параграфе 8.6 отмечалось, что указать влажность — еще не зна­ чит однозначно определить, какие поры заполнены водой, поскольку эти поры могут меняться в зависимости от последовательности изме­ нений сосущей силы, приведшей к конечному состоянию. В част­ ности, поры, которые заполнились при прямом увлажнении от боль­ ших сосущих сил до данной влажности и сосущей силы, могут быть

совсем не теми, которые останутся заполненными при сушке от нуле­ вой сосущей силы до той же влажности, хотя доля заполненной пористости может быть одинаковой в обоих случаях. Поэтому следо­ вало ожидать, что кривая, связывающая влагопроводность с влаж­ ностью, будет сама обладать небольшой гистерезисной петлей, что и подтвердилось в неопубликованной работе Коллис-Джорджа, сообщенной автору этой книги, а также в работе Пуловассилиса [129].

10.8.Проводимость для водяного пара

Вненасыщенном пористом материале непрерывное воздушное пространство создает путь для движения водяного пара так же, как непрерывно заполненные водой поры обеспечивают путь для жид­ кости. Сосущая сила, действующая в жидкости, связана с равно­ весным давлением водяного пара уравнением (7.1) (параграф 7.5), поэтому градиент сосущей силы, определяющий величину потока жидкости, определяет также (через градиент давления) скорость движения пара. По существу, как показано Филипом [1191 и в До­ полнении 23, скорость потока влаги в паровой фазе можно выразить

вформе закона Дарси через градиент напора Н в жидкой фазе

В этих выражениях / и с есть соответственно общая и заполненная водой пористость, а0 — масса пара на единицу объема воздуха, находящегося в контакте с водой при нулевой сосущей силе, М — молекулярный вес воды, имеющей плотность р, R — газовая по­ стоянная, Т — абсолютная температура. Поскольку движение пара осуществляется путем молекулярной диффузии в воздухе, оно под­ чиняется закону Фика, согласно которому величина потока пропор­ циональна градиенту концентрации водяного пара в воздухе. Dt — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диф­ фузии водяного пара в воздухе; его можно найти в таблицах. Ко­ эффициент а можно в большинстве случаев принять равным 0,6. Поскольку здесь рассматриваются только ненасыщенные материалы, Н всегда отрицательно и является сосущей силой. В уравнении (10.18) градиент давления играет роль градиента полного потенциала, так как вследствие очень низкой плотности пара гравитационная компонента потенциала пренебрежимо мала.

Потоки водяного пара и жидкости дополняют один другого, по­ скольку оба потока движутся параллельно по рядам пор, запол­ ненных воздухом и влагой соответственно. Следовательно, общая скорость потока ѵ есть сумма гѵар и ѵш, где последняя представляет собой скорость потока жидкости по уравнению (9.8). Таким образом1,