книги из ГПНТБ / Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв

поток. Точно так же, когда градиенты потенциала направлены соответственно по у и z, получаются следующие выражения для закона Дарси:

Это выражение закона Дарси для анизотропных материалов в де­ картовых координатах, требующее девяти уравнений и девяти со­ ставляющих К , может показаться громоздким по сравнению с тремя уравнениями (9.12), отнесенными к главным осям. Однако введение тензорных обозначений приводит к значительному упрощению. Если принять определение диады Ж

К ххіі + K yxji + K zxki +

то, как показано в Дополнении 15, девять уравнений (9.13)- -(9.15)

векторов при умножении получается по правилу скалярных произ­ ведений, т. е. путем перемножения величин векторов на косинус угла между их направлениями. В частности, произведение единич­ ных векторов само равно единице, если векторы лежат в одном на­ правлении (например, і • і, j •j; к-к),та. равно нулю, если векторы взаим­ но перпендикулярны (например, i-j, і-к или любое скалярное про­ изведение пар векторов і, j и к, модули которых различны).

Говорят, что выражение (9.16) есть нонионная форма диады или

в этом случае три главные оси À, (і и ѵ взаимно перпендикулярны, но, согласно Чайлдсу [32], верно и обратное. Уже указывалось, что обычно Ж считают самосопряженным, объяснение этому приведено в Дополнении 16.

Если диада Ж самосопряжена, можно выбрать направление осей х, у и z так, чтобы они совпадали с главными осями %, ц и ѵ, при этом

Подставляя Ж из уравнения (9.19) в уравнение (9.17), получаем:

ѵ = - (Ки и + K ^ J j 4-К „ Щ • [(grad Ф),і -j- (grad Ф)^/ +

что эквивалентно трем уравнениям в составляющих (9.12), за исклю­ чением того, что обозначение К% заменено на К%х и т- п.

9.4. Закон Дарси для ненасыщенных материалов

Эксперимент для подтверждения закона Дарси требует создания различных градиентов потенциала при прочих равных условиях; когда материал ненасыщен, в этом отношении возникают труд­ ности. В главе 8 было показано, что при ненасыщении существует сосущая сила и влажность зависит от ее величины. Если в разных опытах к концам колонки прикладывают различные сосущие силы, чтобы получить различные градиенты потенциала, влажность также меняется и материал, по существу, становится различным.

Обычно предполагают, что для данной влажности закон Дарси справедлив, подкрепляя это допущение следующими доводами. В ненасыщенном материале проводящими каналами являются те поры, которые заполнены водой при сосущей силе, соответствующей данной влажности. Поры, занятые воздухом, непроводящи, поскольку вода вряд ли может пройти через пору, не заняв ее. Следовательно, поры, заполненные воздухом, можно было бы заполнить твердым веществом, например воском, не повлияв на величину потока воды через остальные поры, а пористый материал, обработанный таким образом, можно было бы рассматривать как новый насыщенный материал с теми же гидравлическими свойствами, что и первоначаль­ ный ненасыщенный материал. Теперь его можно использовать в се­ рии опытов на применимость закона Дарси, создавая обычным способом различные положительные разности давления, причем влажность, естественно, будет оставаться постоянной и равной тому значению, которое «зафиксировано» воскованием и которое равно влажности исходного ненасыщенного материала. Вполне разумно допустить, что закон Дарси при этом подтвердится, как и для любого другого насыщенного материала.

Был проведен эксперимент для прямой проверки применимости закона Дарси к ненасыщенному материалу [38]. Авторы пред­ ложили метод, с помощью которого можно было создавать в длинной колонке влагопроводного материала однородные влажность и со­

задавались путем наклона колонки под разными углами к вертикали. Результаты однозначно показали, что величина потока для данной степени насыщения пропорциональна градиенту потенциала, как и в случае насыщенных материалов.

9.5. Вязкое ламинарное течение жидкостей

Прежде чем показать, что закон Дарси есть следствие более общих физических законов течения жидкостей, необходимо определить некоторые понятия. В параграфе 1.4 уже отмечалось, что жидкость не выдерживает малейших сдвиговых напряжений .1 Она течет не­ прерывно. Если представить, что жидкость состоит из множества элементарных тонких слоев, параллельных направлению сдвигового усилия, то течение примет форму непрерывного скольжения слоев друг по другу. Если сдвиговое усилие не слишком велико и не гонит жидкость слишком быстро, элементарные слои остаются как бы вполне определенными и отделенными друг от друга, что можно показать, например, вводя в поток краску. Подобное состояние течения с четкими упорядоченными линиями тока называется лами­ нарным течением, в отличие от состояния турбулентности, которое наступает, когда движущая сила достаточно велика.

Слой жидкости, скользящий по другому слою, оказывает на этот слой воздействие посредством трения. Это воздействие взаимно: более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный, а последний его притормаживает. Подобное трение в жидкостях называется вязкостью. Чем больше относительная скорость, тем больше взаимное вязкостное сопротивление. Конечный эффект при бесконечно большом числе тонких слоев, каждый из которых движется со скоростью, отличной от скорости соседа, проявляется в форме градиента скорости, скажем, в направлении у, под прямым углом к линии движения. В любой данной точке, где градиент скорости dv/dy, вязкостное сдвиговое усилие в плоскости F/A, находящейся под прямым углом к направлению у, равно

9.6. Закон Дарси как следствие основных законов течения жидкости

Читатель уже заметил, что закон Дарси не говорит ничего ни об истинной скорости потока, ни о потенциале в каждой точке жид­ кости, занимающей пористое пространство. Он игнорирует внутрен­

1 По данным советских исследователей, тонкие слои жидкости в пленках и капиллярах обладают сдвиговой прочностью порядка 1 • 10_3 дн/см. См. Б о н д а р е н к о Н. Ф. Влияние межмолекулярных водородных связей на характер течения жидкостей в капиллярах. — ЖФХ, 1968, т. 47, №1. Прим, neрев.

нюю структуру проводящего тела и рассматривает это тело как однородную среду, поток в которой равномерно распределен по се­ чению, включающему как поры, так и твердые частицы как среду с плавным сглаженным распределением потенциала. Величину потока обычно определяют, измеряя ее на входной или выходной поверхности, и считают распределенной по всей площади этой по­ верхности. Потенциал же, измеренный внутри тела, считают по­ казателем потенциала гипотетической эквипотенциальной поверх­ ности, а не потенциалом какой-то определенной точки внутри жид­ кости. Понятно, что изучение истинного распределения потока и потенциала в пористом пространстве явилось бы чрезвычайно слож­ ной задачей. Тем не менее верной то, что наблюдаемые распределения потока и потенциала, с которыми имеет дело закон Дарси, являются следствием истинного точечного распределения потока и потенциала в порах, и если бы было известно последнее, в принципе можно было бы вычислить первое. Из основных физических принципов можно вывести закон Дарси, но нельзя, если не считать идеальных систем, вывести величину гидравлической проводимости.

Уравнения Навье—Стокса, упоминавшиеся в параграфе 9.2, являются системой дифференциальных уравнений, описывающих движение вязкой жидкости в обобщенном неопределенном простран­ стве, которым, в частности, может являться пористое пространство проницаемого тела. Дарсианские опыты с подобным телом ограничи­ ваются измерением потенциалов на входной и выходной плоскостях. Эти потенциалы принимаются за потенциалы указанных поверх­ ностей без учета строения тела. Скорость, с которой вода покидает тело, рассматривается как скорость потока на всей выходной по­ верхности. В Дополнении 17 показано, что пропорциональность между этой скоростью и разностью потенциалов входной и выход­ ной поверхностей, наблюдающаяся при достаточно медленном по­ токе, есть следствие уравнений Навье—Стокса. Эта пропорциональ­ ность является одной из трех черт закона Дарси.

Остальные черты закона Дарси следуют не из уравнений Навье— Стокса, а из характеристик пористого тела. Необходимым условием является достаточно большая величина тела по сравнению с раз­ мерами пор, благодаря чему это тело можно считать однородным и разделить на элементарные объемы, каждый из которых вполне представляет тело в целом и не отличим от другого. Все они нахо­ дятся под действием одной и той же разности потенциалов, так что каждый проводит жидкость со скоростью, не отличимой от скорости любого другого. Общая величина потока пропорциональна, таким образом, числу единичных элементов в общем поперечном сечении, т. е. пропорциональна общей площади поперечного сечения колонки Это вторая часть положений закона Дарси.

Представим далее, что колонка разделена на некоторое число не различимых по своим свойствам единичных элементов длины, так что поток через каждый элемент одинаков и равен величине потока через всю колонку. Поскольку элементы не отличаются друг от друга, каждый из них характеризуется одной и той же

разностью потенциалов на входе и выходе, так как должен обеспечивать одинаковую с другими величину потока, и потому эта разность потенциалов есть просто полное падение потенциала на всей колонке, деленное на число элементов. Таким образом, разность потенциалов между входом и выходом элемента обратно пропорциональна числу единичных элементов, на которые разделена колонка, т. е. обратно пропорциональна длине колонки. В качестве следствия уравнений Навье—Стокса уже отмечалось, что величина потока пропорцио­ нальна разности потенциалов между торцами элемента, так что величина потока через элемент, а следовательно, и через всю ко­ лонку, обратно пропорциональна ее длине; это третье и последнее положение закона Дарси.

D.7. Условия применимости закона Дарси

Вывод закона Дарси из основных законов указывает, что для его применимости должны соблюдаться определенные условия. По­ скольку закон Дарси часто используют некритически, эти условия следует подчеркнуть. Первое условие состоит в том, что пористое тело должно быть достаточно большим по сравнению с размерами микроструктуры, чтобы его можно было считать действительно однородным материалом. Так, при рассмотрении мелиоративных надач приходится иметь дело с движением воды от уровня грунтовых вод к дренам, расстояние между которыми достигает десятков мет­ ров, а глубина 1—2 м. Сечение таких размеров действительно ве­ лико по сравнению даже с самыми крупными структурными едини­ цами природного сложения почвы, и с этой точки зрения закон Дарси здесь вполне применим. В качестве другой крайности можно привести движение влаги к корню растения из непосредственно прилегающей к нему почвы, занимающей объем 1—2 см3. Здесь, если не считать, может быть, тонкозернистого песка, применимость закона Дарси в общем случае находится под вопросом.

Второе условие состоит в том, что скорость потока должна быть достаточно малой. Существует безразмерная комбинация гидро­ динамических характеристик, называемая числом Рейнольдса, по которой можно судить о допустимости применения закона Дарси. Число Рейнольдса Re определяется следующей формулой:

где V — средняя скорость потока, г — характеристическая длина пористого пространства, которую можно принять равной среднему размеру пор, а р и ц — соответственно плотность и вязкость жидко­ сти. Если число Рейнольдса превышает 1000, то, как показывает изучение потока в трубах, возникает турбулентность, а поскольку уравнения Навье—Стокса, на которых основан закон Дарси, при­ менимы только к ламинарному течению, не удивительно, что закон Дарси нарушается. Еще большее ограничение накладывается тре­ бованием малости тех членов уравнения Навье—Стокса, куда вхо­ дит ускорение.

Фенчер, Льюис и Барнс [69] показали, что закон Дарси нельзя применять безоговорочно, когда число Рейнольдса превышает еди­ ницу. К счастью, в природных условиях при движении почвенной влаги число Рейнольдса вряд ли когда-либо превышает единицу, хотя этого нельзя сказать о некоторых случаях, встречающихся

винженерной практике. Например, водонасыщенный грубый песок

спорами порядка 0,1 мм имеет гидравлическую влагопроводность

порядка 1,0 мм/с; той же величине равна скорость движения влаги в нем при вертикальной инфильтрации под действием силы тяжести. Подставив в уравнение (9.22) эти значения г и г? и взяв значения р и т] из таблиц, найдем, что Re = 0,1, т. е. значительно меньше единицы. Это, по-видимому, наиболее неблагоприятные условия из тех, в которых происходит движение грунтовых вод.

9.8. Противоречивая терминология

Если провести опыты, подобные опытам Дарси, с инертным пе­ ском, используя различные жидкости с разными вязкостями ц , мы получим различные значения параметра К , который по условию называется гидравлической проводимостью. Таким образом, гид­ равлическая проводимость зависит от свойств как жидкости, так и пористого тела, а не от какого-то одного из этих факторов. Из подобных опытов можно выяснить, что при прочих равных условиях величина потока обратно пропорциональна вязкости. Поэтому можно

Это соотношение следует также из уравнений Навье—Стокса для стационарного потока, что видно из уравнений (Д17.3), если приравнять нулю члены, включающие производную по времени. В уравнении (9.23) коэффициент К']х\ численно равен К. Изменение ѵ с вязкостью жидкости учитывается теперь благодаря введению ц как отдельной величины, так что из опытов мы должны получить одно и то же значение К', независимо от природы использования жидкости. Таким образом, К ' характеризует свойства данного образца песка и, в частности, геометрию его пор. Поэтому инженеры предлагают называть К' истинной проницаемостью песка, или кратко проницаемостью (permeability). Поскольку было общепри­ нято обозначать этим термином коэффициент К в законе Дарси, возникла некоторая путаница и противоречивость, почему и появи­ лась необходимость принять для К однозначный термин — гидра­ влическая проводимость.

Понятие истинной проницаемости обычно не применяется в поч­ воведении. Почвы никоим образом не инертны в физико-химическом отношении. Было бы крайне рискованно предположить, что можно сменить проникающую текучую субстанцию, не изменив при этом внутреннюю геометрию почвенных пор. Например, если взять вместо воды воздух, почву придется вначале высушить, и высокая сосущая

-сила, возникающая при этом, вызовет усадку коллоидного компо­ нента, а следовательно, и почвы в целом. Пористое пространство изменится, при этом могут возникнуть совершенно новые трещины. Если же вместо воды использовать раствор хлористого натрия, гли­ нистая фракция насытится обменным натрием. Если затем снова заменить хлористый натрий водой для проведения фильтрационных опытов, вытеснив свободный солевой раствор, натриевая глина диспергируется, структура почвы станет непрочной. Геометрия пор опять-таки значительно изменится, что приведет к совершенно иному значению К , если даже в это время величина ц будет почти прежней.

Таким образом, если говорить о почвах, не существует истинной геометрии пор, не зависящей от заполняющей их жидкости, и закон, выражаемый уравнением (9.23), нельзя подтвердить для опытов •с разными жидкостями. В лучшем случае понятие о гидравлической влагопроводности можно было бы ввести с помощью гипотетической жидкости, обладающей единичной вязкостью и не влияющей на си­ стему иначе как через вязкость, однако не вполне понятно, что при этом можно было бы выиграть.

Д О П О Л Н Е Н И Я

Дополнение 12. Суммирование составляющих потенциала.

Когда тело испытывает действие силы F, поскольку находится в некоторой

внешней среде или системе, говорят, что оно находится в силовом поле, и с ним может происходить одно из двух явлений. Если не существует трения, которое нужно преодолевать, тело будет ускоряться до бесконечности. Если же суще- -ствует трение, величина которого зависит от скорости, тело приобретает постоян­ ную скорость, такую, при которой сила F будет в точности компенсировать тре­

ние. Величину силы можно найти либо из рассмотрения динамики, измеряя массу и ускорение тела в первом случае и постоянную скорость во втором, либо прибегнуть к статике, прилагая такую добавочную измеримую механическую силу, которой достаточно, чтобы удерживать тело в покое. Поскольку в этих условиях нет ни ускорения, ни скорости, то независимо от того, существует трение или нет, суммарная сила, действующая на тело, равна нулю. Известно, что сила, обеспечивающая это состояние, должна быть равна по величине и противоположна по направлению той силе поля, которую нужно определить. Пусть сила, приложенная извне, равна Е, тогда

Переместим приведенное в покой тело на расстояние s в направлении дей­ ствия силы Е, сделав это очень медленно. Конечно, при этом необходимо слегка увеличить Е, но если перемещение достаточно медленно и создаваемое ускорение мало, необходимое изменение Е будет ничтожным. Произведение силы Е на пройденное расстояние s называют работой W, совершенной силой Е над телом

в этом процессе, т. е.

Если бы тело двигалось в направлении, противоположном направлению ■силы Е, то работа W была бы совершена телом, или, по-другому, над телом

была бы совершена отрицательная работа.

По определению, при перемещении перпендикулярно к линии действия силы работа не совершается. Если движение происходит под углом Ѳ к напра­ влению действия силы, как на рис. Д12.1, то его можно рассматривать как пере­ мещение на расстояние s cos Ѳ в направлении Е и последующее перемещение на

s sin Ѳперпендикулярно к Е, причем работа будет равна Es cos Ѳ, или же силу

Направления Е жs ъ равной мере влияют на совершенную работу, а в опре­

деление работы направление не входит, поскольку работа есть величина ска­ лярная.

Поскольку сила F, по предположению, связана с окружающей средой, ясно, что любое подобное тело будет также испытывать действие силы F, а конгломерат N таких тел будет испытывать действие силы NF. Поэтому если требуется опи­

сать стремление среды побуждать находящиеся в ней тела к движению, необхо­ димо определить некоторое тело и измерить силу, действующую на него. За та­ кое тело принимают обычно единичное тело, т. е. тело, обладающее единицей

Рис. Д12.1. Работа, совер­ шаемая при перемещении тела на расстояние s, когда сила, испытываемая телом, действует в другом направ­

лении.

Объяснения в тексте.

объема или массы, или веса, или, как в других областях физики, тело, облада­ ющее единичным электрическим или магнитным зарядом. Силу F , которая дей­

ствует на такое тело, называют силой поля в точке, занимаемой телом. О работе, совершаемой над таким единичным телом при его перемещении на расстояние s из А в В (рис. Д12.1), говорят, что она равна величине, на которую потенциал в В превосходит потенциал в А , или, другими словами, разности потенциалов.

На рис. Д12.2 показано единичное тело, на которое действуют различные силы Fj, F 2, F3, . . ., Fr, . . ., Fn, образующие соответственно [углы 0lt

Ѳг, Ѳ3, . . ., Ѳг, . . ., Ѳп с направлением, в котором тело перемещается на рас­ стояние s. Если каждая из сил, скажем Fr, действует сама по себе, ее можно нейтрализовать, приложив равную и противоположную ей силу Ег и переместив затем тело на расстояние s из А в В. Тогда, как в уравнении (Д12.5), разность

потенциалов, связанная только с этой силой, равна

(Фв — ф^ ^ = sEr cos Ѳг= —sFr cos Ѳг.

Алгебраическая сумма всех составляющих разности потенциалов, связан­ ной с действием всех сил, взятых по отдельности, равна

(ф в ” ф а )і+ (ф в — ф д)2+- •-+ (ф в— ф а )п =

Когда все эти силы действуют одновременно, их можно заменить равнодей­ ствующей F д, т. е. единой силой, эквивалентной всем им, а разность потенциалов

Рис. Д12.2. Алге­ браическое сложе­ ние элементарных работ, связанных с компонентами силы, действую­ щими в различ­ ных направле­ ниях.

Объяснения в тексте.

складываются по обычным правилам алгебры; следовательно, алгебраическая сумма составляющих нескольких сил Fn в любом данном направлении, например s, должна равняться компоненте равнодействующей силы F R в том же направле­

нии, поскольку в ином случае равнодействующая не могла бы быть полным эквивалентом суммы отдельных составляющих. Итак,

Учитывая уравнения (Д12.7) и (Д12.8), видим, что правые части уравнений (Д12.6) и (Д12.7) идентичны, следовательно, равны и левые их части, а потому

(ф в ~ ф а )і + ( ф в - ф а)2+ - ■• + (фВ - ф А )„ = (фв - ф А)в. (Д12.9)

Таким образом, полная разность потенциалов, связанная с одновременным действием нескольких полевых сил, есть алгебраическая сумма разностей по­

тенциалов, связанных с индивидуальными силами, действующими по отдель­ ности.

Дополнение 13. Эквивалентность напряженности поля и градиента потенциала.

На рис. Д13.1 показаны сила F поля, действующая на единичное количе­

ство почвенной влаги, и несколько направлений, в которых можно сместить эту единицу на расстояние s, чтобы вычислить разность потенциалов между концами пройденного отрезка. Пусть сила образует угол Ѳ с осью х, а пройденный путь —

угол і|). Тогда, по уравнению (Д12.5),

Когда s направлено так же, как F, т. е. г|) и Ѳ равны, разность потенциалов

составляет

Рис. Д13.1. Эквивалент­ ность напряженности поля и градиента потен­ циала.

Объяснения в тексте.

Если т|5 возрастает, член с косинусом уменьшается и становится равным нулю, когда г|) превосходит Ѳна 90°, тогда разность потенциалов между В а А

также становится равной нулю. При дальнейшем возрастании ^ косинус ста­ новится все большей отрицательной величиной, пока і|) не превзойдет Ѳ на 180° и направление s не станет противоположным направлению F. Тогда

( Ф В Ф а ) ѳ-Ы 80° — F s >

или

Комбинация определения направления наиболее резкого возрастания потен­ циала с определением скорости этого возрастания (Фв — ФА)Ь служит опреде­

лением градиента потенциала, величины векторной, поскольку направление является существенной частью его характеристики. Направление градиента потенциала есть, очевидно, направление Ѳ, то же, что и направление силы поля F, поскольку в этом направлении максимизируется разность потенциалов.

Следовательно, величина градиента равна (Фв — ФA)/s. Поэтому из уравнения (Д13.2)

Отрицательный знак указывает, что направление силы поля противоположно направлению возрастания потенциала. Тот же результат следует, конечно, из