книги из ГПНТБ / Цейтлин Г.М. Аэродинамика и динамика полета самолета с ТРД учебник

подставим в последнее уравнение соотношение (1.13). Тогда после элементарных преобразований получим

для разгона воздуха необходимо расширение струйки, при сужении

рости и площади сечения струйки лежит выявленная ранее физи­

§ 1.8. Уравнение Бернулли

Как известно из курсов физики и термодинамики, энергия Е массы воздуха т, движущейся со скоростью V на высоте Я при температуре Т, давлении р и плотности р, складывается из энталь­ пии (теплосодержания) тсрТ, кинетической энергии ~2~ и потен­ циальной энергии сил веса mgH:

Е = mcpT + ~ - + mgH [ Д ж ] .

Если считать, что теплообмена между струйками нет, т. е. обес­ печивается адиабатность процесса, и если, кроме того, воздух не выполняет никакой внешней работы, то на основании закона сохра­ нения энергии можно утверждать, что полный запас энергии любой

20

заданной массы воздуха во всех сечениях одной и той же струйки одинаков:

mV mVi

mcpTn + + mgHn Е [Дж] — const.

При обтекании частей самолета высота И расположения сече­ ний струйки над горизонтальной плоскостью 0—0, принятой за на­ чало отсчета (рис. 1.9), изменяется мало, а удельный вес воздуха невелик. Поэтому изменениями потенциальной энергии сил веса (в сравнении с изменениями других видов энергии) можно пре-

Рис. 1.9. Изменения высоты центров сечений струйки около крыла

небречь. Кроме того, все члены записанного выше уравнения ба­ ланса энергии можно разделить на массу т . В результате полу­ чаем уравнение Бернулли:

ляются препятствием для применения уравнения Бернулли, так как

Энтальпия газа складывается из тепловой, или внутренней, энер­ гии cvT (для 1 кг) и энергии сил давления — = RT:

При решении практических задач вместо температуры воздуха могут быть заданы (или требуется определить) давление и плот-

21

При выводе уравнения (1.19) сечения f\ и /2 были взяты совер­ шенно произвольно. Поэтому полученный результат можно распро­ странять и на любые другие сечения струйки:

Pi + <7i = Pi + Чч = - • • — Рп + qn = c o n s t -

Закономерность, выражаемую этим уравнением, обычно форму­ лируют так: в н е с ж и м а е м о м п о т о к е с у м м а с т а т и ­ ч е с к о г о д а в л е н и я и с к о р о с т н о г о н а п о р а в о в с е х с е ч е н и я х о д н о й и т о й ж е с т р у й к и о д и н а к о в а .

Напомним, что полный запас энергии давления некоторой массы

ления единицы объема газа. Скоростной напор выражает кинетическую энергию единицы объема газа:q =—^~ — ~2~- Таков энер­ гетический смысл членов уравнения Бернулли без учета сжимае­ мости воздуха.

§ 1.9. Зависимость параметров состояния воздуха от скорости его движения

где поддерживаются постоянные значения параметров То, ро, ро при

Го, соответствующую нулевой скорости при данном запасе энергии

23

воздуха, называют температурой адиабатно заторможенного пото­ ка или просто температурой торможения.

По мере разгона воздуха потенциальная энергия постепенно переходит в кинетическую. Так как ее общий запас при этом не

меняется \срТ - f ~ const), то увеличение скорости сопро­

вождается понижением температуры. Подобное явление можно наблюдать, например, при заправке самолетной воздушной си­ стемы сжатым воздухом: вентиль баллона даже в жаркую погоду часто покрывается инеем. Это объясняется именно тем, что нахо­ дившийся в баллоне воздух, проходя через небольшое отверстие вентиля, разгоняется до значительной скорости.

В общем случае, в произвольном сечении струйки, соотношение

стной скорости звука. Обе эти численно равные физические величи­

условии полного перевода всей потенциальной энергии в кинетиче­

небольшой дозвуковой или большой сверхзвуковой скорости полета воздушные струйки могут не иметь и критического сечения /К р, в ко­ тором осуществлялся бы переход через скорость звука. Независимо от этого параметры Го, а к р и Уп р е д имеют большое практическое зна­ чение, поскольку, как видно ^из уравнения (1.20), каждый из них однозначно определяет полный запас энергии единицы массы воз-

24

духа в данном потоке. Между этими параметрами существует по­ стоянное соотношение

Лж

Для воздуха при £ = 1,4 и с р « 1 0 0 0 кг-град

V % „ = 6a£p «20007-0.

Зависимость температуры воздуха от скорости его движения очевидна из уравнения (1.20). Ее принято записывать в относитель­ ных параметрах

Для того чтобы определить температуру торможения, достаточ­ но знать скорость и температуру в каком-либо одном сечении струйки-: В реальных задачах, связанных с обтеканием частей само­ лета, как правило, известны значения V<x> и Тж невозмущенного по­ тока. Тогда из формулы (1.22-1):

несколько примеров. Так, в стандартных условиях на уровне моря

Если в струйке выполняется не только общее условие адиабатности (отсутствие теплообмена с окружающей средой), но и усло­ вие изоэнтропности (отсутствие внутреннего подвода тепла, свя-

25

заНного с трением и резкими изменениями Параметров), то можно воспользоваться уравнением идеальной адиабаты и перейти от от-

Т

носительной температуры -jr- к относительным значениям давления и плотности:

* - ( £ Г-['-(-£ г)'Л

ностью идеально заторможенного потока. Их значения можно оп­

26

поверхность называют конической звуковой волной, а половинный угол [j. при вершине конуса — углом слабых возмущений.

Как видно из треугольника АОВ (рис. 1.12):

Наблюдатель, находящийся на земле, слышит звук летящего со сверхзвуковой скоростью самолета, когда тот уже пролетел над ним и визируется под углом \\ к горизонту.

§1.11. Ударная волна

Вотличие от звуковых волн, возникающих при слабых (теорети­ чески — бесконечно слабых) изменениях давления и плотности, ударные волны образуются в тех случаях, когда в какой-нибудь части воздушного пространства давление и плотность повышаются на конечные величины.

Вобщем курсе физики волновые явления обычно рассматрива­ ются как процессы распространения в среде колебаний каких-либо параметров, характеризующих состояние этой среды. Естественно, что такой подход применим и к исследованию ударных волн. Так, если в какой-нибудь точке О произойдет однократное уплотнение воздуха (рис. 1.13), то в силу упругости воздушной среды во все стороны от этой точки (в частности, вдоль оси Ох) будут распро­ страняться колебания плотности, т. е. первоначально побежит вол­ на, состоящая из «гребня», на котором плотность повышена, и «впа­ дины», в которой воздух расширен (верхний график).

Поскольку сжатие воздуха сопровождается повышением темпе­ ратуры, то слой, через который в данное мгновение проходит «гре­ бень» волны, будет нагрет относительно остальной воздушной мас­ сы; скорости хаотического движения молекул здесь повышаются, импульсы от молекулы к молекуле передаются быстрее, соответст­ венно увеличивается и скорость распространения возмущений плотности. Другими словами, «гребень» волны перемещается бы­ стрее, чем остальные ее участки. В результате передний скат вол­ ны быстро деформируется и через некоторое малое время преоб­ разуется в отвесный фронт (нижний график). Наоборот, слой, че­ рез который проходит «впадина», охлаждается и скорость его дви­ жения падает. Поэтому «впадина» постепенно отстает от фронта волны и сглаживается.

В аэродинамических явлениях ударные волны образуются не за счет однократных или периодически повторяющихся повышений давления и плотности воздуха. При полете самолета около лобо­ вых участков поверхности его частей происходит непрерывное тор­ можение воздушного потока и здесь непрерывно поддерживаются

28

повышенные (относительно невозмущенного потока) значения ука­ занных параметров. От этих участков поверхности распространя­ ются не дискретные ударные волны, а непрерывная последователь­ ность таких волн.

Пусть фронт ударной волны, перемещаясь со скоростью W спра­ ва налево (рис. 1.14), в некоторое мгновение занимает положение/, а через малое время dt— положение //. Выберем на поверхности/ небольшую площадку S и рассмотрим процессы, происходящие в соответствующем этой площадке объеме dv = SWdt во время про­ хождения волны. Здесь и далее все параметры потока непосредст­ венно перед фронтом волны будем отмечать индексом «1», а непо­ средственно за ним — индексом «2».

up

х

Под действием разности этих сил за время dt указанная масса по­

29