книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

значениями тока и напряжения на индуктивности и только в том случае, если ток и напряжение являются синусоидальными функ­

Таким образом, энергия, запа­ саемая индуктивностью, также из­ меняется периодически с течением времени, однако с удвоенной ча­ стотой по сравнению с частотой

тока (рис. 3.13). Мгновенное зна­ Рис. 3.13 чение энергии не может быть отри­

цательным, так как индуктивность может обладать запасом энергии или не обладать им независимо от направления магнитного поля. Ось симметрии кривой энергии под-

нята над осью абсцисс на величину Ll'L . Энергия магнитного поля

равна нулю в тот момент, когда і — О, и максимальна в тот момент,

когда і = Іт.

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, или ско­ рость изменения энергии магнитного поля, создаваемого этой индук­ тивностью,

где U — напряжение на индуктивность. Таким образом, мгновенная мощность представляет собой синусоиду с частотой, удвоенной по сравнению с частотой тока (см. рис. 3.13). Среднее значение мощ­ ности, поступающей в индуктивность за период, равно нулю (Р = 0). В течение четверти периода возрастания тока от нуля до Іт индук­ тивность запасает энергию, забирая ее у источника питания. Мощ­ ность, поступающая в катушку в течение всего этого промежутка времени, положительна. За время спадания тока, т. е. в течение

80

следующей четверти периода, энергия магнитного поля индуктив­ ности уменьшается до нуля. Мощность в течение этого промежутка

значений мощности и осью абсцисс, представляет собой энергию, поступающую в индуктивность, а площадь, ограниченная огибаю­ щей отрицательных значений мощности и осью абсцисс, — энергию, возвращаемую индуктивностью источнику за четверть периода из­ менения тока через индуктивность.

Например, заштрихованная на рис. 3.13 площадь кривой мощ­ ности, с учетом знаков положительных и отрицательных участков,

изменяющееся во времени по закону синуса, то в цепи емкости ус­

ток в ней также синусоидален. При этом ток опережает по фазе напряжение на емкости на четверть периода или на угол я/2.

Временная и векторная диаграммы напряжения и тока в емкости приведены на рис. 3.15.

Амплитуда тока в емкости и амплитуда напряжения на емкости оказались связанными между собой соотношением, подобным закону

81

6. Энергия и мощность, поступающие в емкость. При изменении напряжения между обкладками конденсатора изменяется и элект­ рическое поле в его диэлектрике.

Энергия электрического поля конденсатора в любой момент времени определяется выражением wb = си2/2. И если

Таким образом, энергия, запасаемая емкостью, также изменя­ ется с течением времени, однако с частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения или тока. Ось симметрии кривой энергии электрического поля емкости поднята над осью абсцисс на величину CUmIA. Мгновенное значение энергии электрического поля равно нулю в тот момент, когда напряжение на емкости равно нулю, и до­ стигает наибольшего значения, когда напряжение на емкости дости­ гает амплитудного значения.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, определяется так же, как и в случае индуктивности. Пусть напряжение задано

Кривые изменения энергии электрического поля емкости и мгно­ венной мощности, поступающей в емкость, подобны кривым рис. 3.13, если обозначения кривых напряжения и тока поменять местами. Это подобие кривых вытекает из принципа дуальности (см. § 3.8).

По поводу кривых w3 и р можно повторить то, что уже говорилось о связи между кривыми энергии и мгновенной мощности. Когда запас энергии электрического поля емкости увеличивается, мгно­ венная мощность положительна. Когда запас энергии электриче­ ского поля емкости убывает, т. е. когда емкость возвращает энергию источнику, мгновенная мощность отрицательна. Средняя мощность,

1. Временная и векторная диаграммы. Треугольники напряже­ ний и сопротивлений. После исследования цепи, содержащей только активное сопротивление, или индуктивность, или емкость, рассмот-

83

и— мгновенное значение приложенного к цепи на­ пряжения.

Для получения кривой приложенного ко всей цепи напряжения следовало бы для каждого момента времени сложить ординаты кривых и а , UL И UQ. Кривая, ординаты которой в любой момент

84

на индуктивности и емкости при их последовательном соединении

напряжения, мгновенные значения напряжений на отдельных по­ следовательно соединенных участках цепи должны быть сложены алгебраически. Для получения амплитуды приложенного напряже­ ния амплитудные значения напряжений на этих участках необхо­ димо сложить геометрически. Необходимость геометрического сло­ жения амплитудных значений напряжений на отдельных участках цепи обусловлена тем, что напряжения на различных участках при одном и том же токе в них достигают амплитудных значений разно­ временно. Сдвиг во времени между синусоидально изменяющимися величинами соответствует повороту векторов, отображающих эти синусоидально изменяющиеся величины, на векторной диаграмме одного относительно другого на углы, равные разностям фаз между отображаемыми ими синусоидами.

Построим векторную диаграмму для цепи, содержащей в после­ довательном соединении г, L и С, откладывая в виде векторов ампли­ тудные значения тока и напряжений. Последовательное соединение характеризуется одним и тем же током в приемниках, поэтому

85

построение начнем с вектора тока, общего для всех приемников. Отложим из произвольной точки вектор, равный в масштабе тока амплитудному значению.тока в цепи (рис. 3.19). Начальную фазу

положительном направлении производится против движения часо­ вой стрелки, так как за положительное направление вращения век­ торов принято направление, противоположное направлению вра­

86

вектор, изображающий амплитуду приложенного к цепи напряже­

ния из векторной диаграммы вспомогательных построений векторы Ulm и Ucm можно строить не из начала координат, а из конца вектора Uam, как показано на топографической диаграмме рис. 3.20. Топографическими векторными диаграммами называют такие, в ко­ торых расположение векторов напряжений на элементах цепи соответствует расположению самих элементов цепи в схеме. При

Разделив все стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений (рис. 3.21). Катетами треугольника сопротивлений являются активное г и реактивное х сопротивления цепи, а гипотенузой — полное сопротивление цепи z. Стороны тре­ угольника сопротивлений не являются векторами, однако обозна­ чаем их со стрелками, указывающими положительные направления напряжений на этих сопротивлениях.

Из треугольника сопротивлений следуют соотношения, позво­ ляющие определить угол сдвига фаз q> между напряжением, прило­ женным к цепи, и током в цепи:

' ab—L

87

только от соотношения между сопротивлениями отдельных эле­

Независимо от величин coL и 1/соС под реактивным сопротив­ лением X условились понимать разность между индуктивным и емкоствым сопротивлениями:

Поэтому, когда XL > *с, положительны х и ф , цепь носит индук­ тивный характер, т. е. обладает индуктивной реакцией. При этом ток отстает по фазе от приложенного напряжения. Если же Хі <С Хс, то реактивное сопротивление цепи х и угол ср отрицательны, характер цепи емкостный, т. е. цепь обладает емкостной реакцией. В такой цепи ток опережает по фазе напряжение, приложенное ко всей цепи.

Следует подчеркнуть, что активное сопротивление г, индуктив­ ное сопротивление х і и емкостное Хс — величины положительные. Реактивное же сопротивление х может быть и положительным, и от­ рицательным. Например, реактивное сопротивление ветви, содер­ жащей только конденсатор, отрицательно: х = — Хс-

Из условия X = xL — Хс вытекает, что если уравнение напря­ жения написано в виде

то в любом конкретном случае последовательной цепи вместо ср следует подставлять фазовый угол со своим знаком. Так, для цепи

(рис. 3.23), напряжение, приложенное ко всей цепи, опережает ток по фазе. Следовательно,

Ср>0 И Х = Х1 + Х2 + Х3-=Хй — XC2 + XL3>0.

Знак фазового угла между напряжением и током можно опре­ делить, если его отсчитывать от вектора тока. В случае индуктив-

88

ной нагрузки, когда вектор напряжения опережает вектор тока, этот угол отсчитывается в направлении отсчета положительных углов, т. е. против движения часовой стрелки. При емкостной на­

когда емкостью обмотки можно пренебречь, может быть представ­ лена в виде индуктивности и активного сопротивления, соединенных последовательно. Отношение индуктивного сопротивления катушки к ее активному сопротивлению aL/r называется добротностью ка­ тушки

Как видно из формулы, добротность катушки зависит, от частоты. С увеличением частоты добротность катушки возрастает. Однако возрастание добротности с переходом частоты в область высоких частот становится незначительным из-за роста эквивалентного актив­ ного сопротивления катушки.

Схема замещения реального конденсатора обычно представляет собой емкость и активное сопротивление, соединенные параллельно. В такой схеме замещения добротность конденсатора

Qc = {- = ra>C.

хс

§ 3.6. Мощность переменного тока

Пусть к линейной электрической цепи (пассивному двухполюс­ нику) приложено напряжение и = Ѵт sin (at + ф) и ток в цепи t = I m sin сот;. Мгновенная мощность или скорость поступления электромагнитной энергии в цепь в любой момент времени равна произведению мгновенных значений напряжения и тока на входе цепи:

р = ш = UmIm sin at sin (at + ф).

После преобразования произведения синусов мгновенная мощ­ ность

89