книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

На рис. 3.3 начальная фаза магнитного потока равна я/2, а на­ чальная фаза э. д. с. равна нулю. Уравнение магнитного потока

Ф.е

Рис. 3.3

и э. д. с. в этом случае должны быть записаны в следующем виде:

Ф = Ф„ sin ! со/-4- -я-!

е = Ет sin ю/.

Если за начало отсчета времени выбрать момент, отмеченный на рис. 3.3 точкой tu то предыдущие уравнения примут несколько другой вид:

Следует отметить, что изображение генератора на схеме не обя­ зательно. В качестве условного источника питания можно пользо­ ваться изображением двух зажимов генератора, находящегося за пределами рисунка. Если в качестве генератора предполагается генератор напряжения, то подключенная к зажимам цепь нахо­ дится под напряжением

и = Umsir) (и/4 - а) .

70

Если в качестве генератора предполагается генератор тока, то ток в цепи, подключенной к этим зажимам, будет изменяться согласно уравнению

/ = 7msin(co/ + ß).

Начальные фазы напряжения или тока зависят от выбора начала отсчета времени. Если этот выбор не имеет принципиального значе­ ния, то начальную фазу а или ß можно считать равной нулю.

Изображение мгновенных значений синусоидальных функций времени с помощью кривых дает наглядное представление об ампли­ тудах синусоид, их начальных фазах и разностях фаз между ними. Однако при расчетах электрических цепей необходимо производить простые математические операции над этими функциями.

Можно убедиться в том, что даже сложение двух синусоидальных функций графическим путем с помощью изображающих их сину­ соид или аналитическим путем с помощью уравнений этих кри­ вых, операция достаточно громоздкая. Например, требуется опре­ делить суммарную э. д. с. двух генераторов, включенных последо­ вательно. Напряжения генераторов заданы уравнениями:

в определении формы результирующей функции, ее максимального значения и начальной фазы. Суммарное напряжение обоих генера­ торов

Таким образом, сумма двух синусоидальных функций одинако­ вой частоты есть синусоидальная функция той же частоты. Началь­ ная фаза этой синусоиды

71

Расчет упростится и операция сложения получит большую наглядность, если воспользоваться изображением синусоидальных функций с помощью векторов, т. е. так называемой векторной диаграммой.

Из произвольной точки, принятой за начало полярной системы координат, начертим вектор, длина которого в некотором масштабе равна амплитуде Ат синусоидальной функции. Пусть этот вектор вращается с угловой скоростью со против движения часовой стрелки вокруг начала координат (рис. 3.4). Предполагаем, что в момент начала отсчета вектор был расположен под углом a к горизонталь­ ной оси. Тогда при вращении вектора его проекция на вертикальную

напряжений и э. д. с , т. е. с помощью так называемой временной диа­ граммы, можно строить векторы, равные амплитудам этих токов, на­ пряжений и э. д. с , и располагать их таким образом, чтобы проекции векторов на вертикальную ось были равны мгновенным значениям отображаемых ими синусоидальных величин в момент начала отсчета. На рис. 3.4 представлен график синусоидальной функции (времен­ ная диаграмма) и вектор, отображающий эту функцию, равный ее амплитуде. Вектор направлен так, что проекция его на вертикальную ось равна мгновенному значению функции в момент начала отсчета времени.

На рис. 3.5, а представлена векторная диаграмма магнитного потока, пронизывающего вращающуюся рамку, и э. д. с , индукти­ руемой в рамке. Векторные диаграммы соответствуют временной диаграмме рис. 3.3. Положение векторов на рис. 3.5, а совпадает с началом отсчета времени, выбранным на рис. 3.3. Если за начало отсчета времени принять момент t1 на временной диаграмме, то поло­ жение векторов Фт и Ет будет соответствовать векторной диаграмме рис. 3.5, б.

Векторную диаграмму можно представить себе вращающейся про­ тив движения часовой стрелки с угловой скоростью со. Если момент

72

наблюдения вращающихся векторов принять за начало отсчета, то углы, составляемые векторами с осью абсцисс, будут представлять начальные фазы отображаемых синусоидальных функций времени. Начальные фазы могут быть положительными и отрицательными. Для определения мгновенного значения синусоидальной функции в тот или иной момент времени достаточно найти проекцию соот­ ветствующим образом расположенного в этот момент времени век­

которых указывает на направление действия данной физической величины (например, силы, напряженности поля и т. п.), а условные вращающиеся векторы, направление которых в тот или иной момент

синусоиде, причем ее мгновенные значения должны равняться алгебраической сумме мгновенных значений напряжений обоих генераторов. Так как мгновенные значения определяются проекци­ ями вращающихся векторов на неподвижную ось, а проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций слагае­

73

же неподвижную ось равны мгновенным значениям суммарного

ченное ранее более сложным путем. Начальная фаза у может быть также определена из рисунка. Таким образом, сложение двух (или нескольких) синусоидальных функций (токов, э. д. с , напряжений и т. п.) может быть осуществлено путем геометрического сложения отображающих их векторов. Вектор, равный геометрической сумме отображающих векторов, будет отображать суммарную синусои­ дальную функцию. Его проекция на выбранную неподвижную ось будет представлять собой синусоидальную функцию, равную алге­ браической сумме складываемых синусоидальных функций.

§ 3.3. Действующее значение переменного тока

При измерении постоянных токов значения токов формально сравнивались между собой по количеству переносимого ими элек­ тричества за один и тот же промежуток времени.

Сравнивать переменные токи между собой по количеству пере­ носимого ими электричества невозможно, так как направления токов

так как понятие «амплитуда» при несинусоидальном токе теряет смысл. В этом легко убедиться, рассмотрев рис. 3.1, на котором приве­ дена кривая периодического переменного тока произвольной формы.

В качестве количественной характеристики переменного тока выбрана величина, не зависящая ни от направления тока, ни от изменений этого направления. Такой величиной является действую­ щее значение переменного тока. Как будет доказано, работа, со­ вершаемая переменным током независимо от формы тока, определя­ ется действующим значением тока.

74

Действующим значением переменного тока называется среднее квадратичное значение из всех его мгновенных значений за период:

на значение всего выражения. Поэтому действующие значения пере­

Отметим, что интеграл, вычисленный в пределах целого периода любой тригонометрической функции, равен нулю.

Таким же путем можно показать, что и действующее значение синусоидального напряжения, определяемое как среднее квадра­ тичное из всех его мгновенных значений за период

в корень из двух меньше его амплитудного значения U = UJ У2 =

=0,707с/г а .

Условимся при описании явлений в электрических цепях при

переменных токах под термином «напряжение» понимать действую­ щее значение напряжения, а под термином «ток» — действующее значение тока.

Используемые при обычных измерениях переменных токов щи­ товые и лабораторные вольтметры и амперметры измеряют действую­ щие значения напряжений и токов. Электронные вольтметры обычно также проградуированы на действующие значения напряжений.

§ 3.4. Синусоидальный ток в цепи с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью

При постоянном токе только резисторы влияют на распределение токов в электрических цепях с заданным распределением источни­ ков. При переменном токе, особенно в устройствах связи, основную

75

роль в распределении токов и создании определенных режимов ра­

гвенных значений переменных токов спра-

и напряжения на приемнике одинаковыми. Согласно закону Ома ток в активном сопротивлении в любой момент времени равен напря­

где I m = Vf-.

Следовательно, при синусоидальном напряжении на активном

щие значения изображаемых токов и напряжений. Разница только в масштабах векторов. Однако при переходе от векторной к времен­ ной диаграмме векторы тока и напряжения должны отображать амплитудные значения этих величин.

76

Из полученных уравнений для тока в активном сопротивлении видно, что для цепи, содержащей активное сопротивление, справед­ лив закон Ома и для мгновенных, и для амплитудных (а следова­ тельно, и для действующих) значений напряжения и тока:

2. Мощность, поглощаемая активным сопротивлением. Мгно­ венная мощность, поглощаемая активным сопротивлением, равна произведению мгновенных значений напряжения на сопротивлении и тока в нем:

p = Ui= Vm Sin (ùtlm s i n = MjrJm. ^ _ C Q S 2cû/) =

= t//(l - cos2co/) [er].

Полученное выражение мощности состоит из двух слагаемых: постоянного VI и переменного — VI cos 2ю/. Переменное слагаемое

Рис З.Ю

является синусоидальной функцией времени с частотой, удвоенной по сравнению с частотой тока или напряжения. Благодаря постоян­ ному слагаемому VI, ось симметрии этой синусоиды поднята над осью времени на высоту VI (рис. ЗЛО). Поэтому мгновенная мощ­ ность, поглощаемая активным сопротивлением, не может иметь

В активном сопротивлении никаких накоплений электромагнит­ ной энергии не происходит, и энергия, поступающая в активное сопротивление, обратно в цепь не возвращается. Поэтому в широком смысле активным сопротивлением следует считать не только резис­ тор, а любой двухполюсник, поглощающий электромагнитную энер­ гию. Электрический двигатель переменного тока представляет собой активное сопротивление, так как энергия, поступающая в двигатель,

77

необратимо преобразуется в механическую энергию. Передающая антенна также обладает активным сопротивлением, так как значи-

цтельная часть энергии, поступающей в антен-

^ну из цепи, излучается в окружающее прост­

мощности, поглощаемой двухполюсником, к квадрату действующего значения тока в нем:

3. Синусоидальный ток в индуктивности. В гл. I получено выражение, связывающее мгновенное значение напряжения на индуктивности с мгновенным значением тока в ней. Это выражение имело вид:

j di

Таким образом, при синусоидальном токе через индуктивность напряжение на ней также синусоидально. Напряжение на индук­ тивности опережает ток по фазе на четверть периода или на угол у .

На основании соотношения (1.6) можно утверждать, что в том случае, если к индуктивности приложено синусоидальное напряже­ ние и — Uт sin со/, через индуктивность установится ток, также изменяющийся по закону синуса

При этом ток будет отставать по фазе от приложенного напряже­ ния на четверть периода или на угол ~ . Э. д. с , возникающая в ин­ дуктивности, будет отставать по фазе от тока на четверть периода, если за положительное направление э. д. с. принято положитель­ ное направление тока:

eL=> — L~j- = — (йЫт cos со/ = а>Ыт sin (at — у

78

Векторная и временная диаграммы напряжения, тока и э. д. с. самоиндукции изображены на рис. 3.12. Напомним, что в активном сопротивлении напряжение на сопротивлении и ток совпадают по фазе. Напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на четверть периода. Это различие объясняется тем, что мгновенное зна­ чение напряжения и = іг наактивном сопротивлении зависит от мгновенного значения тока в тот же момент времени, а мгновенное

величиной тока в тот же момент, а скоростью его изменения. Ско­ рость же изменения синусоидальной функции времени представляет собой косинусоидальную функцию.

uL'l'eL

Em Um

'm

Рис. 3.12

Если ток через индуктивность изменяется по закону синуса, амплитуда напряжения на индуктивности оказывается пропорцио­ нальной амплитуде тока и связь между амплитудными значениями тока и напряжения (но не между мгновенными значениями) опре­ деляется соотношением, подобным закону Ома и называемого для

имеет размерность сопротивления, измеряется в омах и обознача­ ется xL:

Индуктивное сопротивление xL принципиально отличается от активного сопротивления. В то время как активное сопротивление с точки зрения простейших представлений может рассматриваться как тормозящее действие ионной кристаллической решетки ме­ талла на движущиеся вдоль проводника свободные электроны, индуктивное сопротивление есть только количественная замена влияния э. д. с. самоиндукции на ток в цепи при синусоидальном напряжении.

Введение понятия «индуктивное сопротивление» возможно при определении соотношений между амплитудными и действующими

79