книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Здесь Еп, £ 2 2 . £ 3 3 и Еи — алгебраические суммы э. д. с , дей­ ствующих в соответствующих контурах.

Таким образом, для расчета контурных токов в сложной цепи необязательно предварительное составление уравнений по второму закону Кирхгофа. Можно воспользоваться готовыми выражениями контурных токов.

Выбор контуров относительно произволен. Однако контуры долж­

тур abcdpfgha, а остальные три контура остались прежними. При первом варианте выбора контуров (см. рис. 2.13)

в расчет электрических цепей позволило исключить из системы урав­ нений Кирхгофа все уравнения, составленные по первому закону, и сохранить уравнения только для контуров.

Этот метод сокращения числа уравнений особенно выгоден при расчете цепей с большим числом узлов и относительно малым числом

предпочтительнее пользоваться для расчета токов в сложной цепи методом узловых напряжений. Этот метод позволяет сохранить

50

только те уравнения Кирхгофа, которые составлены для узлов,

иисключить уравнения для контуров.

Вкачестве вспомогательных неизвестных при расчете цепей методом узловых напряжений вводятся потенциалы узлов цепи от­ носительно одного из них — опорного узла. Потенциал опорного

узла фо считаем равным нулю (<р0 = 0). Потенциалы (или напряже­ ния) остальных узлов относи­

то будем различать их с помощью штрихов: (ГІІУ І"п, g'u/glt, Е'п, Е'{.2). Уравнения для токов в ветвях будем писать на основании обоб­ щенной формулы закона Ома (2.2). Выбранные положительные на­ правления токов указаны на рисунке стрелками. Составление урав­

В этих уравнениях знаки э. д. с. при неизвестных их направле­ ниях расставлены произвольно. Знак э. д. с. не зависит от направ­ ления тока, а определяется только ориентацией источника относи­ тельно узлов той же ветви.

51

Обозначим сумму проводимостей всех ветвей, сходящихся в узле л, через gnn, а сумму проводимостей всех ветвей, непосредственно связывающих узлы пик, — через —gn k или —gk n . Знак «минус» перед gnk поставлен для придания единообразия слагаемым уравне­ ний. Например,

gii = gio + glu + g'îô + gn + g'n + • • •. gi3 = — (g'u + gu + gu)-

Сумма произведений э. д. с , действующих в ветвях, на прово­ димости этих ветвей представляет собой сумму токов короткого за­ мыкания ветвей, т. е. токов, которые протекали бы в этих ветвях, если бы узлы, связанные соответствующей ветвью, замкнуть нако­ ротко. Обозначим эти токи через Y^J с индексом соответствующего узла. Таким образом, всю сумму в правой части равенства (2.8), составленную для ветвей, сходящихся в узле я, обозначим через

Отдельные слагаемые этой суммы следует писать со знаком плюс, если э. д. с. в соответствующей ветви направлена в сторону узла п (последнее правило мы установили, проделав вне страниц данной книги все операции вывода конечных уравнений для произ­ вольной схемы).

Напишем уравнения для узловых потенциалов схемы, содержа­ щей, например, пять узлов. Потенциал опорного узла ф0 — 0. Для остальных узлов

Ф І £ З І + Ф 2 # 3 2 + Ф З & 3 3 + Ф І £ З 4 = = І ! З Л Ф і £ й + Ф2 £ 4 2 + Фз£4 3 + Ф 4 # 4 4 = Ü 4 I -

Решаем уравнения с помощью определителей, например, отно­

Здесь gnn — всегда положительны, gnk — всегда отрицательны. Таким образом, для определения потенциалов узлов предвари­ тельное составление уравнений не обязательно. Определив потен­ циалы узлов, можной найти с помощью обобщенной формулы за­

кона Ома (2.2) токи в ветвях.

Интересно отметить, что, например, для расчета цепи, граф кото­ рой изображен на рис. 2.10, с помощью уравнений Кирхгофа для токов ветвей понадобится 20 уравнений. Для расчета той же цепи

52

методом контурных токов — 9 уравнений и методом узловых напря­

Положив в уравнении (2.8) проводимости всех ветвей равными нулю, кроме ветвей, связывающих узлы с индексами «1» и «О», получим

со знаком плюс. За положительные направления токов приняты на­ правления от первого узла к опорному.

После определения фх токи в ветвях могут быть найдены с по­

сложных цепей рассмотрим метод наложения. Этот метод является практическим использованием принципа наложения (суперпози­ ции), обусловленного линейностью системы.

Сущность принципа наложения заключается в следующем. Если линейная цепь подвергается воздействию нескольких источ­ ников одновременно, то реакция цепи на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие отдельно. Если, под реакцией цепи понимать ток в какой-либо ветви электрической цепи, то прин­

вотдельности.

Воспользовавшись методом контурных токов, напишем выраже­ ние тока (см. формулу 2.7) в одной из ветвей сложной цепи, выбрав контуры таким образом, чтобы эта ветвь принадлежала бы только одному k-щ контуру:

53

на отдельные слагаемые и сгруппировать слагаемые с одинаковыми Е. В результате получим

где Gnk — коэффициенты, определяемые делением алгебраических дополнений, на главный определитель системы.

Рис. 2.16

ваемый э. д. с. Е2, и т. д. Таким образом, каждое из слагаемых пра­ вой части последнего равенства представляет собой ток в той же ветви, создаваемый одним из источников, действующих в цепи.

Принцип наложения иначе называется принципом независимого действия источников энергии. Каждый из источников тока и напря­ жения создает в цепи такие токи, какие он создавал бы, если бы другие источники в этой цепи отсутствовали.

Для пояснения метода наложения рассмотрим цепь рис. 2.16, а. Допустим, что известны все э. д. с. в цепи и сопротивления. Требу­ ется определить все токи. В заданной цепи трижды последовательно исключаем два генератора, сохраняя только один. В каждый из обра­ зовавшихся схем (рис. 2.16, б, в, и г) находим все токи, выбрав предварительно их положительные направления. Токи в ветвях заданной цепи определяем как алгебраические суммы токов в тех же ветвях в схемах б, в и г. Следует обратить внимание на то, что при исключении генераторов напряжения их э. д. с. считаются равными

54

нулю, а внутренние сопротивления источников сохраняются в тех же ветвях. При исключении генераторов тока задающий ток считается равным нулю, а внутренняя проводимость генератора сохраняется. Метод наложения имеет первостепенное значение при анализе ли­ нейных цепей и будет неоднократно использован в последующих главах.

Рассчитывать же линейные цепи указанным методом имеет смысл в тех случаях, когда при исключениях всех источников, кроме од­ ного, цепь из сложной превращается в простую.

5. Теорема взаимности. Теорема взаимности впервые была сформулирована Кирхгофом. Прежде чем перейти к доказательству теоремы, следует вспомнить некоторые свойства главного опреде­ лителя, или определителя системы уравнений контурных токов:

Этот определитель всегда симметричен относительно первой глав­ ной диагонали, т. е. прямой, проведенной через элементы г и и гпп. Симметрия заключается в том, что любой элемент определителя, лежащий по одну сторону главной диагонали, имеет на месте своего

ке, а вне четырехполюсника оставлены только две ветви: ветвь, содержащая источник энергии, и ветвь, ток в которой следует оп­ ределить.

Пусть первая ветвь принадлежит контуру m, а вторая — кон­ туру к. При переносе источника энергии из ветви m в ветвь k (рис. 2.17, б) ток в ветви m окажется равным току, проходившему

55

в ветви k до переноса источника. Теорему взаимности можно сфор­ мулировать так: если в линейной электрической цепи поменять местами источник энергии и амперметр, то показания амперметра не изменятся. При этом предполагается, что все сопротивления эле­ ментов цепей, включая и внутреннее сопротивление источника, не участвуют в переносе, а остаются в своих ветвях.

где Amk— алгебраическое дополнение к элементу строки m и столб­ ца k.

Рис. 2.18

Во втором положении источника в контуре k (см. рис. 2.17, б) определим ток в контуре т:

При переносе источника его надо ориентировать так, чтобы направле­ ние э. д. с. в ветви k совпало бы с положительным направлением тока

вэтой ветви до переноса. Тогда за положительное направление тока

вветви m следует считать направление э. д. с. в этой ветви до ее переноса.

56

С помощью теоремы взаимности иногда удается задачу по опре­ делению тока в сложной цепи заменить задачей по расчету простой цепи. Например, в цепи рис. 2.18, а ток в ветви ab можно опреде­ лить только методами расчета сложных цепей. Если же источник

6. Метод эквивалентного генератора. Любой линейный актив­ ный двухполюсник независимо от его схемы, количества активных и пассивных элементов, содержащихся в этой схеме, с позиций под­ ключенного к нему пассивного двухполюсника можно считать гене­ ратором.

ристик необходимо, чтобы совпали хотя бы две их точки, т. е. токи и напряжения в двух режимах. Проще всего исходить из совпадения режимов холостого хода и короткого замыкания.

Отсюда следует, что, рассматривая генератор, эквивалентный данному активному двухполюснику, как генератор напряжения, э. д. с. этого генератора £9_ г необходимо выбрать равной напряже­ нию между зажимами активного двухполюсника при отключенной нагрузке. В физическом двухполюснике, состоящем из генераторов и резисторов, это напряжение можно измерить с помощью вольт­ метра с относительно большим сопротивлением. В нарисованной схеме это напряжение следует подсчитать. В режиме короткого за-

57

мыкания токи короткого замыкания активного двухполюсника и эквивалентного генератора также должны быть одинаковы. Зная ток короткого замыкания / к 3 и э. д. с. £ э - г , просто определить внутреннее сопротивление эквивалентного генератора:

'э.г — г

' к.з

Из сказанного следует, что при расчете тока в одной из ветвей сложной электрической цепи эту ветвь можно считать приемником, а всю остальную цепь активным двухполюсником.' Активный же двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором, т. е. таким простейшим генератором, при котором ток в приемнике будет таким же, как и при активном двухполюснике. При этом заданная электрическая цепь заменяется контуром, изображенным на рис. 2.20. Ток в приемнике определяется по закону Ома:

тать как общее сопротивление между зажимами активного двухпо­ люсника при отключенной нагрузке. В последнем случае при расчете внутрен­ него сопротивления следует считать, что все э. д. с. и задающие токи генерато­

стоящей из сопротивлений, соединенных между собой последова­ тельно и параллельно.

Для упрощения расчетов иногда удобно заданные генераторы тока заменять генераторами напряжения, и наоборот.

Если генератор, эквивалентный заданному активному двухпо­ люснику, желательно рассматривать в качестве генератора тока,

и внутренняя проводимость g3_г эквивалентного генератора тока. Задающий ток физически существующего активного двухполюсника может быть определен с помощью опыта короткого замыкания.

58

Для этого приемник с проводимостью g заменяется амперметром, сопротивление которого в данной цепи можно считать равным нулю. Если активный двухполюсник задан только в виде схемы, ток через короткозамкнутую ветвь должен быть рассчитан. Этот ток корот­ кого замыкания будет равен задающему току / о э . г эквивалентного генератора тока.

Внутренняя проводимость g9 . г может быть определена из опыта холостого хода, когда отключена ветвь с приемником, т. е. с про­

в случае физически существующего активного двухполюсника напряжение Ux_ х с помощью вольтметра, подключенного к зажимам активного двухполюсника, или рассчитав его в случае заданной схемы

В том случае, если при исключении всех э. д. с. и задающих токов источников, содержащихся в активном двухполюснике, его схема окажется простой, внутренняя проводи­ мость эквивалентного генератора, т. е.

проводимость активного двухполюсника, может быть непосредственно подсчитана подобно тому как подсчитывалось внут­ реннее сопротивление эквивалентного генератора напряжения.

Замена активного двухполюсника эк­ вивалентным генератором напряжения или тока позволяет во многих случаях инженерной практики наиболее просто рассчитать ток в ветви сложной цепи. Кроме того, метод эквивалентного гене­

ратора имеет большое принципиальное значение и с его помощью упрощается анализ работы множества электрических цепей.

7. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалент­ ную звезду. Электрическую цепь рис. 2.22 можно преобразовать в простую цепь с помощью приема, называемого «преобразование треугольника в эквивалентную звезду». Следует обратить внимание на треугольник, образуемый тремя сопротивлениями гх, г2 и гъ. Вершинами этого треугольника являются три точки a, b и с. Если три сопротивления, соединенные треугольником, заменить тремя сопротивлениями, соединенными звездой и подключенными к тем же точкам, то сложная цепь рис. 2.22 превратится в простую (рис. 2.23). Соединение сопротивлений треугольником показано на рис. 2.24, а, соединение звездой — на рис. 2.24, б. Треугольник и звезду считают эквивалентными, если замена в схеме треугольника звездой не вы­ зовет изменений токов в проводах, подходящих извне к точкам

а,Ьяс. Для замены одного соединения другим эквивалентным долж-

69