книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

принять второе решение (18.50), то проще всего положить

Для второй граничной частоты f2 = /0 второе решение (18.51) удовлетворяется, если

со0 = 2nf0 =

Вторая схема звена мостового фильтра нижних частот показана на рис. 18.26.

Рис. 18.26

Этот мостовой четырехполюсник можно заменять эквивалент­ ным П-образным. четырехполюсником. Согласно (17.34) для этого необходимо, чтобы в П-образном четырехполюснике

Поэтому для фильтра нижних частот

ав і-]Нш<с--с»>-'5Ь z « = - ^ - ( 1 8 -6 0 )

Сравнивая с тем, что было получено в § 18.2 для параллельнопроизводного звена типа m (см. рис, 18.23), находим согласно (18.43) и (18.44)

18.26, являются наиболее простыми, так как содержат лишь шесть элементов.

573

Учитывая равенства (18.50) и (18.51), можно построить более сложные фильтры, содержащие 8, 10 и более элементов. Аналогично можно получить схемы мостовых фильтров верхних частот, полосо­ вых и заграждающих фильтров.

§18.4. Расчет фильтров

1.Расчет фильтров по характеристическим параметрам. Как было указано в § 18.2, расчет фильтров по характеристическим параметрам давал бы хороший результат, если было бы возможным согласовать нагрузку с характеристическим сопротивлением звена

фильтра. В этом случае рабочее затухание фильтра совпадало бы с собственным (характеристическим) затуханием, и задача была бы решена. Но в действительности характеристическое сопротивление изменяется с частотой согласно (18.20) и (18.21), и согласование невозможно. Рабочее затухание ар отличается от собственного зату­ хания ас. В частности, в идеальной полосе пропускания, где ас = 0, нельзя считать, что ар = 0. Поэтому эффективная полоса пропу­ скания берется меньше идеальной так, чтобы характеристическое сопротивление оставалось почти постоянным, и задается максимально допустимое в этой полосе рабочее затухание Да на одно звено фильтра.

Займемся расчетом фильтра нижних частот типа К. Задается эффективная полоса пропускания от 0 до / к , допустимое рабочее затухание в этой полосе частот Да, минимальное рабочее затухание ûmin в эффективной полосе задерживания, простирающейся от частоты fk до бесконечности, и нагрузка фильтра RH (см. рис. 18.4). Предполагается, что внутреннее сопротивление генератора равно сопротивлению нагрузки. Между полосой пропускания и полосой задерживания находится полоса перехода (между / х и f k ) . Для вели­ чины затухания в этой полосе никаких условий не ставится. Внутри полосы перехода находится частота среза /0 , и отношение

Для Т-образного звена фильтра характеристическое сопротивление

выбрать активное сопротивление, равное по величине среднему гео­ метрическому между этими величинами:

Для П-образного звена согласно (18.21) характеристическое сопротивление меняется от R0 до ^ 0 а . Поэтому нагрузочное сопро­ тивление как среднее геометрическое должно быть выбрано так:

574

Для симметричного четырехполюсника, нагруженного симмет­ рично на сопротивление RH, рабочее затухание, согласно (17.97; и (17.96) определяется формулой

В полосе пропускания ас = 0 и gc = jbc, поэтому chgc = cos bc, sh gc = j sin bc.

Так как в полосе пропускания характеристическое сопротивле­ ние вещественно, то в правой части выражения (18.66) первый член вещественный, второй мнимый:

= cos2 be + 4 l1# „fir + % +2 )s i n 2 ÔC =

(18.67)

Таким образом, рабочее затухание в полосе пропускания не равно нулю. По формуле (18.67) можно определить его зависимость от частоты, но интересно узнать лишь максимальное значение. Для этого считают sin bc — 1 и Zc = Rn. Для Т-образного и П-образного звеньев, принимая во внимание (18.64) и (18.65), находим

Эту величину следует приравнять при расчетах максимально допустимому рабочему затуханию в полосе пропускания Да, т. е.

Так как обычно задается Да, то из этой формулы следует опреде­ лить коэффициент использования к. Для этого обозначим

или

rj2 _ 2eAffn + 1 = 0.

Поэтому

rj = е Л а ± ] / е 2 А а — 1 = е А а ( і ± K l — é ~ 2 A a ) .

575

Оно обычно больше характеристического затухания, но может быть и меньше. При | Zc | = RH последний член правой части выра­ жения (18.72) равен нулю, и получается наименьшее значение рабо­ чего затухания

добавляют к звеньям фильтра типа К полузвенья типа m согласно тому, что было сказано в § 18.2. Число m должно приблизительно равняться 0,59. Желательно, чтобы согласно (18.41)

для звеньев фильтров типа К и типа m и складывая их, находят суммарную кривую затухания и определяют необходимое число звеньев (рис. 18.27). Чтобы уменьшить число элементов, часто желательно для сложных фильтров применить несколько звеньев с различными значениями т. Расчет таких фильтров здесь не рас­ сматривается. Аналогично расчету фильтра нижних частот прово­ дятся расчеты фильтров верхних частот, полосовых и заграждающих фильтров. Расчет фильтра не по характеристическим, а непосред­ ственно по рабочим параметрам был бы значительно точнее, но он оказывается слишком сложным. Этот метод расчета, а также подроб­

577

2. Влияние потерь в фильтрах. До сих пор предполагалось, что звенья фильтров являются реактивными четырехполюсниками. В действительности в их элементах — катушках и конденсаторах — всегда существуют потери. Если потери в современных конденса­ торах настолько малы, что ими можно пренебречь, то потери в ка­

тушках всегда создают хотя и не­ большое, но существенное изме­ нение собственного затухания звена фильтра. Например, для лестничного фильтра нижних ча­ стот типа К вместо (18.11) сле­ дует считать

ZX = Г + j(ùL :: j(ùL ( 1 •In.- 1 \ 1 (18.75)

где Q = wL/r является доброт­ ностью катушки, имеющей обыч­ но значение 150—200 на не очень высоких частотах. Поэтому сог­

ласно (18.1)

Благодаря большому значению добротности катушки Q можно считать, что в полосе пропускания shac, хотя и не равняется нулю, но является очень малой величиной, и chac 1. Поэтому сохраня­ ются равенство (18.17) и значения граничных частот. Но затухание будет равно нулю лишь при / = 0, с увеличением частоты оно рас­

Sin Ъс = тг, cos bc = — j / ~ 1 4

0acQ •

исогласно равенству (18.76) при f = f0

578

Таким образом, при добротности катушки Q = 200 собственное затухание достигает значительной величины в 0,1 непера, что дол­ жно учитываться при расчете.

Потери в катушках сказываются также на характеристическом затухании при частоте всплеска затухания в фильтрах типа т. Сопротивление параллельной ветви в схеме рис. 18.18 при резонан­ се не равно нулю, сопротивление последовательной ветви в схеме рис. 18.23 не равно бесконечности. Поэтому на частоте всплеска затухания сопротивление последовательной ветви не равняется бесконечности. На рис. 18.28 приведена зависимость собственного затухания звена фильтра нижних частот типа m от частоты. Штри­ ховой линией показана эта зависимость для идеального фильтра.

§ 18.5. Фильтры с кварцевыми и магнитострикционными резонаторами

В схемах фильтров, как отмечалось, важное значение имеют резонансные контуры. Это ясно, если рассмотреть схемы рис. 18.18 и 18.23. Особенно большое значение они имеют при построении полосовых и заграждающих фильтров (см. рис. 18.12, 18.15). В § 18.4 было показано вредное влияние потерь в катушках, увеличивающих затухание в полосе пропускания и уменьшающих его в полосе задерживания. Таким образом, необходимо иметь контуры с воз­ можно большей добротностью. Однако создать достаточно компакт­ ные контуры с высокой добротностью чрезвычайно трудно. В осо­ бых случаях применяют резонансные устройства с механическими колебательными системами, которые стоят дорого, но имеют очень высокие добротности (порядка тысяч и десятков тысяч). Нашли применение главным образом кварцевые и магнитострикционные резонаторы.

сжимании и растяжении пластинки на ее поверхностях появляются положительный заряд на одной из них и отрицательный — на дру­

растягиваться, т. е. получаются механические колебания. Это и называется обратным пьезоэлектрическим эффектом. Как всякая колебательная система, кварцевая пластинка имеет собственную частоту, на которой легко возбуждаются колебания. В радиотех­ нических схемах применяются обычно пластинки толщиной порядка миллиметра. Собственная длина волны в метрах при поперечных

срезах коэффициент может быть доведен до 150. Для получения более

579

Г л а в а д е в я т н а д ц а т а я ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ЦЕПЕЙ

§ 19.1. Проблемы синтеза

Задача синтеза заключается в том, чтобы по заданной харак­ теристике построить электрическую цепь, обладающую этой харак­ теристикой. Решение задачи синтеза не может быть однозначным. Всегда существует множество цепей с одинаковыми характеристи­ ками. Из них надо выбрать наилучшее решение, но критерий выбора может быть различным. Можно, например, стремиться к тому, чтобы число элементов было бы наименьшим, чтобы стоимость реального воплощения схемы была бы минимальной, чтобы в схеме было воз­ можно меньше катушек и т. д. С другой стороны, и характеристики, по которым синтезируются цепи, могут быть различными. Прежде всего характеристики могут быть временными (переходная, импуль­ сная характеристика) и частотными (входной иммитанс, передаточ­ ная характеристика и т. п.). В зависимости от типа характеристики подход к решению задачи синтеза несколько различен.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением вопросов синтеза пассивных линейных электрических цепей. Более того, ограничимся цепями, состоящими из сосредоточенных параметров, т. е. индук­ тивности, емкости, сопротивления и идеального трансформатора. В настоящее время большое значение приобретает синтез линейных цепей сверхвысоких частот, где к указанным элементам прибавля­ ется единичный отрезок длинной линии, но эти цепи здесь не рас­ сматриваются. Наконец, характеристики, которые будут считаться заданными, относятся к частотным характеристикам, что наиболее часто встречается. Синтез цепей по временным характеристикам также не рассматриваем.

Для того чтобы синтезировать цепь по заданной частотной харак­ теристике, надо прежде всего иметь аналитическое выражение этой характеристики. Но не всякая функция частоты пригодна для синтезирования цепи. Должны быть выполнены определенные условия, которые называются условиями физической реализуемости.

Иногда заданная функция частоты не удовлетворяет этим условиям.

функция, совершенно непохожая на функцию, которая удовлетво­ ряет условиям физической реализуемости. Например, при синтезе фильтра нижних частот в гл. X V I I I задавались лишь наибольшее

581

допустимое затухание в полосе пропускания и наименьшее затуха­ ние в полосе задерживания.

Поэтому прежде всего решается задача аппроксимации. Надо найти такую функцию, которая удовлетворяла бы условиям физи­ ческой реализуемости и подходила бы возможно ближе к заданной характеристике (к заданным условиям). Однако и эта задача не имеет однозначного решения. Все зависит от того, какой метод аппроксимации выбирается и с какой точностью она производится. Например, при аппроксимации заданной функции полиномом основ­ ным является выбор степени полинома.

После аппроксимации и после выбора функции, по которой будет произведен синтез цепи, необходимо приступить к реализации цепи. Как указывалось, и эта задача не имеет однозначного решения, и выбор наилучшего варианта схемы в значительной степени зави­ сит от знания технологии выполнения схем, от опыта инженера, осуществляющего синтез цепи.

В этой главе будут вкратце изложены задачи синтеза цепей, сформулированные выше.

§ 19.2. Условия физической реализуемости

При синтезе двухполюсников обычно задается входной иммитанс, т. е. входное сопротивление или входная проводимость как функция комплексной частоты р. Если отказаться от элементов с распределенными параметрами, то двухполюсник реализуется в виде многоконтурной схемы. Его иммитанс (см. гл. XVI) выражается дробно-рациональной функцией — отношением двух полиномов, причем степени числителя и знаменателя не могут отличаться больше чем на единицу. Оба полинома должны иметь вещественные коэф­ фициенты, и их нули должны лежать в левой полуплоскости. Такие полиномы называются полиномами Гурвица. Итак, входное сопро­ тивление и входная проводимость двухполюсника выражаются в виде отношения двух полиномов Гурвица. Это является условием физи­ ческой реализуемости и сильно ограничивает возможность реализа­ ции по заданной характеристике.

Так, входное сопротивление (и проводимость) не может выра­ жаться иррациональной или трансцендентной функцией, а также, например, функциями

так как в первой функции один из коэффициентов — комплексный, во второй — разница в степени полиномов больше единицы, в треть­ ей — один нуль числителя равен +2 , т. е. находится в правой полуплоскости.

При синтезировании реактивных двухполюсников надо допус­ тить, что могут существовать цепи без потерь. Для реактивных двух-

582