книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие
.pdfПолучившийся эквивалентный Т-образный четырехполюсник характеризуется сопротивлениями:
|
2 і 2 3 |
у, |
2Z\ |
. 0 7 |
0 |
Zf-\-2Z1Z2JrZ2Z3 |
|
|
2Z,+.Z, ' |
|
2Zt + Z . |
|
|
Z Z j |
|
Его |
обобщенная |
матрица |
|
|
|
|
|
(Л) = |
|
+ |
2iZ 3 - j - |
Z 2 Z 3 |
|
|
(17.35) |
Zf + 2ZX Z2 + z 2 z 3 I 2 Z |
l + Z 3 |
|
|
Z? + 2ZiZ2 + |
|||
+ ^ i Z 3 -f- Z 2 Z 3
6. Применение простых четырехполюсников. Все сложные схемы составляются, как правило, из простых четырехполюсников, pa
ff)
Рис. 17.20
зобранных выше. Так как чаще всего применяется каскадное сое динение четырехполюсников, важно знать их обобщенные матрицы. Они и были определены. Наиболее важным примером сложных си-
Рис 17.21
стем являются лестничные схемы, получающиеся путем каскадного соединения Т- или П-образных четырехполюсников (рис. 17.21), которые называются звеньями лестничной схемы. На концах к ним могут присоединяться Г-образные четырехполюсники (полузвенья). Конечно, последовательные и параллельные сопротивления соеди няются так, что последовательно соединенным получается сопро-
523
тивление 2ZX, а параллельно -^Z*. Для того чтобы синтезировать
любые схемы, лучше было бы в качестве звеньев применять мосто вые четырехполюсники, как канонические схемы, но в этом случае получается слишком большое число' элементов.
§17.4. Характеристические параметры
1.Характеристическое сопротивление четырехполюсника. В ряде случаев четырехполюсник является нагрузкой длинной линии или включается между двумя длинными линиями. Тогда желательно, чтобы длинная линия также рассматривалась, как четырехполюс
ник, и чтобы уравнения |
четырехполюсника |
были того же типа, что |
и уравнения длинной линии (см. формулы |
13.12): |
|
Ù1 |
= Ù2chy/ + / 2 Z B shy/, |
|
7] = (У2 \ - sh yl -4- / 2 ch yl.
^в
Как видно из этих уравнений, длинная линия является симметрич ным четырехполюсником с обобщенной матрицей:
/ ch yl |
ZB sh yl\ |
Напомним, что если линия нагружена на волновое сопротивле ние Z„, то ее входное сопротивление
ZB X = ^ = f = Z B |
(17.37) |
и линия согласована с нагрузкой. В этом случае нет отражения от конца линии. Рассмотрим сначала симметричный четырехполюс ник, уравнения которого (см. уравнения 17.22) могут быть напи саны так:
/ і = Л 2 1 6 г 2 + Л п / 2 . J |
ѵ |
; |
Равенство коэффициентов Л 2 2 = Л и указывает |
на то, |
что че |
тырехполюсник симметричный. |
|
|
Пусть к входным зажимам подключена нагрузка — сопротивле ние Zc. Если входное сопротивление четырехполюсника также ока зывается равным Zc , то четырехполюсник согласован с нагрузкой.
Сопротивление Zc называется характеристическим |
сопротивлением |
||
* Иногда, чтобы получить последовательно соединенное сопротивление Zlt |
|||
а параллельно Z2 , в Г-образном |
четырехполюснике |
принимают последова |
|
тельное сопротивление равным Zj2, |
а параллельное 2Z |
2 и соответственно изме |
|
няют сопротивления в Т-образном |
и П-образном четырехполюсниках. |
||
524
четырехполюсника. Для длинной линии роль характеристического сопротивления1 играет волновое сопротивление. Так как Ù2 — l2Zc, а согласно уравнениям (17.38)
7 |
U\ |
А\і%с~)~А\і |
'1
то характеристическое сопротивление
2 С = A\\Zc-\- л ] 2
Решая это уравнение, получаем
Z< = VT£- |
(1 7 -39) |
Сопротивление Zc является первым характеристическим пара метром симметричного четырехполюсника, а равенство (17.39) дает его связь с обобщенными параметрами. Ясно, что если симметрич ный четырехполюсник «перевернуть», т. е. выходные зажимы сде лать входными, а входные — выходными, то характеристическое сопротивление не изменится, так как уравнения (17.38) останутся прежними.
2. Характеристическая постоянная передачи. Если четырехпо люсник нагружен на характеристическое сопротивление (на со гласованную нагрузку), то согласно уравнениям (17.38) и равен ству (17.39)
О г = Ù2 |
( А п + 4 f ) = Ü2 |
{A u + У'А12А й ) , |
Іх= / а |
(AnZc + Ап) = / 2 |
( Л п - f VÄ^ÄZ). |
Отношение напряжений' и токов на входе и выходе одинаково:
%-=±'=Аи |
+ У А ^ . |
(17.40) |
t/2 '2
Если это отношение вещественно, то оно показывает, во сколько раз уменьшается напряжение (и ток) при передаче энергии через четырехполюсник, т. е. ослабление напряжения (и тока), произ водимое четырехполюсником. Если это отношение комплексно, то модуль определяет ослабление, а аргумент — изменение фазы.
В технике связи принято по большей части ослабление напряже ний и токов выражать в логарифмических единицах, т. е. опреде лять натуральный логарифм отношения напряжений или токов. Поэтому примем
|
7Г = Т= е 'е - |
<17-41) |
||
Величина |
t/o |
/о |
|
|
|
ge=\n% |
= |
\n'f- |
(17.42) |
|
|
<Л |
'2 |
f |
525
является вторым характеристическим параметром и называется
характеристической (собственной) постоянной передачи или мерой передачи.
Часто желательно, как будет видно далее, меру передачи выра жать не через отношение напряжений или токов, а через отношение их произведений:
Поэтому |
|
|
g f = |
I l n ^ . |
(17.43) |
Заметим, что произведение |
Ulm является |
мощностью и даже |
не имеет физического смысла. Полная мощность в комплексной форме (см. гл. IV)
5 = Р + /<2 = 6 7 *
и отличается от произведения Üf тем, что содержит сопряженное комплексное действующее значение тока /*. Абсолютное значение произведения \Ùl\ = \Ûl*\ = UI является выражением полной мощности
S = I S ; = VP2 + Q2, |
|
поэтому оно имеет физическое значение. Отношение же |
должно |
трактоваться лишь как произведение отношений напряжений и то ков.
3. Связь между характеристическими и обобщенными парамет рами. Как отмечалось в конце § 17.2, симметричные четырехполюс ники определяются двумя параметрами. Поэтому характеристиче ское сопротивление Zc и мера передачи gc достаточно полно опре деляют симметричный четырехполюсник. Характеристические па раметры связаны с обобщенными параметрами. Для характеристи ческого сопротивления эта связь определяется равенством (17.39). Для меры передачи с учетом (17.40) и (17.41) получается
е с |
= An |
+ V~Ä^Ää |
(17.44) |
|
и |
|
|
|
|
^ = 1 п ( Л и |
+ ] / Л 1 2 Л 2 1 ) . |
|
||
Если еще принять во внимание |
(17.14), то |
|
||
§с = |
1п ( Л 1 1 |
+ |
К Л Ѵ г 1 ) . |
(17.45) |
Однако равенство (17.45) не совсем удобно для расчетов. Прини мая во внимание, что согласно (17.44)
„ - g , |
— —— |
! |
г |
Ап—ѴАПА21 |
. |
-т— |
л 2 1 , |
е 0 |
|
— — л — j — д — — Л и — у Лі 2 |
|||||
|
Ац + УАцА21 |
А- - А 1 2 |
А п |
|
|
||
526
получаем после сложения и вычитания равенств для е с и e с
ch gc = A n , |
shgc = VA~^- |
|
(17.46) |
Именно эти формулы обычно |
применяются |
в расчетах. |
Можно, |
наоборот, обобщенные параметры выразить через характеристиче ские. Согласно (17.39) и (17.46)
|
Aii = A 2 2 |
= chgc , |
A12 |
= Zcshgc, |
A a |
= ~-shge. |
(17.47) |
Если |
подставить эти значения параметров |
в уравнения |
(17.22), |
||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сѴ 1 = = с72 |
chgc + î2Zc |
shgc, |
|
(17.48) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 = Ü2 |
' |
shgc-\-i2chgc. |
|
|
|
|
|
|
'•с |
|
|
|
|
Эти |
уравнения |
совпадают |
с уравнениями |
длинных линий (см. |
|||
уравнения 13.12). Можно сделать вывод, что длинная линия является симметричным четырехполюсником с характеристическим сопро тивлением, равным волновому, и с характеристической или соб ственной постоянной передачи gc = yl.
Этим снимается ограничение, введенное в начале § 17.2: рассмат риваются лишь четырехполюсники, состоящие из сосредоточенных
элементов. |
|
|
Если четырехполюсник согласован с нагрузкой, |
т. е. нагружен |
|
на сопротивление, равное характеристическому (Ù2 |
= f 2 Z c ) , то урав |
|
нения (17.48) принимают вид: |
|
|
Ü1 = Ü2(chgc |
+ shgc) = Ü2eec. |
|
I1 = i2(chgc |
+ sh gc) = / > Ч |
|
совпадающий с (17.41).
Характеристические параметры симметричного четырехполюс ника можно определить также, зная входные сопротивления при холостом ходе Zx х и коротком замыкании выходных зажимов ZK 3 .
Действительно, согласно (17.48) для / 2 = О
Zx. K |
= |
Zccthgc, |
|
для Ù2 = О |
|
|
|
Z K . 3 |
= ZC |
ihgc. |
|
Поэтому |
|
|
|
Zc = V'Zx.xZK.3, |
(17.49) |
||
•thgc^Ykr- |
(17-50), |
||
4. Характеристическое или собственное затухание четырехпо люсника. Характеристическая постоянная передачи является, как
527
правило, комплексной величиной
gc = ас - f jbc.
Согласно (17.41) при нагрузке четырехполюсника на характе ристическое сопротивление
и* |
U |
|
Поэтому величина |
|
|
ас |
= \п f.1- =1п £ |
(17.51) |
показывает ослабление абсолютных значений напряжения и тока.
Эта величина называется |
характеристическим |
(собственным) за |
туханием четырехполюсника |
или постоянной затухания. Она изме |
|
ряется ^ неперах. Затухание в один непер соответствует уменьше нию напряжения (или тока) в е = 2,718 ... раз. Величина Ьс равна разности фаз между напряжениями (или токами) на входе и выходе.
Она |
называется |
характеристической |
|
|
фазой или фазовой |
постоянной |
||||||||
и измеряется в радианах. Важно то, что при каскадном |
соединении |
|||||||||||||
нескольких |
четырехполюсников |
с |
|
одинаковыми |
характеристиче |
|||||||||
скими сопротивлениями, |
|
благодаря |
логарифмической зависимости |
|||||||||||
в равенствах |
(17.41) и (17.51), общая |
|
характеристическая |
постоян |
||||||||||
ная передачи является суммой постоянных |
передачи, |
и общее харак |
||||||||||||
теристическое |
затухание |
|
— суммой |
|
характеристических |
затуха |
||||||||
ний. |
Действительно, при п |
четырехполюсниках |
|
|
||||||||||
|
|
-?і=еЧ |
|
-$-=еЧ |
|
|
|
...4^- = еЧ |
|
|||||
поэтому |
|
Ui |
|
g |
êc |
|
+gc |
|
+...+ gc |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Un |
— e c = e |
1 |
|
|
2 |
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gc = gc1 |
+ gci + ..- + gcn, |
ac = aCl |
+ aCï + . . . - f a v |
|
|||||||||
|
|
|
Ьс = |
ЬСі+ЬСі |
+ |
... + |
Ьсп. |
|
(17.52) |
|||||
Поэтому оперировать с ними очень удобно. Следует, однако, помнить, что эти формулы справедливы лишь при согласовании четырехполюсников.
5. Характеристические параметры некоторых четырехполюсни ков. Определим характеристические параметры часто применяемых симметричных четырехполюсников: Т-, П-образных и мостового. Для Т-образного симметричного четырехполюсника (см. рис. 17.13)
528
Поэтому согласно |
(17.39) |
и |
(17.46) |
|
|
|
|
|
|
Z<=VAV=VZM1+Z£)' |
|
|
|
|
(17-53) |
||||
с п £ = Л ц = 1 + - ^ , |
shg = |
l / J ^ = = 2 ] / | - ( l + А ) |
. (17.54) |
||||||
Для П-образного симметричного четырехполюсника |
(см. рис.17.14) |
||||||||
Л н = Л 2 2 = 1 + |
2 Z i |
. |
л |
_ О 7 |
л |
_ |
2 : |
I Z |
l |
Г |
Л |
2 = 2Zlt |
Аа |
= 7 |
1 |
+ |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Поэтому
• 2 е =
C h # = 1 + Ç -
|
|
(17.55) |
I л! 1 |
\ • |
О7 -5 6 ) |
Для симметричного мостового четырехполюсника (см. рис. 17.18)
Л |
— Л |
_ ^ * _ + J ? J L |
|
|
А |
— |
2 Z f t Z ? > |
л |
|
|
_ |
|
|
|||
п11 |
— п22 |
7 |
7 |
|
' |
1 |
42 - |
7 |
7 » |
' 1 |
2 1 |
— |
у |
|
7 " |
|
— т" |
7~ |
|
' |
Л і |
2 |
~' |
~ 7 |
7~~> |
ПЯ |
|
7 |
b |
|
|||
Поэтому |
|
^-а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ге |
= |
К а д , |
|
|
|
|
|
|
(15.57) |
||
|
|
— in V^f> + |
| / z 0 |
= |
7.1 7 |
|
|
VZaZb. |
|
.. 7 _ й |
||||||
|
С Ь |
Se = Й З Г " - |
|
S H |
& |
|
|
|
|
|||||||
|
|
_ |
1 |
V ^ - ^ ' |
|
|
|
|
|
|
( I 7 - 5 8 ) |
|||||
6. Характеристические параметры |
несимметричных |
четырехпо |
||||||||||||||
люсников. Понятие о характеристических параметрах необходимо распространить и на несимметричные четырехполюсники. Однако чтобы их характеризовать, необходимы, как отмечалось, не два, а три параметра. Так как входные сопротивления со стороны пер вичных и вторичных зажимов должны быть различными, несиммет
ричный |
четырехполюсник |
обладает |
не одним, а |
двумя |
характери |
||
стическими сопротивлениями ZCl |
и |
ZC 2 , причем |
первое |
относится |
|||
к первичным, |
второе — ко |
вторичным зажимам. |
|
|
|||
Для того чтобы определить первое характеристическое сопро |
|||||||
тивление |
Z C l , |
представим |
себе |
два |
одинаковых |
несимметричных |
|
четырехполюсника, второй |
из них |
«перевернем», т, е. |
поменяем |
||||
местами первичные и вторичные зажимы, и подсоединим его каскадно к первому (рис. 17.22, а). В результате получится сложный симметричный четырехполюсник. Его характеристическое сопро тивление ZC называется первым характеристическим сопротивле-
18 п/р, Клицкина |
529 |
нием. несимметричного четырехполюсника. Если заданный четы рехполюсник характеризуется обобщенной матрицей
(А) = І4,І А 9.9.
то «перевернутый» четырехполюсник должен согласно равенству (17.13) иметь матрицу
Так как при каскадном соединении обобщенные матрицы пере множаются, матрица сложного четырехполюсника имеет вид
(АПА22 |
+ А 1 2 А 2 1 , |
2АПА12 |
(А) (А') = 2А |
А 2 |
1 А 1 2 + А 2 2 А И |
Согласно (17.39) при учете значений элементов этой матрицы первое характеристическое сопротивление
ANA{ |
(17.59) |
|
Теперь можно поступить иначе. Соединяя каскадно два несим метричных четырехполюсника, поставим первым перевернутый
-и |
Z,а |
S)
z, |
z, |
С2 |
|
Pue. |
17.22 |
четырехполюсник. Тогда входные и выходные зажимы сложного симметричного четырехполюсника будут соответствовать вторич ным зажимам простого несимметричного четырехполюсника (рис. 17.22, б). Характеристическое сопротивление Zc, сложного симметричного четырехполюсника называется вторым характери стическим сопротивлением несимметричного четырехполюсника.
Обобщенная матрица сложного четырехполюсника имеет вид
ІА\_(АЦАЦ |
+ А\2А2\ |
2А22А12 |
\2 A 2і А и |
ЛпАи + А П А 2 2 / |
|
530
Поэтому согласно |
(17.39) |
У |
таг- |
(,7-60) |
|
|
Z, |
||||
Таким образом, получены два характеристических сопротивле |
|||||
ния несимметричного |
четырехполюсника — со |
стороны первич |
|||
ных зажимов ZCl и со стороны вторичных зажимов ZCl. |
Если четы |
||||
рехполюсник симметричен (Л2 2 |
= |
А и ) , то оба |
характеристических |
||
сопротивления одинаковы и определяются формулой (17.39). |
|||||
Отметим теперь интересное |
соотношение между характеристи |
||||
ческими сопротивлениями. Если вторичные зажимы четырехпо люсника соединены с нагрузочным сопротивлением, равным вто
рому характеристическому сопротивлению ZCa, |
так что |
(]% — I2ZC„ |
|||||
то после подстановки |
іУ2 в |
(17.22) |
получаем |
|
|
||
О, = (AnZc, |
+ Alt) |
/ 2 |
= |
[У^^ |
+ Au) |
h, |
|
h = (AnZCt |
+ Л2 2 ) / 2 |
= |
'У |
^ ^ i - + Ai2) |
/2. |
||
Входное сопротивление |
четырехполюсника |
|
|
||||
Сравнивая значение с (17.59), видим, что входное сопротивление равно первому характеристическому сопротивлению.
Итак, при нагрузке четырехполюсника (со стороны его вторич ных зажимов) на второе характеристическое сопротивление его входное сопротивление (со стороны первичных зажимов) равно первому характеристическому сопротивлению. Точно так же дока зывается, что при нагрузке со стороны первичных зажимов на пер вое характеристическое сопротивление входное сопротивление со стороны вторичных зажимов равно второму характеристическому сопротивлению. Оба характеристических сопротивления можно опре делить и с помощью равенства (17.49). Так как
01 = AuÜ2 + A1J2,
для первичных зажимов
7 |
Ац |
у |
А\2 |
" X . X |
Л 1 |
^ к . з |
л |
|
п21 |
|
™ 2 2 |
Подставляя эти значения в равенство (17.49), получаем первое характеристическое сопротивление в виде равенства (17.59). Для перевернутого четырехполюсника
Оі=*АпОі + АиІи it = AtlOx + A j l t
18* |
531 |
откуда
7 |
А?2 |
л |
|
|
д . ^ К . 3 |
|
|
Равенство (17.49) дает второе характеристическое сопротивле |
|||
ние в виде равенства (17.60). |
|
|
|
Характеристическую |
постоянную |
передачи |
несимметричного |
четырехполюсника нельзя определять |
по формуле |
(17.42), так как |
|
отношение напряжений |
не равняется |
отношению |
токов. Действи |
тельно, при нагрузке четырехполюсника на второе характеристи ческое сопротивление согласно (17.60)
üx = ІАи |
+ А |
1 2 |
Ü 2 |
= (ѴА~Ж2 + Ѵ'А^А21) У А£ |
02, |
|||||
h = [Аа |
У ^ |
+А22) |
/2 = (Щі + VÄi^Q |
у |
Г |
А |
£ / 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому в качестве исходного соотношения приходится брать |
||||||||||
равенство (17.43), а |
постоянная |
передачи определяется |
формулой |
|||||||
|
|
gc |
= In (VAnA22 |
+ VÄ^ÄTi). |
|
|
(17.61) |
|||
To же получится, как легко |
доказать, при обоюдной |
замене |
|
вход |
||||||
ных и выходных |
зажимов. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, несимметричный четырехполюсник |
определяется |
|||||||||
тремя характеристическими параметрами: двумя характеристиче скими сопротивлениями ZCl и ZCi и характеристической постоянной передачи g c . Эти величины связаны с обобщенными параметрами равенствами (17.59), (17.60) и (17.61).
Для расчета характеристической постоянной передачи (меры передачи) вместо равенства (17.61) целесообразно использовать другие формулы. Согласно (17.61)
eg c = V'АцА2 2 +ѴЛѵ 1 Л2 1 , |
(17.62) |
||
поэтому |
|
|
|
УіАпА22 |
+ Ѵ'АцАц |
АпА22 — |
АпА21 |
и согласно (17.11) |
|
|
|
e~go |
= VAlIÄ^-y~Ä^. |
|
(17.63) |
Складывая и вычитая почленно равенства |
(17.62) и (17.63), |
||
окончательно получаем |
|
|
|
c\\gc = VAuA22, sh gc = V А1гАгѵ |
(17.64) |
||
Равенства (17.59), (17.60) и (17.64) для характеристических па раметров несимметричного четырехполюсника дают возможность
632