книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

уравнения

задачи, которая в данном случае решается. Матрица Я , например,

с входными зажимами второго (рис. 17.9). Часто применяется каскадное соединение большого числа (цепочка) четырехполюсни­

1

-0

К '

0

Рис. 17.9

ков. При каскадном соединении выходное напряжение первого четырехполюсника равно входному напряжению второго.

Необходимо согласовать направления токов — выходного пер­ вого четырехполюсника и входного второго так, чтобы можно было написать / 2 = І"х. Для этого необходимо изменить положитель­ ное направление выходного тока, что и сделано на рис. 17.9. При каскадном соединении четырехполюсников в дальнейшем будем считать направление выходного тока положительным, если ток выходит из четырехполюсника через верхний зажим, как показано на рис. 17.9. Это направление противоположно показанному на

514

рис. 17.1 очень удобному при применении матриц (Z) и (Y). Сказан­ ное объясняет знак «минус» перед / 2 в уравнениях (17.10). С учетом изменения направления выходного тока уравнения (17.10) записы­ ваются так:

тельного направления. Для определения параметров четырехпо­ люсника и при применении матриц Z и У будет принято положи­ тельное направление тока Д, указанное на рис. 17.1, при каскад­ ном соединении четырехполюсников и при применении матрицы А — направление, указанное на рис. 17.9. При каскадном соединении четырехполюсников действительны две системы уравнений типа уравнения (17.23):

при каскадном соединении равна произведению матриц соединен­ ных четырехполюсников:

(А) = (А') (А").

Естественно задать вопрос: зачем применяется столь большое количество разнообразных матриц и параметров? Ответ заключается в том, что желательно применять такую матрицу, при которой в дан­ ной задаче получаются наиболее простые формулы. Переход же от одной матрицы к другой с помощью табл. 17.1 не представляет за­ труднений. В дальнейшем будем применять обобщенную матрицу, и положительные направления токов выбирать так, как указано на рис. 17.9. Определим матрицы А для наиболее простых четырех­ полюсников.

§17.3. Простые четырехполюсники

1.Одноэлементные и двухэлементные четырехполюсники. Рас­ смотрим часто встречающиеся четырехполюсники.

Наиболее простым является прямое соединение (рис, 17.10, а). Так как в этом случае

обобщенная матрица имеет вид

516

Для скрещенного соединения (рис. 17.10, б) матрица

Рис. 17.10

Одноэлементный четырехполюсник с последовательно включен­ ным сопротивлением (рис. 17.11, а) определяется следующими уравнениями передачи:

Его обобщенная матрица

(А) = \0 1

Для одноэлементного четырехполюсника с параллельно включен­ ным сопротивлением (рис. 17.11, б) матрица

(Л)

0\

1

Г-образный четырехполюсник (рис. 17.12, а) получается путем каскадного соединения этих двух одноэлементных четырехполюс­ ников. Его обобщенная матрица может быть получена перемноже­ нием вышеприведенных матриц:

(17.24)

517

Таким же образом получается матрица А обращенного Г-образ- ного четырехполюсника (рис. 17.12,6):

2. Трехэлементные четырехполюсники. Широко применяется симметричный Т-образный четырехполюсник (рис. 17.13). Он может

0-

4

П1

•4

быть получен с помощью каскадного соединения двух одинаковых Г-образных четырехполюсников: обращенного и прямого. Его обоб­ щенная матрица

как произведение матриц одноэлементного четырехполюсника с по­ следовательно включенным сопротивлением и Г-образного четырех­ полюсника:

518

Несимметричный П-образный четырехполюсник (см. рис. 17.2) является каскадным соединением Г-образного четырехполюсника и одноэлементного четырехполюсника с параллельно включенным сопротивлением. Его обобщенная матрица имеет вид

Симметричный П-образный четырехполюсник (рис. 17.14) можно представить как каскадное соединение Г-образного и обращенного Г-образного четырехполюсников. Его обобщенная матрица:

Она может быть также получена из предыдущей формулы путем замены:

Z/ = Z / / / = Z 2 и Zu — 2ZX.

3. Трансформатор как четырехполюсник. Одним из весьма рас­

в трансформаторе можно пренебречь. Тогда связь между напряже­ ниями и токами в обмотках трансформатора определяется уравне­ ниями:

Û1 = j(ùL1ti + j<ùMli,

с/2 = /соМ/і+ /'CÜL2 /2 ,

где взаимная индуктивность M положительна, если магнитные токи, зависящие от токов в обеих обмотках, складываются, и от­ рицательна, если потоки вычитаются. Итак, матрица сопротивлений трансформатора без потерь имеет вид

1 ' 1/соМ / Û ) L J '

519

Трансформатор без потерь эквивалентен Т-образному четырех­ полюснику рис. 17.16. Заметим, однако, что реально не всегда транс­ форматор может быть заменен эквивалентным Т-образным четырех­

(для всех частот). Так как известна матрица сопротивлений, обоб­ щенная матрица трансформатора без потерь может быть получена согласно табл. 17.1:

число витков обмоток. В пределе получается трансформатор с обоб­ щенной матрицей

в п раз и одновременно увеличивать ток в п раз и описываемый обобщенной матрицей (17.30), называется идеальным трансформа­ тором. Конечно, идеальный трансформатор в чистом виде реализо­ вать нельзя, но применение четырехполюсника со свойствами иде­ ального трансформатора создает большие удобства при теоретиче­ ском рассмотрении схем, при их анализе и синтезе. Например, реальный трансформатор с жесткой связью и с пренебрежимо ма­ лыми потерями может быть заменен идеальным трансформатором,

520

параллельно первичной обмотке которого подключена индуктив­ ность L x . Действительно, согласно (17.29) для этого трансформатора

что соответствует схеме, изображенной на рис. 17.17, где трансфор­ матор — идеальный.

Рис. 17.17 Рис. 17.18

4. Мостовой четырехполюсник. Канонической схемой симметрич­ ных пассивных обратимых четырехполюсников является мостовой четырехполюсник (рис. 17.18, а). Его схема часто изображается так,

=

для второго. Заметим, что согласно принятому условию для опре­ деления параметров Y положительное направление тока / 2 взято так, как показано на рис. 17.19.

521

Итак, матрицы проводимостей элементарных четырехполюсни­ ков имеют вид:

Поэтому матрица проводимости мостового четырехполюсника, как сумма матриц проводимостей, имеет такой вид:

2Z„Zft 2Za Zft

Согласно табл. 17.1 легко найти обобщенную матрицу мостового четырехполюсника:

/Zô + Z a 2 Z a Z f t \

Z/, — z,,

Сравнивая эту матрицу с матрицей Л для симметричного Т-образного четырехполюсника (см. формулу 17.26), видим, что эк­ вивалентный мостовому Т-образный четырехполюсник должен иметь сопротивление

можно. Наоборот, любой симметричный Т-образный четырехпо­ люсник может быть заменен эквивалентным мостовым четырехпо­ люсником, у которого

Z a = Zi, Zfr — Zi-^Zi,

что всегда возможно. То же можно сказать и о П-образном симмет­ ричном четырехполюснике. Для него

5. Т-образный мостовой четырехполюсник. Рассмотрим, нако­ нец, еще один, часто применяющийся симметричный четырехпо­ люсник, который называется Т-образным мостовым или перекры­ тым Т-образным четырехполюсником (рис. 17.20, а). Для опреде­ ления матрицы А заменим треугольник звездой (рис. 17.20, б):

522