книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

С другой стороны, обозначив мнимую часть входного сопроти­ вления двухполюсника

X = J m { Z ( / c o ) } = ^ ,

получим

у і - i x -

Следовательно,

Так как

X—-~ — • мі ML fh ~ J ül* ~ Q

и согласно формуле (16.48)

2со ( W u e 9 - V t e v y

то после подстановки этого значения в равенство (16.60) получается

dk _ , 4 c û 4 U 7 M C p - H 7 3 C P ) 3 dX dco 1 t/з 'da'

Сравнивая это равенство с равенством (16.59), получаем окон­ чательно

503

Г л а в а с е м н а д ц а т а я ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

§ 17.1. Введение

1. Определение четырехполюсника. Для передачи электромагнит­ ной энергии, а также связанной с ней информации из одного места в другое с помощью электрических систем или от одной части си­ стемы к другой применяются самые разнообразные устройства, имеющие два входных (первичных) зажима, через которые энер­ гия поступает в систему, и два выходных (вторичных), через кото­ рые она передается далее. Поэтому все эти устройства называются четырехполюсниками (рис. 17.1) и изображаются в виде прямо­ угольника с двумя парами зажимов — входными (первичными) и выходными (вторичными).

Четырёхполюсник — наиболее общее обозначение самых раз­ нообразных простых и сложных схем, служащих для передачи энергии на расстояние, для преобразования спектра передаваемых

ослабления колебания определенной полосы частот и значительно ослабляющие все остальные колебания. Типичным примером весьма сложного четырехполюсника является телефонная линия дальней связи, включающая ряд трансляционных (усилительных) пунктов, если в качестве входных рассматривать зажимы микрофона одного

нение общих свойств четырехполюсников является важной задачей и может быть использовано для анализа большого числа устройства связи.

2. Классификация четырехполюсников. Вследствие большой общности понятия «четырехполюсник» необходимо провести клас­ сификацию. Прежде всего четырехполюсники бывают активные и

505

пассивные. В активном четырехполюснике есть источники энергии, в пассивном'— источника энергии нет. Примерами активных четырех­ полюсников являются усилители, каскады радиопередатчика, ра­ диоприемника и др.; примерами пассивных—кабельная или воздушная линия связи, фильтр и др.

Далее четырёхполюсники делятся на линейные и нелинейные. Линейный четырехполюсник отличается тем, что напряжение и ток на его выходных зажимах линейно зависят от напряжения и тока на входных зажимах. Примерами линейных четырёхполюсников являются линия связи, фильтр, примерами нелинейного — транс­ форматор со стальным сердечником, выпрямитель, детектор или преобразователь частоты в радиоприёмнике. Усилитель хотя и содержит нелинейные элементы, может считаться линейным (точнее квазилинейным) активным четырёхполюсником, если его работа происходит на линейной части характеристик транзисторов или электронных ламп, входящих в схему, так как в этом случае вы­ ходное напряжение усилителя линейно зависит от его входного

Рис. 17.2

напряжения. Трансформатор со стальным сердечником, если его работа происходит без насыщения стали, также часто может счи­ таться линейным четырехполюсником.

Четырёхполюсники могут быть симметричными и несимметрич­ ными. Симметричные четырехполюсники отличаются тем, что за­ мена вторичных зажимов на первичные и первичных на вторичные не меняет свойств четырехполюсника, т. е. четырехполюсник имеет одни и те же свойства, независимо от того, передается ли энергия справа налево или слева направо. Часто симметричность четырёх­ полюсника определяется структурной симметрией. На рис. 17.2 показаны весьма распространенные простые четырехполюсники: Т-образный и П-образный. Они, вообще говоря, — несимметричны,

полюсников определяется, как правило, симметрией относительно поперечной (вертикальной) оси AB (рис. 17.3), то уравновешенность зависит от симметрии относительно продольной (горизонтальной) оси CD. Так, Т- и П-образные четырёхполюсники на рис. 17.2 —

506

неуравновешенные, на рис. 17.3 изображены такие же, но уравно­ вешенные четырехполюсники. Практически важность этого разли­ чия определяется тем, что неуравновешенные четырёхполюсники имеют различные паразитные ёмкости верхних и нижних зажимов относительно земли, что часто нарушает правильную работу че­ тырёхполюсника (например, при подключении к нему воздушной линии) и может привести к тому, что ток, входящий в верхний за­ жим, не равен току, выходящему из нижнего зажима. Наоборот, у уравновешенного четырёхполюсника можно заземлить средние точки, как это сделано на рис. 17.3, и тогда верхние и нижние за­ жимы оказываются симметричными относительно земли (имеют равные и противоположные друг другу потенциалы). Часто нет необходимости в такой симметрии. Тогда применяются более про­ стые неуравновешенные четырёхполюсники, причем, если это воз­ можно, нижние зажимы заземляются.

В дальнейшем будут рассматриваться только линейные пассив­ ные четырехполюсники.

Рис. 17.3

3. Положительные направления напряжений и токов. При рас­ смотрении четырёхполюсников важно, как и для всех схем, зара­ нее условиться о положительном направлении напряжений и токов. Будем считать напряжения на входных и выходных зажимах по­ ложительными, если потенциал верхнего зажима выше потенциала нижнего зажима. На рис. 17.1 стрелками показаны положительные направления напряжений Ux и (У2 и токов Іг и / 2 . Очень важно, что ток, притекающий к верхнему зажиму, должен равняться току, вытекающему из нижнего зажима. Положительные направления на- • пряжений и токов выбраны так, чтобы по закону Ома положительное

того и другого взять противоположными, как это иногда и делается. Целесообразность принятого здесь выбора будет видна из даль­ нейшего.

507

§ 17.2. Уравнения передачи и параметры четырехполюсников

1. Уравнения передачи. Матрица проводимостей. При рассмо­ трении четырехполюсников следует найти уравнения, которые свя­ зывают четыре величины: напряжение и ток на входе, а также на­ пряжение и ток на выходе. Как и для двухполюсников, предпочти­ тельно иметь дело не с мгновенными значениями, а с изображе­ ниями по Лапласу напряжений и токов или с их комплексными дей­ ствующими значениями (или комплексными амплитудами). В тео­ рии четырехполюсников чаще приходится иметь дело с комплекс­ ными амплитудами или комплексными действующими значениями. В этой главе будут написаны уравнения для действующих значе­

ний, для комплексных амплитуд

ничение; допустим, что четырехполюсник является многоконтур­ ной схемой, состоящей из сосредоточенных элементов. Таким об­ разом, отказываемся от рассмотрения систем с распределенными па­ раметрами. В конце этой главы ограничение будет снято.

Если пассивный четырехполюсник является многоконтурной схемой, то всегда можно считать, что в первый контур входит иде­ альный источник напряжения Üx, соединенный с входными зажи­ мами, а во второй контур — идеальный источник напряжения [72 , соединенный с выходными зажимами (рис. 17.4). Для определения

12 = ^ 2 1 ^ 1 "~Ь Y22^2-

508

Заметим, что если для схемы действительна теорема обрати­ мости (или взаимности) и определитель А симметричен, то

Ya=Ya. (17.3)

Четырехполюсник в 'этом случае называется обратимым. Все пассивные четырехполюсники, которые рассматриваются в этой главе, обратимы. Легко видеть, что коэффициент Yn — входная проводимость четырехполюсника, если выходные зажимы замкнуты накоротко (Ù2 = 0); Y22 — входная проводимость четырехполюс­ ника со стороны выхода, если входные зажимы замкнуты накоротко

Фі = 0):

называется матрицей проводимостей короткого замыкания или матрицей проводимостей, а также матрицей Y.

2. Матрица сопротивлений. Уравнения (17.2) дают зависимость токов от напряжений. Из них можно получить зависимости напря­ жений от токов. Для этого необходимо решить эти уравнения от­ носительно напряжений:

* Основные положения о матрицах изложены в приложении II к этой главе.

509

Коэффициенты

взаимные сопротивления при холостом ходе. Матрица коэффициентов

\Z,21 ^-22/

называется матрицей сопротивлений холостого хода или матрицей сопротивлений, а также матрицей Z.

Из сравнения систем уравнений (17.5) и (17.6) получаются за­ висимости между элементами матриц сопротивлений и проводимостей:

3. Система параметров холостого хода и короткого замыкания.

Параметры Yn и Y22 легко измеряются, как входные проводимости двухполюсника, в который обращается четырехполюсник, если для определения Yn замкнуть накоротко выходные зажимы, а для опре­ деления У2 2 — входные зажимы. Точно так же измеряются пара­ метры Z n и Z 2 2 , но не при коротком замыкании, а при открытых зажимах. Систему параметров Zn, Z22, Yn, Y22 называют системой параметров холостого хода и короткого замыкания. Между ними согласно уравнениям (17.8) существует соотношение

точно измерить три из четырех параметров холостого хода и корот­ кого замыкания, чтобы иметь возможность определить все восемь параметров четырехполюсника. Для симметричного четырехпо­

ветственно Z u = Z2 2 . Поэтому симметричный обратимый четырех­ полюсник определяется лишь двумя параметрами. Полученные выше равенства оправдывают сделанный в начале параграфа выбор положительных направлений напряжений и токов. При других направлениях напряжений и токов такие простые равенства не могут

510

быть получены. Если, например, принять противоположное поло­

объяснен далее. Заметим, что между этими коэффициентами для

называется обобщенной или каскадной матрицей, а также матри­ цей Л, а ее элементы — обобщенными или каскадными парамет­ рами четырехполюсника *.

Из уравнений (17.10) легко получить зависимости выходных напряжений и тока от напряжения и тока на входе. Решая эти

кие зажимы считать входными, а какие выходными. Поэтому коэф-

511

фициенты уравнений (17.10) и (17.13) для симметричного четырех­ полюсника должны быть одинаковыми. Это возможно, если Л п —

— Л 2 2 . Для матрицы проводимостей это, как указывалось, соответ­ ствует равенству У и = Y22, для матрицы сопротивлений Z u = Z2 2 .

Матрица сопротивлений очень удобна при рассмотрении после­ довательного соединения двух (или большего числа) четырехпо­ люсников (рис. 17.5), когда последовательно соединяются входные, а также выходные зажимы. Так как матрица токов (/) для этих четырехполюсников одинакова, а напряжения складываются, для эквивалентного четырехполюсника можно написать:

(l/) = '(l/') + (t/") = (Z')(/) + (Z") (/).

Таким образом,

(t/) = [(Z') + (Z")](/),

т. е. при последовательном соединении матрица сопротивлении эквивалентного четырехполюсника равна сумме матриц сопротив­ лений соединенных четырехполюсников. При параллельном сое­ динении четырехполюсников, т. е. когда входные, а также выход­ ные зажимы соединяются параллельно (рис. 17.6), целесообразно

512