книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

§ 16.5 Примеры синтеза нереактивных двухполюсников

1. Реализация в виде лестничной схемы. Как отмечалось в § 16.4, рассматривается синтез двухполюсника по заданной функции его иммитанса, т. е. по функции входного сопротивления или входной проводимости. Функция иммитанса двухполюсника, если в нем нет элементов с распределенными параметрами, является дробно-ра­ циональной функцией, т. е. отношением двух полиномов от комплекс­ ной частоты р, причем коэффициенты этих полиномов вещественны и степени полиномов не могут отличаться более чем на единицу. Построение двухполюсника по заданной функции иммитанса про­ изводится теми же методами, которые были применены при построе­ нии канонических схем реактивных двухполюсников: разложение на простые дроби и представление функции в виде непрерывной дроби. Покажем это на примерах и начнем со второго метода.

Пусть входное сопротивление двухполюсника выражается функ­ цией

Представим эту функцию в виде непрерывной дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель:

Опять делим числитель знаменателя этой дроби на ее знамена­ тель:

492

Разделив еще раз числитель последней дроби на знаменатель, получаем непрерывную дробь:

Сравнивая эту функцию с выражением (16.29) для входного сопротивления лестничной схемы рис. 16.21, получаем для задан­ ного входного сопротивления лестничную схему, изображенную на рис. 16.24, так как сопротивления имеют вид pL + г, а прово­ димости —(рС + g). Это значит, что последовательно включены индуктивности и активные сопротивления, а параллельно емкости

Pue. 16.24

и сопротивления. Здесь важным является то, что значения L , С, r n g получились положительными, и схема может быть реализована. Ясно, что мы имеем дело с обобщением третьей канонической схемы реактивного двухполюсника. В том же случае, когда параметры при представлении в виде непрерывной дроби получаются отрица­ тельными, реализация таким способом пассивного двухполюсника невозможна. В ряде случаев помогает разложение не по степеням р,

а по степеням д = у . Это значит, что в последовательной цепи вклю­ чена емкость, а в параллельной — индуктивность. Приведем при­ мер. Пусть входное сопротивление двухполюсника задано в виде функции

Разделим, как делали раньше, числитель этой дроби на ее зна­ менатель:

Получилось в остатке отрицательное число, что указывает на невозможность реализации. Поэтому, оставив лишь первый член частного, представим функцию входного сопротивления в виде

493

Лестничная схема, реализующая это входное сопротивление, по­ казана на рис. 16.25.

Иногда переменное р, по которому строится непрерывная дробь, целесообразно заменять на —. В этом случае получается обобщение

входного сопротивления на простые дроби. Заметим, что корни знаменателя Z (р) могут лежать лишь в левой полуплоскости и являются или вещественными или комплексными попарно сопря­ женными. Ограничимся тем случаем, когда корни простые, и по-

494

кажем на примере метод синтеза. Пусть входное сопротивление двухполюсника выражено функцией

должно быть, лежат в левой полуплоскости. Функция Z (р) разла­ гается на простые дроби:

Неопределенные коэффициенты А, В, С и D легко найти, если привести правую часть равенства к одному знаменателю:

495

ные сопротивления простых двухполюсников. Первая дробь фор­

случае имеет место обобщение первой канонической схемы реактив­ ных двухполюсников. Синтез двухполюсника можно провести на основании заданной функции входной проводимости. В этом случае простые дроби, на которые разлагается эта функция, соот­ ветствуют входным проводимостям простых двухполюсников, ко­ торые указаны в табл. 16.1. Получается обобщение второй канони­ ческой схемы.

Здесь рассмотрены простые вопросы синтеза цепей, а принци­ пиальные вопросы — в гл. X I X . 4

498

П Р И Л О Ж Е Н И Е I

ЭН Е Р Г Е Т И Ч Е С К И Е СООТНОШЕНИЯ . ТЕОРЕМА ФОСТЕРА

1.Одиночный контур. В последовательном контуре комплексное

действующее значение тока определяется из уравнения

Умножим обе части уравнения на величину, сопряженную с / . Тогда

В этом равенстве правая часть определяет комплексную мощ­ ность, отдаваемую источником

После подстановки значений средней энергии в равенство (16.45) получается основная формула для реактивной мощности:

2. Двасвязанных контура. Формула (16.48) справедлива и для многоконтурной системы. Докажем это для двухконтурной схемы (рис. 16.27). Контурные токи определяются из двух уравнений:

(16.49)

499

Рис. 16.27

Для получения полной мощности в системе двух контуров ум­ ножим обе части первого уравнения (16.49) на /*, обе части вто­ рого уравнения — на /.* и сложим их:

Рассмотрим сначала активную мощность. Учитывая (16.50), получаем

что соответствует величине рассеиваемой мощности в активных сопротивлениях гх, г2 и г12. Ток \ІХ — / 2 | протекает в общей ветви.

Перейдем теперь к рассмотрению реактивной мощности. Со­ гласно (16.51)

Q = со [Lall + L22I\ - L 1 2 (/?/2 + Щ\ -

Если принять во внимание (16.50), то аналогично равенству (16.52)

(16.53)

500

Первая скобка правой части согласно (16.46) — удвоенная сумма средних магнитных энергий, связанных со всеми индуктивностями контуров:

ских энергий, связанных со всеми емкостями системы, умноженная на 2со2, а именно:

w э сР — 2 ш 2 т^- /ï + -?=•- +~г— ! А - • Д (16.55) Поэтому после подстановки средних значений энергии из (16.54)

и(16.55) в равенство (16.53) получается основная формула (16.48).

3.Многоконтурная схема. Рассмотрим интересующий нас реак­ тивный двухполюсник, состоящий из п контуров, ко входу кото­ рого приложено напряжение U'. Так как в реактивном двухполюс­ нике все активные сопротивления равны нулю, то уравнения для контурных токов после деления на / примут такой вид:

(16.56)

Для того чтобы определить полную мощность системы, умножим

где k — номер строки характеристического определителя, / — номер столбца, причем знак «плюс» имеет место в тех членах двойных сумм, для которых k = /, если же k ф I, надо принимать во внима­ ние знак «минус». Так как полная мощность в комплексной форме

Из равенства (16.57) следует, что активная мощность Р равна нулю, как и должно быть для реактивного двухполюсника, и левая часть равенства — реактивная мощность Q. Первый член левой части ра-

501

умноженная на 2со, что доказывается совершенно аналогично тому, как были выведены равенства (16.54) и (16.55). Поэтому равенство' (16.57) совпадает с формулой (16.48).

4. Теорема Фостера. Установив основные энергетические соот­

Для производных оттоков по угловой частоте получилась система уравнений с такой же матрицей коэффициентов, как в системе (16.56), но в правой части для т - й строчки стоят выражения

где, как и ранее, знак «плюс» берется при m = I, знак «минус» — при m =£ I . Согласно § 11.7 найдем решение для ~ - :

502