книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

являющаяся пятым двухполюсником, может быть заменена экви­ валентным седьмым двухполюсником. Далее, индуктивности L t и L 2 , включенные параллельно, могут быть заменены эквивалентной

индуктивностью L 3 K B = г ^ г Ѵ - Таким образом получается седь-

L l ~Г L-t

мой двухполюсник, полностью заменяющий исходный. Конечно, седьмой двухполюсник можно заменить эквивалентным пятым двух­ полюсником. Итак, схема из четырех элементов заменяется без из­ менения частотной характеристики схемой из трех элементов.

Описанная операция называется приведением, а эквивалентная схема, содержащая наименьшее возможное число элементов, назы­ вается приведенной схемой. Приведение схем имеет большое прак­ тическое значение.

Далее необходимо рассмотреть другой практически важный вопрос о дуальных схемах. Принципы построения дуальных схем были изложены в § 3.7.

Рис. 16.16

Очевидно, что дуальные двухполюсники должны быть потен­ циально обратными, но, как будет видно далее, не всякие обратные двухполюсники дуальны. Первый и второй двухполюсники — ду­ альны и'обратны. Напряжение, приложенное к первому двухпо­ люснику, определяется производной от тока по времени. Прило­ женный ко второму двухполюснику ток пропорционален произ­ водной по времени от напряжения. Итак, емкость и индуктивность — дуальны. Третий и четвертый двухполюсники также дуальны. При подборе величин индуктивностей и емкостей они обратны. Если в третьем двухполюснике складываются напряжения на ин­ дуктивности и емкости, то в четвертом складываются токи. При построении дуальных схем последовательное соединение заменяется параллельным и наоборот; последовательный контур заменяется параллельным и наоборот. Дуальной схемой для пятого двухпо­ люсника является восьмой двухполюсник. Параллельный контур LXCX в дуальной схеме заменен последовательным, последовательно соединенная с ним индуктивность заменена емкостью, подключен­ ной параллельно. Для шестого двухполюсника дуальной схемой является седьмой двухполюсник. Здесь параллельный контур L 2 C 2 заменяется последовательным контуром, последовательно вклю­ ченная емкость — параллельно подключенной индуктивностью. Необходимо обратить внимание на то, что пятый и шестой двухпо­ люсники могут быть обратными, но не являются дуальными, так как условия о замене напряжений на токи и наоборот не выпол­ няются.

482

5. Общие положения о входных сопротивлениях и проводимостях реактивных двухполюсников. При рассмотрении реактивных двухполюсников были установлены следующие положения:

а) входные сопротивление и проводимость реактивны; мнимые части входного сопротивления и входной проводимости Jm (Z) и Jm (Y) — нечетные функции угловой частоты со;

б) мнимая часть входного сопротивления (и проводимости) является отношением двух полиномов от со, причем степень одного полинома больше степени другого на единицу.

Из рассмотрения частотных характеристик простых реактивных двухполюсников, приведенных выше, можно установить некоторые дополнительные положения;

в) частотная характеристика определяется чередованием про­

§ 16.4. Канонические схемы реактивных двухполюсников

Ï. Четыре класса реактивных двухполюсников. Входное сопро­ тивление двухполюсника определяется формулой (16.10). Если рассматривать только гармонические колебания с угловой часто­ той со, то р = /со. Все нули и полюса должны быть мнимыми и по­ парно сопряженными: если есть нуль или полюс при +/cof t , то нуль или полюс должен быть и при —jcak. Поэтому в формуле входного сопротивления скобки объединяются попарно и

(Р - Рк) (р — рк + \) = (/© - /©*) (/<» + /©ft) = col - со2-

Так как входное сопротивление должно быть нечетной функ­ цией со и степени полиномов в числителе и знаменателе должны от­ личаться на единицу, для реактивных двухполюсников равенство (16.10) может существовать лишь в четырех модификациях. Прежде всего оно может иметь такой вид:

Здесь п двучленов в числителе и знаменателе. Так как общее число двучленов в формуле (16.15) четное, каждый из них можно умножить на (—1) и общий знак не изменится. Поэтому фор­ мула (16.15) может быть написана так:

сопротивление равно нулю. Входное сопротивление, определяемое

Далее число двучленов в числителе и знаменателе может быть разным — отличаться на единицу. Для двухполюсников третьего класса

со = CÖJ, нуль при со = со2 и т. д. Так как число двучленов в зна­ менателе больше на единицу числа двучленов в числителе, при со =

484

В этом случае число двучленов в знаменателе на единицу меньше числа двучленов в числителе. При со = 0 получается первый полюс,

пываются все возможности. Графическое различие между ними

ков первый, пятый и седьмой относятся к первому классу, второй,

которая при правильном задании, удовлетворяющем условия фи­ зической реализуемости, всегда дает возможность выполнить это задание. В разбираемом случае правильным заданием, обеспечиваю­ щим возможность реализации, является входное сопротивление в виде функций (16.16), (16.18), (16.20) или (16.22). Найдем канони­ ческую схему. Функцию входного сопротивления можно предста­ вить в виде суммы простых дробей. Начнем с наиболее сложного случая — с двухполюсника четвертого класса. В (16.22) степени числителя и знаменателя одинаковы. Поэтому функция входного сопротивления может быть записана в таком виде:

2Л/со) = /соЯ(і+4»- + ^ 4 ^ + ...+ ^ г +

Очевидно, что первый член в скобке обеспечивает бесконечно большое входное сопротивление при со = оо, а второй член — бес-

485

конечно большое входное сопротивление при со = 0, что харак­ терно для двухполюсника четвертого класса. Так как при уве­ личении оз сопротивление стремится к /оо, то коэффициент Я дол­ жен быть положительным (в этом случае играет роль лишь первый член). Все коэффициенты Ак должны быть отрицательными. Дей­ ствительно, при переходе через полюс, как это явствует из рис. 16.17, мнимая часть функции входного сопротивления совершает скачок

—оо возможен лишь при Ak < 0.

Функцию входного сопротивления (см. формулу 16.23) можно

ков, входные сопротивления которых определяются отдельными слагаемыми этой суммы.

Если функция входного сопротивления задана формулой (16.22), то можно найти двухполюсник, входное сопротивление которого выражается этой формулой, т. е. провести синтез двухполюсника.

и устремим со к озк. Тогда в пределе в правой части останется только Ак, остальные слагаемые обратятся в нуль. Поэтому

В правой части равенства стоит величина, которую легко опре­

Поэтому все величины в (16.23) известны. Перейдем к рассмот­ рению отдельных слагаемых. Первое слагаемое /соЯ — входное сопротивление двухполюсника в виде индуктивности:

Второе с л а г а е м о е / - ^ при А0 < 0 — входное сопротивление двухполюсника в виде емкости:

С1

486

Остальные слагаемые типа / Ы2_^2 п р и Л & - < 0 — входные со­ противления четвертого простого двухполюсника — параллельного контура при

Таким образом, двухполюсник, входное сопротивление которого выражено формулой (16.22), можно реализовать следующим обра­ зом: схема должна состоять из последовательно соединенных ин­ дуктивности Ьгп, емкости С0 и (п — 1) параллельных контуров L k , Ck, причем все величины были определены выше. Эта схема изображена на рис. 16.19. Она называется первой канонической схемой. Оказывается, что эта схема пригодна и для синтеза двух­ полюсников остальных классов.

0-

0-

Рис. 16.19

Отличие в частотной характеристике двухполюсников первого класса от четвертого заключается в том, что при со = 0 получается нуль, а не полюс. Появление полюса обеспечивалось вторым сла­ гаемым в уравнении (16.23). Если его убрать, то входное сопроти­ вление

zx о-со)=/соя ( i+-а^-+-^ец-+•••+*.-%;_,)• <І6-24

что соответствует разложению функции входного сопротивления (см. формулу 16.16) на простые дроби. Исключение второго слагае­ мого соответствует в схеме рис. 16.19 исключению емкости С0, в остальном все остается без изменения. Контуры определяются не­ четными угловыми частотами со1, со3 и т. д.

Для второго класса при со = со получается нуль. Лишним ока­ зывается первое слагаемое (единица) в формуле (16.23). Входное

Коэффициент Я также положителен, так как при со -ѵ О входное сопротивление стремится к — / с о . Исключение первого слагаемого соответствует исключению в схеме рис. 16.19 индуктивности Ьгп.

487

t

Для двухполюсника третьего класса надо исключить первое и второе слагаемые в формуле (16.23):

теза любого реактивного двухполюсника, почему она и называется

3. Вторая каноническая схема. Как это обычно бывает при реше­ нии задачи синтеза, полученное решение не является единственным. Перейдем к отысканию другого решения. В основу его положим функцию входной проводимости двухполюсников. Согласно форму­

лам (16.16), (16.18), (16.20) и (16.22) для четырех классов реактив­

ных двухполюсников функция входной проводимости имеет вид:

Возьмем функцию входной проводимости двухполюсников третьего класса и разложим ее на простые дроби. Вследствие того, что сте­ пени числителя и знаменателя одинаковы, первое слагаемое должно равняться единице. Итак,

(16.28)

Первое слагаемое обеспечивает полюс функции входной про­ водимости при со = со, второе слагаемое — полюс при со = 0. Коэффициент Я задан. Напомним, что он — величина положитель­ ная. Коэффициенты Вк определяются так же, как и коэффициенты Au в формуле (16.23), и таким же образом доказывается, что они

488

ника является суммой входных проводимостей простых двухпо­ люсников. Поэтому схема двухполюсника, эквивалентного задан­

рассмотренных выше первой и второй канонических схем реактив­ ных двухполюсников не является единственным. Оказывается, что можно осуществить канонические схемы в форме цепных или лестничных схем. Цепной или лестничной схемой называется схема

489

(рис. 16.21). Для определения входного сопротивления этого двух­ полюсника надо складывать последовательно соединенные сопро­ тивления и параллельно соединенные проводимости:

Но входное сопротивление любого реактивного двухполюсника также может быть записано в виде непрерывной дроби. Возьмем, например, двухполюсник четвертого класса. Согласно равенству (16.21), заменяя /со на р, напишем его входное сопротивление сле­ дующим образом:

они получаются согласно равенству (16.30) перемножением квад­ ратов угловых частот. Деля числитель на знаменатель дроби (16.31), получаем

Число членов непрерывной дроби равно 2п, т. е. сумме членов полиномов в числителе и знаменателе без единицы. Сравнивая равенства (16.29) и (16.32), видим, что сложный реактивный двух­

490

люсников. Для первого класса С2 Я = оо, для второго класса Ьх = = 0 и для третьего класса Ьг = 0 и С2п = оо. Это все можно про­ верить.

Рис. 16.22 Рис. 16.23

двухполюсник четвертого класса может быть выполнен в виде

Построение канонических схем реактивных двухполюсников

491