книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Заметим, что добротности резонансных отрезков длиной / —

=2 Р можно рассчитать тем же методом. При этом в формулах

§15.10. Расчет мощности

1.Вывод основной формулы. Рассчитаем мощность Р 1 } отдавае­ мую генератором в линию с потерями, замкнутую на Z2 = R 2 + / Х 2 .

Первое и второе слагаемые в круглых скобках соответственно равны

4.62

Формула (15.69) является наиболее общей для расчета Рх. Она

мощность взаимодействия падающей и отраженной волн на входе линии.

Комплексные значения тока падающей и отраженной волн для любой точки линии могут быть записаны на основании (14.5) в сле­

463

Последнее равенство показывает, что отдаваемая генератором мощ­

Этот результат является естественным, поскольку в линии без потерь мощность Рл, определяемая равенством (15.75), равна нулю.

где |р 2 | — модуль коэффициента отражения, определяемого равен­ ством (14.21). Равенство (15.80) показывает, что модуль коэффи­ циента отражения в линии без потерь может быть определен через отношение мощностей падающей и отраженной волн. Если нагрузка линии представляет собой активное сопротивление, т. е. Х 2 = 0,

3. Линия с малыми потерями. Если потери в линии малы и вол­ новое сопротивление можно считать активным, то (15.76) и (15.77) сохраняют силу. Однако падающая и отраженная волны тока убы­

464

Для квадратов модулей этих величин при у = I имеем

Поскольку первое слагаемое правой части этого равенства яв­ ляется мощностью Ръ потребляемой в нагрузке, то

Сравнение этого выражения с (15.75) показывает, что мощность, рассеиваемая в проводах линии, равна

с реактивной частью волнового сопротивления. При этом Р Х не равна разности между мощностью падающей и отраженной волн, а должна

цепи называют отношение мощности Р 2 , потребляемой приемником, к полной мощности Р0, развиваемой генератором: т| = Р2/Р0. В данном случае Р 0 состоит из Р Ъ рассчитанной в § 15.10, и мощ­ ности РІ потерь во внутреннем сопротивлении генератора: Р 0 — = Р Х + P T . Расчет P T не представляет каких-либо затруднений.

Если желательно оценить с энергетической точки зрения линию без учета потерь внутри источника, то под к. п. д. линии понимают

465

отношение

где К — коэффициент бегущей или стоячей волны.

Представляет практический интерес определение оптимальной

Таким образом, наиболее выгодным является активное нагру­ зочное сопротивление, равное волновому сопротивлению линии. В этом случае линия работает в режиме бегущих волн и величина наибольшего возможного к. п. д. равна

В литературе эта величина встречается в других записях:

Imax max ^ 1 2сСІ Яа; Q 2 а ,

справедливость которых очевидна ввиду малости а.

Итак, при условии, что волновое сопротивление линии с малыми потерями можно считать вещественным, к. п. д. этой линии оказы­ вается максимальным в режиме бегущих волн. Это объясняется от­

466

Если потери в линии таковы, что необходимо считаться с реак­ тивной частью волнового сопротивления, то режим бегущих волн

к. п. д. имеет максимум при больших нагрузочных сопротивлениях, превышающих модуль волнового сопротивления.

Предположим, что в линии с малыми потерями нельзя прене­ бречь реактивной частью волнового сопротивления, определяемого формулой (15.46):

Дальнейшее вычисление Рх по (15.92) следует выполнять в по­ следовательности, указанной в п. 3 § 15.10. Для линии с малыми по­ терями, замкнутой на комплексное сопротивление, при учете ре­ активной части волнового сопротивления расчет приводит к сле­ дующим выражениям *:

то оптимальное замыкающее сопротивление не равно волновому сопротивлению линии, т. е. режим бегущих волн не является опти­ мальным с точки зрения к. п. д. Результаты расчетов при ZB = р

и ZB = p - f j—у, совпадают лишь в одном из следующих случаев:

При выводе учитывались лишь первые степени малых величин.

467

Г л а в а ш е с т н а д ц а т а я ДВУХПОЛЮСНИКИ

§16.1. Общие положения

1.Анализ и синтез электрических цепей. В предыдущих главах

были изложены теория и методы расчета линейных электриче­ ских цепей. Эти методы широко применяются для анализа электри­ ческих систем, т. е. в тех случаях, когда цепи заданы и необходимо определить их свойства, рассчитать токи и напряжения. Более сложной является обратная задача — синтез электрических це­ пей, т. е. определение элементов цепи, удовлетворяющей заданным свойствам, обладающей заданными характеристиками. Для синтеза цепей методика, изложенная в предыдущих главах, оказывается недостаточной, и требуется построение общей теории линейных электрических цепей. Эта теория, как будет видно из дальнейшего, полезна и при анализе очень сложных цепей, состоящих, напри­ мер, из большого числа одинаковых простых схем (четырехполюс­ ников), включенных друг за другом (каскадно). Решение задачи анализа таких систем методами, изложенными в предыдущих гла­ вах, дает обычно весьма сложные и непригодные для практики фор­ мулы.

Главы X V I — X I X посвящены изложению основных положений общей теории линейных цепей и могут считаться введением в эту теорию.

2. Определение двухполюсника. Классификация. Из всех элек­ трических систем наиболее простой является цепь, к которой при­ ложено одно напряжение, причем определяется только ток, идущий от источника к системе, и мощность, потребляемая этой системой. Обобщенным изображением такой цепи (см. гл. 1) является двух­ полюсник, т. е. цепь с двумя зажимами, к которым может быть при­ ложено напряжение. Двухполюсник на рисунках представляется в виде прямоугольника с двумя входными зажимами-полюсами (рис. 16.1). При рассмотрении двухполюсника нас интересует вся схема в целом, а не то, что происходит в ее отдельных частях, поэ­ тому двухполюсник на рис. 16.1 обозначен просто прямоугольни­ ком. Простейшими двухполюсниками являются отдельные эле­ менты цепи — сопротивление, индуктивность или емкость. Однако двухполюсником может быть и сложная схема, например, схема, изображенная на рис. 16.2.

469

(верхний) зажим, равен току, вытекающему из другого (нижнего) зажима, т. е. в двухполюснике нет утечки тока.

Двухполюсники делятся на активные и пассивные. Пассивные двухполюсники отличаются тем, что в них нет источников энергии, генераторы напряжения или тока могут подключаться лишь к вход­ ным зажимам. Пассивные двухполюсники бывают линейными и не­ линейными. Для линейных двухполюсников характерно линейное соотношение между напряжением, прикладываемым к двухпо­ люснику, и током, протекающим через его зажимы. В дальнейшем будем рассматривать лишь линейные пассивные двухполюсники.

§ 16.2. Входное сопротивление и входная проводимость двухполюсника

1. Определения. Так как соотношения между мгновенными зна­ чениями напряжения и тока почти всегда весьма сложны, для по­ строения общей теории целесообразно вместо мгновенных значений использовать изображения напряжения и тока по Лапласу. Как было показано в гл. X I , соотношение между приложенным напряже­ нием и током для изображений является функцией комплексной переменной:

которую называют комплексной частотой. Эта функция

называется входным сопротивлением двухполюсника и является единственной величиной, характеризующей двухполюсник.

Два двухполюсника, имеющие разные схемы, но обладающие одинаковыми входными сопротивлениями при любом значении па-

470

раметра р, эквивалентны. Так, например, входное сопротивление

с определенной угловой частотой со, т. е. когда напряжение и ток —

синусоидальные функции, целесообразно входное сопротивление определять, как отношение комплексных действующих значений или комплексных амплитуд напряжения и тока:

Очевидно, что входное (полное) сопротивление в этом случае совпадает с входным сопротивлением, определяемым равенством (16.2), если считать, что р заменяется /со, т. е. что в равенстве (16.1) о = 0. Например, для двухполюсника рис. 16.3 входное сопротив­ ление для гармонического процесса с угловой частотой

Z(/co) = /coL + r + ^ .

Согласно равенству (16.3) входная проводимость

Входные (полные) сопротивление и проводимость являются функциями угловой частоты со. Эти зависимости называются ча­ стотными характеристиками. Так как входное сопротивление — комплексная величина, можно отделить его модуль и аргумент:

471