книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

граничные условия задачи заданы в виде напряжения и тока в начале линии (рис. 13.4): Ü\x=0 = Üx, І L=o = А- Тогда из (13.3) и

ВА

Если граничные условия заданы в конце линии (рис. 13.4):

й\х-і = иг, I\x-i = h>

392

то из (13.3) и (13.4) имеем

02 = АеУ1 + В(

^ в

Из этих равенств определяются А и В:

(13.10)

Подставляя (13.10) в (13.3) и (13.4), находим

Очевидно, ^ — X является расстоянием от конца линии до рассмат­ риваемой точки (см. рис. 13.4). Обозначив / — х — у, имеем

пять пар выражений напряжения и тока, а именно (13.3) и (13.4), (13.8), (13.9), (13.11), (13.12). В дальнейшем для выяснения физи­ ческой картины процессов, происходящих в линиях при различных условиях и режимах работы, будем пользоваться той парой выраже­ ний, которую удобно применить в данном случае.

393

Г л а в а ч е т ы р н а д ц а т а я ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ

Такую линию будем называть идеальной или линией без потерь. Хотя линии без потерь практически нереальны, их рассмотрение представляет большой интерес. В ряде случаев при высокой частоте величины R0 и G0 оказываются очень малыми по сравнению с реактив­ ными погонным сопротивлением coL0 и проводимостью соС0 и ими можно пренебречь, что чрезвычайно упрощает использование резуль­

т. е. коэффициент распространения становится мнимым, волновое сопротивление — вещественным. В соответствии с принятыми для этого случая обозначениями

395

где гр' и гр" — агрументы В и Л соответственно. Из (14.7) следует,

Заметим, что (14.8) содержит в качестве аргументов синусоидаль­ ной функции переменные величины со/ и fix, которые симметрично

Рис. 14.1

входят под знак функции и являются для нее равноценными. Это значит, что зависимости и' от / при фиксированном значении х и и' от x при фиксированном значении / совершенно одинаковы.

Фиксируя точку x = хх и выбирая гр' = у , имеем

и' = и' (t) = Вт sin (|со/ — ß%! + y j = Вт cos (со/ — ßxx ).

396

вают, что напряжение и' в точке хг изменяется гармонически во вре­ мени с амплитудой Вт и постоянной временной начальной фазой Si, зависящей от координаты этой точки.

Рис. 14.1 иллюстрирует сказанное. Кривая / изображена в плос­ кости, перпендикулярной оси х.

^ Если фиксировать точку х = х2> хи то

и' (t) = Вт sin (at + Ѳа) = Вт cos (at - fl2), tf2 = ßjc2 = у - Ѳ2 > fy,'

т. е. для точки х2 получаем тот же результат, но с уменьшенной временной начальной фазой ѳ2 < 9t (рис. 14.1, кривая 2). Кривая 3 на рис. 14.1 соответствует изменению и' (t) в некоторой точке

хз > * 2 і Д л я которой •&з=-д->д2 . 9 з = 0- Обобщая, можно сказать, что для любой точки линии напряжение и' соответствует

\и'(х)

где % +

Эти выражения показывают, что в данный момент времени tx напряжение и' распределено по длине линии согласно гармони­ ческому закону с амплитудой Вт и постоянной пространственной начальной фазой х\х, зависящей от выбранного момента времени. Для иллюстрации приведена сплошная кривая на рис. 14.2.

Заметим, что переменная часть фазы напряжения и' (х), а именно ß x , линейно зависит от х\ величина ß называется коэффициентом

397

фазы и численно равна изменению фазы напряжения и' на единицу

т. е. для / = 4 получаем тот же результат, но с измененной простран­ ственной начальной фазой и2 . Как видно из рис. 14.2 (штриховая

Таким образом, приходим к выводам: напряжение и' распростра­ няется от источника к нагрузке. Распространение имеет волновой характер и происходит со скоростью ѵ, определяемой выражением (14.10), из которого следует, что скорость зависит от параметров линии L„ и С0 .

Поскольку величина ѵ является скоростью перемещения про­ извольной фиксированной фазы напряжения и' вдоль линии, ее называют фазовой скоростью распространения. Наряду с ß и р величина ѵ является вторичным или волновым параметром линии

ром шла речь в § 13.1. Действительно, умножая временное запазды­ вание на со, получаем

Второе слагаемое и" — Ат sin (cat + ßx + г|/') отличается от первого и' знаком перед ßx и величиной амплитуды. Фиксируя

398

ближе к генератору. Во всяком случае равенство показывает, что волна напряжения и" движется от приемника к генератору, т. е. в направлении, обратном направлению движения прямой волны. Поэтому напряжение и" называется обратной бегущей волной напря­ жения, иначе его называют отраженной волной. (Смысл последнего термина разъясняется в § 14.4.) Скорость распространения прямой и обратной волн одинакова.

Таким образом, напряжение и = и' + и" в любой точке линии яв­ ляется суммой прямой и обратной волн. В результате наложения этих волн устанавливается некоторое распределение напряжения (см.

§14.7 и 14.8). Представление напряжения и в виде суммы прямой и'

иобратной и" волн является приемом разложения действительного напряжения, удобным для изучения физических процессов.

Переходя ко второму равенству (14.7), заметим, что оно постро­ ено аналогично первому и отличается от него знаком перед вторым слагаемым; значит ток, как и напряжение, распространяется в виде прямой и обратной волн с той же фазовой скоростью. Амплитуды волн тока постоянны и равны соответственно амплитудам прямой и обратной волн напряжения, деленным на величину р. Иначе говоря,

тока і' и і" вычитаются, в то время как составляющие напряжения складываются. Это объясняется следующим образом. Положитель­

от направления движения волны (см. рис. 13.3, а я б). Поэтому прямая и обратная волны напряжения складываются в каждой точке линии. Положительное направление тока в прямом (верхнем) проводе было выбрано от генератора к нагрузке (слева направо). Направление движения прямой волны тока совпадает с принятым положительным направлением тока, а направление движения обратной волны — противоположно этому направлению. Поэтому прямая и обратная волны тока в каждой точке линии вычитаются.

На основании изложенного можно сформулировать следующие признаки бегущей волны в линии без потерь, справедливые как

399

б) фазы напряжения и тока изменяются вдоль линии по линей­ ному закону, сдвиг фаз между напряжением и током в любой точке линии равен нулю.

Из этих признаков вытекает, что отношение напряжения к току постоянно по длине линии и равно ее волновому сопротивлению.

§14.3. Волновые параметры

1.Скорость распространения. Для фазовой скорости было полу­ чено равенство (14.10).

Втеории электромагнитного поля доказывается, что фазовая скорость распространения в диэлектрике, обладающем параметрами

где р а , еа — параметры диэлектрика, разделяющего провода линии. Из этой формулы следует, что ѵ зависит лишь от свойств среды разделяющей проводники, и не зависит от геометрических размеров

линии.

Учитывая числовые значения магнитной р 0 и диэлектрической е0

В числителе последнего выражения получено значение скорости с

зом, фазовая скорость в линии без потерь с воздушным диэлектри­

При числовых расчетах следует иметь в виду соотношения, вытекающие из (14.10) для воздушных линий (ѵ = с):

L » = - c k < С » = ^ > ( 1 4 Л 2 >

которые дают возможность простого определения одного из первич­

400

2. Коэффициент фазы. Для коэффициента фазы было получено выражение (14.1). Подставляя значение угловой частоты со = где Т — период колебаний, и учитывая (14.10), можно написать

где произведение Тѵ = Хл — длина волны в линии.

Заметим, что Хл меньше длины волны Хг, соответствующей частоте

диэлектриком, в отличие от длины волны Хл в линии с любым другим диэлектриком, будем обозначать буквой X:

X я« Хг Хл.

Для линии с воздушным диэлектриком

Формула (14.14) показывает, что коэффициент фазы таким же образом связан с длиной волны, как угловая частота с периодом. Поэтому ß можно назвать пространственной угловой частотой в отли­ чие от временной угловой частоты со. Для ß принято также название волнового числа. Произведение ß на длину линии / называется фазной

величину р можно определить как отношение напряжения бегущей (падающей дли отраженной) волны к току той же волны:

и свойств среды, разделяющей провода. Переводя натуральный лога­

401