книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Связь между мгновенными значениями тока и напряжения на емкости при выборе одинаковых положительных направлений сог­ ласно выражению (1.4) имеет вид

Согласно этому выражению при увеличении напряжения, при­ ложенного к емкости в направлении его положительных значений, в цепи емкости протекает ток в том же направлении. При уменьше­ нии напряжения направление тока изменится на обратное.

§ 1.7. Основные законы электрических цепей

Свойства любой линейной электрической цепи могут быть опре­ делены при анализе уравнений, составленных для этой цепи на основе известных физических законов. Эти уравнения должны отражать особенность самой цепи, особенности воздействия на цепь и связывать все величины, участвующие в анализируемом электро­ магнитном процессе.

Выявление реакции электрической цепи на заданное воздей­ ствие и определение количественных результатов этого воздействия может быть осуществлено двумя путями: или с помощью экспери­ ментов, или решением уравнений рассматриваемой цепи.

Второй путь исследования — математический — дает ответы более общего характера и позволяет более просто устанавливать закономерности, требующие для установления опытным путем множества экспериментов, связанных со сложными измерениями и дорогостоящей аппаратурой. Естественно, что в инженерной прак­ тике оба пути дополняют друг друга и проверкой правильности составления и решения уравнений электрической цепи в любых условиях является опыт.

Основными законами электрических цепей, позволяющими опи­ сать любые режимы их работы, являются закон Ома и законы Кирх­ гофа.

1. Закон Ома. Если между двумя точками, расположенными вдоль проводника, имеет место разность потенциалов, в проводнике проходит ток, и наоборот, если в проводнике есть ток, между лю­ быми двумя точками вдоль проводника должна быть разность потенциалов.

В 1827 г. немецкий физик Г. С. Ом установил закон, связываю­ щий ток і в проводнике с напряжением и на проводнике и его сопро­ тивлением г. Закон был установлен при питании цепи источником постоянного напряжения.

Формулируется это равенство так: при неизменном сопротив­ лении проводника напряжение на нем пропорционально току в

30

нем, его вольтамперная характеристика будет представлять собой прямую линию, проходящую через нуль. Поэтому такие двухполюс­ ники и называются линейными.

Не все сопротивления, однако, линейны. Кривая б рис. 1.14 представляет собой вольтамперную характеристику такого двух­ полюсника, сопротивление которого возрастает с увеличением тока. Примером такого двухполюсника может служить лампочка нака­ ливания с вольфрамовой нитью. Удельное сопротивление вольфрама

в 1845 г. установил законы равновесия в электрических цепях. Уравнения, составленные согласно этим законам, называются урав­ нениями Кирхгофа.

Первый закон определяет баланс токов в узлах электрической цепи: алгебраическая сумма токов в ветвях, связанных общим узлом электрической цепи, равна нулю; или сумма токов, уходящих от узла электрической цепи, равна сумме токов, приходящих к этому узлу.

Уходящие токи будем считать положительными, приходящие — отрицательными. Математическое выражение первого закона Кирх­

31

Первый закон Кирхгофа вытекает из того, что в узле не могут накапливаться электрические заряды п поэтому заряды, переноси­ мые токами к узлу и уносимые от узла за любой промежуток вре­ мени, должны быть одинаковы.

Первый закон Кирхго­ фа можно обобщить и на «узел», представляющий собой часть цепи. На рис. 1.16 часть

электрической цепи очерчена штриховой линией. Независимо от характера двухполюсников и схемы их соединения внутри обла­ сти, очерченной штриховой линией, алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся в этой области, равна нулю. В данной цепи

Это равенство можно проверить, написав уравнения Кирхгофа для всех узлов, находящихся внутри очерченной области произ-

32

обход, записывает все напряжения, встретившиеся на его замкну­ том пути. Напряжения одного направления записываются с одним знаком, а другого — с обрат­

ным.

Обойдя контур из точки с по­ тенциалом фх и вернувшись в исходную точку с тем же потен­ циалом ф ь наблюдатель должен констатировать, что все измене­ ния потенциалов, т. е. сумма всех напряжений, пройденных им, с учетом их направлений, должна быть равна нулю.

Если предположить, что все пассивные двухполюсники пред­ ставляют собой сопротивления, то уравнение можно переписать в удобной для расчета форме, воспользовавшись законом Ома и

В общем случае, когда контур содержит сопротивления, индук­ тивности и емкости и питание осуществляется источниками пере­ менного напряжения, второе уравнение Кирхгофа имеет вид

Напишем уравнения Кирхгофа, например, для цепи, изображен­ ной на рис. 1.18. Для узла справедливо уравнение:

34

Для левого контура

для правого контура

Выбранные положительные направления токов, необходимые для написания уравнений, указаны на рисунках. Уравнения по вто­ рому закону Кирхгофа составлены при обходе контуров по движе­ нию часовой стрелки.

В том случае, если и и і изменяются с течением времени, вели­ чина р называется мгновенной мощностью. Мощность, развиваемая генератором напряжения, определяется как произведение э. д. с. генератора е на ток через генератор і

Po = et.

Мощность, развиваемая генератором тока, Ро = ш 0 ,

где г'0 — задающий ток; и — напряжение генератора.

2*

Электрические цепи монтируются на изоляционных панелях, установленных на металлических шасси. Для обеспечения более устойчивой работы электрической цепи и защиты ее от различных паразитных электромагнитных воздействий одна из точек электри­ ческой цепи соединяется про­ водом с шасси и играет роль базисной (или опорной) точки.

Шасси обычно электрически связано с землей, поэтому по­ тенциал опорной точки оказы­ вается равным нулю по отно­ шению к земле.

щий падение напряжения во внутреннем сопротивлении первого ге­ нератора. При построении диаграммы должны быть известны все сопротивления, э. д. с. и токи по величине и направлению.

37

контура равна нулю. Это следует из того, что начальная и ко­ нечная точки диаграммы лежат на одной горизонтальной прямой.

2. Цепь, состоящая из одного контура. Для цепи, состоящей только из одного контура, второе уравнение Кирхгофа (см. формулу 1.13) можно упростить, вынеся / за знак суммы:

/ £ г = S Е,

откуда

Е г •

Если в контуре действует один источник напряжения с э. д. с. Е и внутренним сопротивлением rt и контур содержит в качестве нагрузки резистор с сопротивлением г, последняя формула прини­ мает вид

Это равенство иногда называют законом Ома для замкнутого контура.

Обозначив потенциал узла а одной из ветвей (рис. 2.3) некоторой электрической цепи через фа , а потенциал узла Ь — через фй , можно написать

фа — Фь = /г — Е.

За положительное направление напряжения здесь принято

где g — проводимость ветви, величина, обратная ее сопротивлению.

предположить, что двухполюсник — резистор с падением напряже­

Действительно, написав второе уравнение Кирхгофа для контура электрической цепи, любое слагаемое левой части равенства )кГъ

можно перенести в его правую часть и рассматривать эту величину

38

Замена пассивного двухполюсника источником напряжения возможна при исследовании цепей с неизменными значениями эле­ ментов цепи и генераторов. При изменении этих значений, т. е. при

лельное и смешанное соединение резисторов. Простыми электрическими цепями будем называть

такие, в которых элементы цепей соединены между собой после­ довательно, параллельно или смешанно, т. е. и последовательно и па­ раллельно. Последовательным соединением двухполюсников назы­ вают такое соединение, при котором ток через эти двухполюсники один и тот же. На рис. 2.4 резисторы г1 и г2 соединены последова­ тельно. Также последовательно соединены резисторы гъ и г4 . Парал­ лельно соединенными называются пассивные двухполюсники, подклю­ ченные к одной паре узлов. Напряжение на двухполюсниках, соеди­ ненных параллельно, одно и то же. На рис. 2.4 резисторы гв и г7 соединены параллельно. Параллельно соединены ветви г3 и г4 5 в 7 ,

39