книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

нижних частот. Согласно рисунку фильтр пропускает все частоты от со = 0 до со = со0 и не пропускает частот выше со0. Пусть фазочастотная характеристика фильтра при данной нагрузке представ­ ляет собой прямую, проходящую через начало координат (рис. 12.20). Следует, однако, отметить, что раздельный произвольный выбор амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик элект­ рической цепи недопустим, так как эти характеристики в действи­ тельности, как убедимся далее, связаны между собой. Независимый выбор характеристик электрической цепи приведет к тому, что создать цепь, обладающую такими характеристиками, окажется невозможным. Поэтому предлагаемые идеализированные харак­ теристики следует рассматривать только как приближающиеся к возможным. Например, система из двух связанных колебательных контуров при связи больше критической в полосе пропускания может обладать характеристиками, близкими к изображенным на рис. 12.20. Будем считать, что в полосе пропускания Г(/со) = | 7" (/со) | е - / < 0 / ° =

Благодаря ограниченной полосе пропускания фильтра высокие частоты спектра передаваемого сигнала не пройдут на выход и в спектре выходного сигнала участвовать не будут. Определим влия­ ние ограничения полосы пропускания фильтра нижних частот на форму выходного сигнала. В связи с вышесказанным об идеализи­ рованных характеристиках фильтра результаты предстоящего ис­ следования нельзя будет считать точными и нужно рассматривать как приблизительные. При этом следует учитывать, что неограни­ ченная идеализация системы передачи и формы спектральной плот­ ности сигнала может привести к выводам, не имеющим физического смысла, противоречащим природе вещей.

Будем считать, что на вход четырехполюсника в момент, приня­ тый за начало отсчета времени, поступило напряжение в виде скачка, равного Е\ (t). Это напряжение запишем в форме разложения на гармонические составляющие (см. формулу 12.19):

Ui (t) = El (t) = EI j + i A sin ut da

\ô

Если бы полоса пропускания фильтра была бы бесконечно широ­ ка, то напряжение на выходе фильтра и% (t) повторило бы в новом масштабе напряжение на входе с опозданием относительно их (t) на время t0:

со

372

X-14 -12 -10 S -S -4 -2 M 2 4 S 6 10 12 14 X

рис. 12.20. При заданных значениях со0 и t0 величина аргумента х0 интегрального синуса Si х0 является функцией момента наблюдения t.

Считая в некотором масштабе ET равным единице, построим

график, зависимости и2 (t) = ~ - f — Si со0 (/ — /0 ) от момента наблю­ дения t (рис. 12.22, а). График и% (t) отличается от графика интеграль­ ного синуса только тем, что и2 (0 поднято над осью времени на высоту, равную 1 / 2 . Напряжение на входе возрастает от 0 до Е мгновенно согласно условию поставленной задачи. Передний склон импульса или фронт импульса представляет собой вертикальную прямую.

с конечной скоростью. Фронт импульса наклонный, и время нара­ стания импульса не равно нулю. Условимся время запаздывания выходного импульса отсчитывать между моментами достижения ординатами фронтов значений, равных 1 / 2 . Выходное напряжение приобретает значение, равное 0,5 в момент t = t0, т. е. с опозданием на t0.

373

Скорость нарастания н2 (0 легко определяется:

лt — t0

Вэтих преобразованиях производную по времени от интеграла функции по со мы заменили интегралом от производной функции потому, что время t и частота со — независимые друг от друга пере­ менные и порядок проведения операций в этом случае роли не играет.

ТЕ

При t = tQ скорость нарастания импульса равна — со0. Если приближенно считать, что эта скорость остается неизменной в тече­ ние всего времени нарастания импульса, то время нарастания

продолжительность фронта импульса может быть определена раз­ лично. Однако независимо от способа определения продолжитель­ ности фронта импульса ясно, что с увеличением полосы пропуска­ ния фильтра крутизна фронта увеличивается, время нарастания импульса уменьшается. Отсутствие высокочастотных составляющих в выходном сигнале превратило вертикальный фронт в наклонный, создало колебания горизонтальной части импульса, а угловой коэф­ фициент аргумента передаточной функции вызвал опоздание выход­ ного сигнала по сравнению с входным на t0, если считать его по значению равному половине ТЕ.

2. Прямоугольный импульс. Рассмотрим особенности прохожде­ ния прямоугольного импульса через электрический фильтр, ампли­ тудно-частотная и фазочастотная характеристики которого изобра­ жены на рис. 12.20.

Прямоугольный импульс (рис. 12.22) удобно представить в виде арифметической разности между двумя скачками напряжения, сдвинутыми между собой на время, равное продолжительности им­ пульса. Напряжение, приложенное к входным зажимам фильтра, в соответствии с этим представлением можно задать в виде выражения

u1(t) = E[i (t)-l(t-x)],

где т — продолжительность импульса.

374

Считая передаточную функцию фильтра равной Т (/со) = Те* ш°

гх

Рис. 12.23

импульса, /0 — верхняя граница полосы пропускания фильтра нижних частот. При полосе пропускания, равной А / = /„ = — , вы­ ходной импульс по форме близок к импульсу входному. При умень­ шении полосы пропускания фильтра форма выходного напряжения все сильнее отличается от прямоугольника, т. е. от формы сигнала

375

на входе фильтра. Проведенное исследование представляет и боль­ шой практический интерес несмотря на то, что объектом исследо­ вания был идеализированный фильтр.

решения той же задачи. Временные методы определения напряжения м2 (0 на выходе требуют знания переходной h (t) или импульсной g (t) характеристик цепи. Для решения задачи спектральным мето­ дом необходима передаточная функция цепи Т (/со). Сравнение выра­ жений одного и того же напряжения и2 (t), найденного различными методами, позволит определить связь между частотной Т (/со) и вре­ менными h (t) и g (t) характеристиками цепи.

1. Связь между h(t) и Т (/со). Предположим, что к входным зажимам линейной системы передачи электрических сигналов при­ ложено напряжение в виде единичной функции их (/) = 1 (/). Тогда напряжение на выходе, определенное временным методом, совпадает

где T (0) — напряжение на выходе системы, создаваемое постоянной составляющей единичного скачка. Связь между h (t) и Т (/со) выра­ жается формулой (12.31) и знание одной из этих характеристик позволяет найти другую.

2. Связь между вещественной и мнимой составляющими частот­

ной характеристики цепи. Выражение связи между h{t)uT (/со) может быть упрощено, потому что между вещественной и мнимой частями Т (/со) существует определенное соотношение и для определения Т (/со) достаточно найти значение только вещественной Re {Т (/со)} или только мнимой Im {Т (/со)} ее части.

Для отыскания соотношения между Re {Т (/со)} и Im {Т (/со)} перепишем комплексное выражение Т (/со) в виде:

Т (/со) = 1Т (/со) 1 cos а — Л Т (/со-) | sin а = m + jn.

376

При значениях / < 0 переходная функция h (/) = 0, так как напряжение на вход системы поступает только при / ^ 0. Следо­ вательно, при / < 0

Складывая и вычитая соответственно правые и левые части

Соотношение между m = Re {Т (/со)} и п = Im {Т (/со)} будет проще, если взять производные по времени от обеих частей послед­ него равенства:

со оо

оо

Последнее выражение убеждает в том, что вещественную и мни­ мую части передаточной функции Т (/со) одновременно нельзя выби­ рать произвольно. Иначе говоря, нельзя выбирать произвольно амплитудно-частотную и фазочастотные характеристики. Это свя­ занные между собой функции частоты.

функцией системы предположим, что на вход системы с передаточной функцией Т (/со) = I Т (/со) | е~/ а приложено напряжение в виде импульсной функции.

Если на вход системы воздействует импульс напряжения в виде импульсной функции, то выходной сигнал будет представлять собой импульсную характеристику. Этот выходной сигнал определим спек­ тральным методом с помощью обратного преобразования Фурье,

377

Г л а в а т р и н а д ц а т а я ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

§ 13.1 Понятие о цепях с распределенными параметрами

В предыдущих главах рассматривались электрические цепи (системы) с сосредоточенными параметрами, т. е. предполагалось, что емкости сосредоточены в конденсаторах, индуктивности —

вкатушках, активные сопротивления также локализованы в виде отдельных элементов — резисторов. При таком представлении электрической цепи считают, что ток, входящий в любой ее элемент, равен току, выходящему из того же элемента; что во всех точках любой ветви цепи ток имеет одну и ту же величину и фазу; что паде­ ние напряжения вдоль любого соединительного проводника равно нулю. Электрическое и магнитное поля считаются сосредоточенными

вконденсаторах и катушках соответственно, причем не учитываются

э.д. с. самоиндукции, возникающие во всей системе под влиянием переменного магнитного поля, пересекающего соединительные про­ вода; токи смещения между отдельными проводниками и между витками катушек; токи проводимости (утечки) между проводниками цепи и пластинами конденсаторов, обусловленные несовершенством разделяющих их диэлектриков.

Подобное представление электрической цепи допустимо лишь при определенных условиях. Строго говоря, систем с сосредоточен­ ными параметрами не существует.

Действительно, даже в простой последовательной цепи, состо­ ящей из г, L и С, которую считаем системой с сосредоточенными параметрами, активное сопротивление обычно является суммой активных сопротивлений нагрузки, соединительных проводов, катушки и внутреннего сопротивления генератора. Индуктивность цепи — это не только индуктивность включенной в нее катушки. Она обусловлена переменным магнитным полем, создаваемым всей системой при протекании по ней тока. Емкость цепи — это не только емкость включенного в нее конденсатора. Она обусловлена перемен­ ным электрическим полем, создаваемым всей системой при движе­ нии изменяющихся во времени зарядов. Таким образом, в любой цепи индуктивность, емкость, активное сопротивление и проводи­ мость изоляции не сосредоточены, а распределены по всей цепи. Возникает вопрос о тех условиях, при которых представление цепи как системы с сосредоточенными параметрами может считаться практически правильным и не приводит к недоразумениям.

379

и напряжения в различных ее точках. Скорость ѵ распространения электромагнитных возмущений конечна и примерно равна скорости света. Поэтому воздействие генератора на цепь проявляется в дан­ ной точке цепи не мгновенно, а с запаздыванием на время, завися­ щее от длины пути тока между генератором и этой точкой. Указан­ ную длину пути тока будем условно называть «расстоянием» между генератором и данной точкой и обозначать буквой х. Максимальное для данной цепи расстояние назовем «длиной» цепи. Пусть, напри­ мер, некоторое изменение тока (напряжения) возникло в момент времени t в точке, находящейся на расстоянии х от генератора. Это значит, что в начале цепи, где х = 0 и где включен генератор, соот­

промежутку времени t — t', по истечении которого изменение э. д. с. вызвало изменение тока в точке х. Если длина цепи равна /, то мак-

симальное запаздывание равно - .

Предположим, что включенная э. д. с. является периодической функцией времени с периодом Т. Тогда в цепях достаточной длины за время одного периода Т электромагнитное возмущение проходит

расстояние, равное длине волны X = vT = j - , где / — частота

генератора. Если бы цепь имела длину, равную X, то пока данное мгновенное значение э. д. с. вызвало бы соответствующие изме­ нения тока и напряжения в ее конце, в начале цепи произошло бы изменение э. д. с. на целый период, т. е. максимальное запазды­ вание было бы равно Т. В других точках, расположенных ближе к генератору, оно было бы меньше Т. Таким образом, ток и напря­ жение в любой точке системы оказались бы функциями не только времени t, но и пространственных координат этой точки. Это явля­ ется типичным для систем с распределенными параметрами, в кото­ рых физические процессы описываются дифференциальными урав­ нениями в частных производных.

При достаточно малой длине цепи по сравнению с К можно считать, что запаздывание равно нулю и во всех точках мгновенно изменя­ ются токи и напряжения под влиянием изменения э. д. с. В данном случае токи и напряжения являются функциями только одной пере­ менной — времени t, поэтому физические процессы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, что типично для систем с сосредоточенными параметрами.

Из изложенного следует, что для решения вопроса о том, считать данную цепь системой с сосредоточенными или распределенными

380

параметрами, необходимо сравнить ее «размеры» с длиной волны. Если под размерами цепи понимать длину пути тока между гене­ ратором и наиболее удаленной от него точкой цепи, то можно сформулировать правило: данная цепь должна рассматриваться как система с распределенными параметрами, если ее геометрические размеры сравнимы с длиной рабочей волны или сколь угодно ее превосходят. Если же цепь работает на достаточно длинной (напри­ мер, Я > 100 /) волне (низкой частоте), то ее следует рассматривать как систему с сосредоточенными параметрами. Теория, разработан­ ная для систем с сосредоточенными параметрами, непригодна для систем с распределенными параметрами. Ток и напряжение на входе любого сколь угодно малого участка (отрезка) цепи с распределен­ ными параметрами не равны соответственно току и напряжению на

являются величины напряжений, действующих в этой цепи. Если

применяемым для различных целей, относятся линии связи, линии электропередачи, фидеры, полосковые линии, антенны, волноводы, объемные резонаторы и др. В настоящем учебном пособии рассмат­ риваются только те из них, которые могут быть объединены под общим названием длинных линий. В дальнейшем примем следующую терминологию:

линейный провод — провод, длина которого несравненно больше его поперечного размера;

линия — система линейных проводов (или один линейный про­ вод), соединяющая генератор с приемником для передачи электри­ ческой энергии или сигнала;

длинная линия — линия, длина которой сравнима с длиной волны или сколь угодно ее превосходит.

Простейшим примером длинной линии может служить линейный провод длиной /, подвешенный на некоторой высоте h от поверхности земли и подключенный одним концом (начало линии) к генератору

сопротивлению (приемнику) Z2 (рис. 13.1, а). Генератор и нагрузка заземлены. Если длина I не слишком мала по сравнению с Я, то схема содержит сосредоточенные элементы Zx и Z2 и распределен­ ные по всей длине / индуктивность L провода, емкость С между проводом и землей, активное сопротивление R и проводимость

381