книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Частота со0 — несущая частота. Масштабы рис. 12.13 и 12.14 оди­ наковы по обеим осям. Следует подчеркнуть, что кривые на этих рисунках подобны друг другу. Амплитудные спектры радиоимпуль­ сов можно построить, сложив ординаты огибающих спектров при отрицательных и положительных частотах,одинаковых по абсолютной

После разложения импульса напряжения, приложенного к цепи, на элементарные гармонические составляющие или, другими^ сло­ вами, после определения спектральной плотности импульса È (/со) задача расчета цепи может быть продолжена спектральным методом. Так как процесс в цепи для каждой отдельной гармонической состав­

где Z (/со) и Y (/со) — комплексные сопротивление и проводимость цепи. Обозначения Z (/со) и Y (/со) вместо обычных Z и Y исполь­ зованы для того, чтобы подчеркнуть, что они должны быть опре­ делены в форме функций /со. Подобным же образом могут быть запи­ саны в спектральной форме первое и второе уравнения Кирхгофа:

2/*(/«)=о,

После определения спектральной плотности тока выражение тока как функцию времени можно найти с помощью таблиц или с помощью обратного преобразования Фурье (см. формулу 12.12). Например, из равенства (12.22) следует, что

— со

При расчете электрических цепей одна из основных задач заклю­ чается в определении выходного напряжения ua (t) при заданном напряжении на входе электрической цепи их (t).

Для решения подобных задач спектральным методом необходимо предварительно определить комплексную передаточную функцию

361

или комплексный коэффициент передачи Т (/со), являющуюся отно­ шением комплексного выражения напряжения на выходе линейной цепи в установившемся режиме к комплексному выражению нап­ ряжения, приложенного ко входу цепи Ûx (см. рис. 12.15 и § 6.10):

— со

Если

Г(/со) = |Т(/со)1е - ^,

то из выражения (12.23) ясно, что при частоте со модуль выходного напряжения отличается от модуля входного в | Т (/со) | раз, а фаза выходного напряжения от фазы входного на угол —а. В том случае, если, например, | Т (/со) | = Т — const, а аргумент а = /0со (t0 — постоянная величина), огибающая спектра выходного импульса будет отличаться от огибающей спектра импульса входного только масштабом, фаза же выходного напряжения будет смещена отно­ сительно фазы входного на величину со/0 в сторону запаздывания:

После обратного преобразования окажется, что импульс щ (t) подобен импульсу их (t), но согласно теореме запаздывания запаз­ дывает по отношению к нему по времени на t0 (рис. 12.16):

u 2 ( / ) = r«i (f —1 0 ) .

В реальной электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, модуль коэффициента передачи зависит от частоты. Поэтому форма импульса на выходе системы будет в большей или меньшей степени отличаться от формы импульса на входе.

Предположим, например, что импульс прямоугольной формы должен быть передан через систему, представляющую собой четырех­ полюсник, изображенный на рис. 12.17, работающий без нагрузки.

362

Коэффициент передачи такого четырехполюсника

Y'

Модуль коэффициента передачи

|Т(/со)| =

V '{(ÛL

На рис. 12.18, а изображены спектр прямоугольного импульса напряжения на входе четырехполюсника и коэффициент передачи четырехполюсника.

Из рис. 12.18, а ясно, что постоянная составляющая на выходе системы будет отсутствовать, а относительные значения низких

u(t)

частот в спектре U2 (/со) будут много меньше, чем в спектре вход­ ного Ui (/со). Кроме того, начальные фазы гармонических состав­ ляющих спектра U2 (/со), как это следует из выражения аргумента Т (/со), будут отличаться от начальных фазовых углов, составляю­ щих Ох (/со).

На рис. 12.18, б построен спектр выходного напряжения по фор­ муле

\U2(ja)\ = \T(ja)\.\U1(j(ù)\.

При обратном преобразовании окажется, что прямоугольный импульс (рис. 12.19, а), поданный на вход четырехполюсника, прев­ ратится на его выходе в импульс, форма которого изображена на рис. 12.19, б.

Особую ценность представляет спектральный метод исследова­ ния в тех случаях, когда известны не схемы электрических цепей,

быть проделано методами приближенного интегрирования. Простое сравнение спектра входного напряжения с графиком передаточной функции позволяет оценивать систему передачи сигналов с точки

363

зрения искажений, вносимых системой в передаваемый импульс. Знание спектра импульса позволяет сделать уверенный выбор полосы пропускания системы и ее граничных частот, необходимых

для передачи импульса с допустимыми искажениями. Кроме того, знание спектров импульсов на входе и выходе системы передачи сигналов позволяет вводить корректирующие устройства для исправ­ ления формы выходных импульсов.

§ 12.5. Элементы гармонического синтеза

Во многих случаях сигнал, воздействующий на систему, состоит из периодической последовательности импульсов. Если этих импуль­

ряда импульсов. Поэтому целесообразно разобрать воздействие бес­ конечного ряда импульсов (например, напряжения) на линейную цепь. Это можно сделать при помощи методов, рассмотренных в гл. X и X I , определяя переходный режим для каждого отдельного импульса. Но можно получить решение, используя спектральный

364

то ток в цепи

Остается лишь найти эту сумму, т. е. произвести гармонический синтез. Это возможно, если существуют подробные таблицы сумм рядов Фурье. Некоторые суммы рядов приведены в краткой табли­ це 12.2.

Для сравнения указанных выше двух методов приводим реше­

приложено к цепи, состоящей из последовательно соединенных актив­ ного сопротивления г и индуктивности L . Требуется найти уста­ новившийся ток в цепи. Этот ток также будет периодической функ­ цией с периодом Т. Обозначим его через іг для первой и і2 для второй половины периода.

Сначала решим задачу классическим методом для переходных

* Подробные таблицы можно найти в книге А. М. Заездного «Гармонический синтез в радиотехнике и электросвязи». Госэнергоиздат, 1961.

365

g.= — со

Из уравнений (12.27) и (12. 28) определяются kx и k%

Таким образом, задача решена.

Теперь покажем, как она решается методом гармонического синтеза. Комплексную амплитуду напряжения находим согласно (12.6):

(Т_

=^ [ l _ ( , + t h ^ ) e - a ( ' - ^ .

Что совпадает с предыдущим решением классическим методом анализа переходных процессов, так как

368

§ 12.6. Распределение энергии в спектре импульса

При определении ширины полосы пропускания системы пере­ дачи импульсов границы полосы устанавливаются в зависимости от требований, предъявляемых к системе передачи. Эти требования могут заключаться в передаче сигналов с минимальными искажения­ ми формы импульса или только его фронта или же в сохранении определенной доли энергии генерируемых импульсов.

Энергия, выделяемая импульсом тока в приемнике, согласно закону Джоуля—Ленца пропорциональна квадрату тока или напря­ жения, создаваемого импульсом на приемнике:

Если считать, что сопротивление или проводимость равны еди­ нице, что не снижает общности вывода, то выражению энергии им­ пульса можно придать вид

- f оо

W= $ f2(t)dt.

— со

Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье (12.12), напишем

- f c o - f c o - f c o - f c o

Так как время и частота — независимые друг от друга пере­ менные, порядок интегрирования можно изменить:

-\ • со + со -(-со

— со

записанная согласно формуле (12.15) в виде

F(/co) = Re{F(/co)}+/Im{F(/cù)}.

-fco

Интеграл \ f(t) е/аІ Лесть также комплексная функция частоты.

—0 0

Отличается эта функция от выражения (12.11) знаком мнимой, нечетной относительно со части комплексной функции.

F ( - /со) = Re {F (/со)} - / Im {F (/со)}.

369

Произведение комплексной величины на сопряженную с ней комплексную величину равно квадрату модуля этой величины:

его называют теоремой Релея).

Из равенства Парсеваля следует, что энергия импульса может быть определена в том случае, если импульс задан в форме функции времени / (t), и в том случае, если известен только амплитудный спектр импульса. Энергия импульса, заключенная между частотами щ и со2, может быть подсчитана как величина, пропорциональная

\ I F (/со) I2 dû),

«i

Согласно сказанному ток, возникший в момент tv в сопротивлении г и закончившийся в момент 4> выделит в этом сопротивлении энергию, равную

і г со

ходимо передать, чтобы сохранить значительную часть энергии одиночного прямоугольного импульса напряжения U длитель­ ностью т. В сопротивлении г выделится энергия

№0 = -т( У 2 т

в том случае, если импульс будут передан без искажений, иначе говоря, если будет передана вся бесконечная полоса частот спектра импульса. Если же электрическая цепь будет передавать лишь полосу частот от нуля до сог р , то согласно (12.30) в сопротивлении г выделится энергия

370

импульса, что при передаче сигналов можно считать вполне удов­ летворительным.

§ 12.7. Прохождение импульса через электрическую цепь

1. Скачок напряжения. На основании простых соображений, высказанных в § 12.4, можно утверждать, что неискаженная пере­ дача электрического импульса со входа электрической системы на

грузке изображен на рис. 12.20. Такой коэффициент передачи имеет четырехполюсник, представляющий собой идеальный фильтр

371