и вещественная часть спектральной плотности
|
+ |
0 0 |
Re{F(ja)} |
= |
$ f (t) cos at dt = 0. |
|
— |
CO |
При этом модуль спектральной плотности
|
-f-co |
со |
|
\FU<Ù)\= |
$ |
/ (/) sin со/Л = 2 \f (t) sin <ùt dt. |
(12.16a) |
|
— оо |
0 |
|
Перейдем теперь к обратному преобразованию Фурье. Предва рительно спектральную плотность запишем в показательной форме:
F(/(o) = |F(/û))|e-/ *.
Формулу (12.12) обратного преобразования Фурье представим в три гонометрической форме:
-f-oo
f® = -k |
l \F(M\éiat-Vd<* |
= |
— оо |
|
- f CO |
- f - oo |
|
J2it_ jj IF (/со) |cos (at |
— гр) dû) + /2-L ^ |
I F (/со) I sin (со/— гр) dco. |
Согласно выражениям (12.14) и (12.15) аргумент спектральной плотности гр есть нечетная функция со. Модуль спектральной плот-
Рис. 12.8
ности есть четная функция со. Поэтому второй интеграл последнего выражения равен нулю. Окончательно
+ |
0 0 |
0 0 |
|
= |
I \f(M\cos((ot-rp)dw |
= ^ J |
\F(M\cos(<0t-ty)d<o. |
— со |
О |
(12.17) |
|
|
|
В качестве расчетной последняя формула обратного преобразо вания Фурье не имеет преимуществ по сравнению с формулой (12.12). Однако она весьма полезна и дает наглядное представление о том, что практически любую функцию времени, встречающуюся при расчете электрических цепей, можно разбить на гармонические составляющие.
§ 12.2. Изображение по Фурье некоторых форм импульсов
1. Спектр прямоугольного импульса. Пусть задан прямоуголь ный импульс, изображенный на рис. 12.4, г, и требуется определить его спектральную плотность. Высота импульса Е и длительность его х. Начало отсчета времени выбрано таким, что импульс ока зался симметричным относительно оси ординат подобно тому, как это имеет место на рис. 12.3. Аналитическое выражение импульса можно представить в такой форме:
|
о |
t < - } , |
/( 0 = |
Е при |
— у < / < + — |
|
|
0 |
t > \ |
Для разложения импульса можно воспользоваться формулой (12.16) вместо общей формулы (12.11):
F(j<ù)= § f (t) cos at dt = 2Е ^ cos at dt = ~ sin Y . (12.18)
Выскажем некоторые соображения по поводу результатов раз ложения прямоугольного импульса. Предварительно определим значения со, при которых амплитуды гармонических составляющих
|
|
|
|
|
2л |
4я |
импульса |
равны нулю. Эти |
частоты |
равны: соі= — , и>2 |
==••—, |
CÜ3 = - ^ |
... и т. д. (см. рис. |
12.5 и 12.7). |
Полосы частот |
между |
соседними нулевыми значениями амплитуд равны |
|
|
с о л + 1 - с о л = |
2 ( я + 1 ) я |
2пл |
2л |
|
|
|
- |
— = Т ' |
|
Следовательно, с уменьшением длительности импульсов расши ряется полоса частот между соседними нулевыми значениями ам плитуд гармонических составляющих.
Для передачи импульса от генератора к приемнику с помощью электрической системы передачи эта система должна обладать опре деленной полосой пропускания равной или большей ширины спект ра. Под шириной спектра в инженерном смысле понимают огра
ниченный спектр, т. е. полосу частот, необходимую для передачи |
импульса с допустимыми искажениями. В ряде случаев достаточная |
полоса частот равна частотам спектра между со = |
0 и тем значением |
со, при котором амплитуда спектра впервые равна |
нулю. |
При прямоугольном импульсе |
ширина спектра, определенная |
2л |
1 |
подобным образом, ©х = — или |
fx = —. Во всяком случае необхо- |
димая полоса частот обратно пропорциональна времени существова ния импульса. Чем короче импульс, тем больше необходимая для передачи полоса частот. Это положение справедливо и для любой формы импульса.
На основании формулы (12.18) может быть определена спектраль ная плотность импульсной функции. Для этого предположим, что продолжительность прямоуголь
ного |
импульса т стремится к |
О) |
fft) |
нулю, |
а произведение Ех числен |
|
|
но равно единице при любом значении т. Тогда
г, |
,. |
. |
2Е . ют |
2 |
(ОТ |
Г |
(/СО) |
= — Sin -н- = |
|
Sin -TT-. |
|
u |
' |
(ü |
2 |
сот |
2 |
При |
X ->• О F (/со) -> |
1. |
|
При |
уменьшении |
длительно |
сти |
|
импульса |
будет |
увеличи |
ваться |
расстояние между нача |
лом |
|
координат |
и |
значением |
2л•, при котором спектраль-
|
f,(t) |
|
|
|
0,5 |
0 |
6 |
t |
|
fz(t) |
|
|
|
0,5 |
-0,5 |
0 |
t |
ная |
плотность |
впервые прохо |
Рис. 12.9 |
дит |
через |
нуль |
(см. рис. 12.5, г). |
При |
т = |
0 это |
расстояние ста |
|
нет равным бесконечности. Огибающая спектральной плотности превратится в прямую, параллельную оси абсцисс, поднятую над осью абсцисс на высоту, в относительных единицах, равную еди нице. Это означает, что импульсная функция содержит все гармо нические составляющие с частотами от — оо до + оо и амплитуды этих составляющих одинаковы.
2. Спектр единичной функции (единичного скачка). Сложность определения спектра единичной функции / (/) = 1 (/) объясняется тем, что непосредственная подстановка 1 (/) в выражение прямого преобразования Фурье не приводит к разложению на гармонические
со
составляющие, так как интеграл § 1 (г) e~faf dt не сходится в беско-
о
нечных пределах. Поэтому для разложения 1 (/) на постоянную и гармонические составляющие воспользуемся искусственным при емом.
Изобразим единичную функцию 1 (t) (рис. 12.9, а) в виде суммы слагаемых:
і (О = Ы ' ) + / « ( ' ) •
Первое слагаемое fx (t) (рис. 12.9, б) представляет собой вели чину, равную 1/2 при всех значениях / от — оо до + оо. Иными сло вами, спектр fx (/) содержит только постоянную составляющую, рав ную 1/2.
Второе слагаемое единичной функции /2 (0. изображенное на рис. 12.9, в, можно рассматривать как последовательность пря моугольных импульсов, изображенных в первой строке табл. 8.1. Предположим, что продолжительность периода повторения импуль сов увеличивается и Т -> оо. Спектр функции при этом из линейча того превратится в сплошной. Разность между соседними (нечетными) частотами Асо = 2со0. При Т -> оо она будет уменьшаться, т. е. А со ->• dco. Линейчатый спектр с дискретными частотами ßco0 пре вратится в сплошной спектр с текущей частотой со. Тогда
, |
1 |
ш0 |
|
Асо |
и в |
1 |
da> |
/гсо0 = со, |
т |
= ^ |
= Г щ |
пределе т |
= ш . |
Предел суммы (см. табл. 8.1) |
превратится в |
интеграл |
М О = |
|
со |
|
s i n A w |
= со |
d(ö |
Hm |
2^ |
|
|
°' -H^ - |
|
|
k = l |
|
|
|
о |
|
Этот интеграл называется интегралом Дирихле. Значения ин теграла Дирихле зависят от величины t:
|
|
1_ |
при |
t^>0, |
sin at |
, |
2 |
|
|
|
|
|
±5 |
асо = |
0 |
при |
/ = 0, |
|
і |
1 |
при |
/ < 0 . |
|
2 |
|
|
Таким образом, разложение единичной функции на составляю щие приводит к выражению
со
о
Выражение (12.19) можно переписать иначе:
со
О
Сравнение последнего интеграла с выражением (12.17) позволяет сделать следующее заключение:
|/Ч/со)| = і и. г|> = | .
Следовательно, спектр единичной функции, кроме постоянной составляющей, содержит синусоиды, амплитуды которых убывают с ростом частоты, а начальные фазы их постоянны. В комплексной форме спектральная плотность единичной функции может быть выра жена следующим образом:
* / , ч |
|
со |
|
|
|
Ч- со |
|
1 , 1 |
f e^ - e - ' f f l f |
, |
1 |
. 1 I* е ' и / |
, |
П 0 = |
2 + й } |
2/со |
d a |
= -2 |
+ 2 д |
) l^da- |
3. Спектр отрезка синусоиды. Пусть отрезок синусоиды содер жит целое число периодов, симметрично расположенных относи тельно начала координат (рис. 12.10). Согласно рисунку / (t) =
= Е sin со0 t при значениях t, лежащих в пределах от t — — ~Т.
до t = + ~ T, k — целое число периодов, укладывающихся в отрезке
Рис. 12.10
(на рис. & = 4). Спектральную плотность функции ищем с помощью выражения (12.16а):
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1F (/to) |
I = |
2Е § |
sin щі sin at dt = |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
E |
^ [cos (co0 |
— to) t — cos (co0 |
+ |
<*>) t] dt = |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E sin |
° |
|
kT• |
+ Ш sm |
Mo + Cü kT. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш0 |
|
|
|
После ряда |
простых |
преобразований с |
учетом того, |
что |
k — |
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
целое число и потому sin со0 -у = sin nk = 0, |
выражение |
модуля |
спектральной плотности отрезка |
синусоиды приведем к виду |
|
|
|
\Р(І«>)\ = |
¥ |
|
1 |
sin — kn |
|
|
|
|
1-1-5- |
|
|
|
|
|
C ù 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,ш0 |
|
|
|
|
|
Изображение |
спектральной |
плотности, |
|
построенной |
по |
этой |
формуле в форме одной кривой, дано на рис. 12.11. При —k, рав-
ном целому числу, амплитуда гармонической составляющей равна нулю. При со = «о амплитуда гармонической составляющей мак симальна. Полосы частот между значениями со, при которых F (/со)
обращается в нуль, равны "~ • Отсюда следует, что с увеличением
длительности импульса, т. е. с увеличением числа периодов импульса k, график кривой спектральной плотности сжимается.
Приведенные примеры прямого преобразования Фурье знакомят с техникой определения спектральной плотности непериодических
\\F(J(I))\ |
|
\\F(id))\ |
функций |
времени. |
Спект- |
|
ральные |
плотности некото |
|
|
|
рых |
импульсов |
приведены |
|
|
|
в табл. 12.1. Однако обыч |
|
|
|
но определение |
спектраль |
|
|
|
ной |
плотности ряда |
функ |
|
|
|
ций |
времени |
проще произ |
|
|
|
водить с |
помощью |
таблиц |
|
|
|
изображений |
по |
Лапласу, |
|
|
|
заменяя в последних р на |
|
Рис. |
12.11 |
/со. При |
отсутствии |
в таб |
|
|
|
лице искомого изображения |
существенную помощь в его отыскании может |
оказать исполь |
зование |
свойств |
преобразований Фурье. |
|
|
|
|
|
§ |
12.3. Некоторые свойства |
преобразований |
Фурье |
|
Рассматриваемые далее свойства преобразований Фурье часто позволяют наиболее просто по заданной непериодической функции времени / (t) находить ее спектральную плотность F (/со) или по заданной спектральной плотности F (/со) находить оригинал, т. е. функцию f (t).
Доказательства справедливости ряда рассмотренных свойств преобразований Фурье не проводятся ввиду того, что аналогичными свойствами обладают и преобразования Лапласа. Эти доказательства можно использовать при рассмотрении свойств преобразований Фурье, заменив р на /со во всех соотношениях. Отметим еще раз, что сказанное справедливо в том случае, если рассматриваемые функции вообще допускают преобразования Фурье.
1. Изменение масштаба функции. Если / (/) имеет своим изобра жением F (/со), то af (t) будет иметь своим изображением aF (/со). Математическое выражение этого свойства просто записать, обо значив связь между оригиналом и изображением по Фурье подобно тому, как это делалось в операторном исчислении с помощью знака равенства с двумя точками.
Если f (t) = F (/со), то af (t) == aF (/со).
2. Свойство линейности. При преобразованиях Фурье вслед ствие их линейности может быть использован принцип наложения, в силу которого изображение суммы функций равно сумме изобра жений этих функций. Если
Ы 0 # ^ ( / « ) и М О т ^ О ' ю ) . то /і(0 + М 0 # Л ( / с о ) + Г2(/с<>).
Иными словами, спектральная плотность суммы двух функций равна алгебраической сумме спектральных плотностей каждой из функций в отдельности.
П р о д о л ж е н и е табл . 12.1
3.Теорема подобия. Пусть задана функция времени и известна
ееспектральная плотность / (/) ф F (/со). Спектральная плотность новой функции времени / (kt), где к — постоянная, определится выражением
Следовательно, увеличение продолжительности преобразуемого импульса, как уже отмечалось, вызывает сжатие его спектральной характеристики и уменьшение амплитуд гармонических составля ющих спектра. Это равенство подтверждает ранее обнаруженное
\F(jCO)\
-Сг) |
~й)0 |
|
О |
|
+О0 |
Ù) |
|
|
|
Рис. |
12.12 |
|
|
|
|
свойство — при передаче сигналов в форме |
отдельных |
импульсоз |
ширина полосы пропускания должна быть тем больше, |
чем короче |
передаваемые |
импульсы. |
Если / (t) ф |
F (/со), то |
f (t ± |
t0) Ф |
4. Теорема |
запаздывания. |
Ф F (jw) е±і<0'°. |
Согласно этой |
теореме |
запаздывание функции на |
время т0 вызывает смещение |
фазового |
спектра функции на |
угол |
сот0, но амплитудный спектр |
не |
изменяется. |
|
|
С помощью теоремы запаздывания может быть найдена спектраль ная плотность - последовательности одинаковых импульсов, если известна спектральная плотность одного импульса. Спектральная плотность последовательности из двух одинаковых импульсов при запаздывании второго импульса на т0 на основании теоремы линей ности определяется в виде суммы:
F2 (/со) = F (/со) + F (/со) е - ' т \
Спектральная плотность последовательности из п одинаковых импульсов, следующих друг за другом с периодом т0 :
Fn (/со) = F (/со) + F (/со) е - ' м т ° + F (/со) e-'2 f f l T ° + ...
. . . - f J F(/ co ) e - / ( " - 1 ) u , T « .
Сумму членов ряда можно преобразовать с помощью формулы
суммы |
членов |
геометрической прогрессии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
WOT,, |
— і(п~ |
1)ит0 |
|
|
|
|
S = |
F(jw) |
= |
F (ja)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 _ е /<ит 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Теорема |
смещения. |
Если |
/ (0 = |
F (/<•>), |
то |
f(t)e±i°>°( |
= |
= F (/со =р /со0). Иными |
словами, смещение |
спектра |
функции |
на |
|
|
|
|
±со 0 , |
т. е. |
изменение |
угловых |
|
|
|
|
частот |
всех |
гармонических |
со |
F(jù)).-f(t) |
|
|
ставляющих |
на |
величину |
± с о 0 ) |
|
|
связано с |
умножением |
выраже |
|
|
|
|
|
|
|
|
ния импульса на оператор е '- |
|
|
|
|
|
На рис. 12.12, а изображена спек |
|
|
|
|
тральная |
плотность |
некоторой |
|
|
|
|
функции f (t), а на рис. 12.12, |
б— |
|
|
|
|
спектральные |
плотности |
функ |
|
|
|
|
ций / (/) е - |
|
и / (0 е+''">•*. |
|
|
Рис. |
12.15 |
|
На основании свойства смеще |
|
|
|
|
ния спектра функции можно най |
ти спектры отрезков синусоид и косинусоид по известным спектрам огибающих этих гармонических функций. Так, например, зная спектральную плотность прямоугольного импульса (см. рис. 12,5, г),
\І\У(ѵ+а0)\ {\FJ(0)-ù)o)
можно найти спектральную плотность отрезка косинусоиды. Дей ствительно, пусть задана функция / (t) cos со0 t и известно, что спектральная плотность / (f) = F (/со). Преобразуем заданную функ цию, записав cos со0 / в показательной форме:
/ (0 cos со„/ = 1 f (t) ем + ! / ( / ) е - /«•'.
Согласно предыдущему спектральная плотность заданной функ ции будет иметь вид
f (t) cos щіф 1 F (/со - /со0) + 1 F (/со + /со0). |
(12.21) |
