книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Подставив эти выражения в ряд Фурье (12.1), получим (12.2):

Удобно ввести отрицательные значения порядковых номеров коэффициентов ряда. Согласно (8.3) и (8.4) при изменении знака k

a„k = —ak, b_k = —bk.

Кроме того, при k = О коэффициенты ак= а0 и bk = 0. Поэтому

Комплексные амплитуды N[k отличаются от комплексных ампли­ туд гармонических составляющих ряда Фурье только начальными фазами. Подставив (12.4) в выражение (12.3), получим

0 0

Согласно (8.3) и (8.4) комплексная амплитуда

^2

341

По причине, которая станет ясной после получения конечного результата производимых преобразований, заменим обозначение те­ кущего времени t в формуле (12.6) буквой х, пользуясь тем, что оп­ ределенный интеграл не зависит от обозначения переменной. При новом обозначении

k — — со

Величина k в (12.5) и (12.7) принимает все положительные и отри­ цательные целочисленные значения, включая и k = 0. Напомним, что k означает номер гармонической составляющей, a k а>0 — угло­ вую частоту этой составляющей. Так как &со0 может быть и положи­ тельно и отрицательно, возникает представление о положительных и отрицательных частотах. Отрицательные частоты удобны при ма­

ность амплитуд гармонических составляющих этой функции. На­ чальные фазы гармонических составляющих образуют фазовый спектр функции. Спектр функции может быть выражен аналити­ чески, а также изображен в виде графика, связывающего амплитуды

счастотами гармонических составляющих разлагаемой функции. Исследование спектра периодической последовательности им­

пульсов и выяснение закономерностей общего характера произве­ дем путем обобщения результатов анализа разложения бесконеч­ ной последовательности прямоугольных импульсов, изображенной на рис. 12.3. Этот путь исследования позволит нам на частном при­ мере разложения установить связь между спектром периодической последовательности импульсов и спектром одиночного импульса этой последовательности.

342

Выберем начало координат в середине импульса, как показано на рис. 12.3. Тогда согласно (8.3) и (8.4)

Изобразим постоянную составляющую и амплитуды гармониче­ ских составляющих на графике в некотором масштабе в виде вер­ тикальных прямых, проведенных из точек, соответствующих угло­ вым частотам со = 0, о> = соа, со = 2соа, со = Зсоа и т. д., отложен­ ным в масштабе угловой частоты со вдоль оси абсцисс.

Рис. 12.5, а изображает спектр периодической последовательно­ сти прямоугольных импульсов рис. 12.4, а. В данном случае спектр содержит дискретные частоты. Такой спектр называется линейча­ тым, или дискретным. Ясно, что всякая периодическая функция времени, в частности всякий периодический ряд импульсов, имеет линейчатый спектр, что соответствует разложению в ряд Фурье.

Условимся в дальнейшем при изображении спектров в виде ор­ динат откладывать не сами амплитуды гармонических составляю­ щих, а их относительные значения, определяемые как отношения амплитуд соответствующих составляющих к постоянной составляю­ щей разложения или к амплитуде первой гармонической, если постоянная составляющая отсутствует.

При периодической последовательности прямоугольных импуль­ сов согласно принятому выше условию в качестве ординат спектра на рис. 12.5, а—-г отложены единица и коэффициенты при всех слагаемых, заключенных в квадратные скобки в выражении (12.8 а)

343

5) *o

Изображение относительных значений амплитуд гармонических составляющих позволяет сохранить масштаб по оси ординат оди­ наковым для всех изменений периода повторения импульсов.

На рис. 12.5, а—г индексы угловых частот to гармонических составляющих совпадают с индексами у обозначений периодов сле­ дования импульсов на рис. 12. 4, а—г. Относительные значения амплитуд являются важной характеристикой спектра. Это объяс­ няется тем, что для выяснения влияния электрической цепи на

ном начале разложения представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат, ряд Фурье содержит только сину­ соидальные функции, и начальные фазы синусоидальных составляю­ щих могут быть равны 0 или я . Если последовательность импульсов при соответствующем выборе начала координат окажется симметрич­ ной относительно оси ординат, в ряде Фурье сохранятся только косинусоидальные функции и начальные фазы составляющих будут

Рис. 12.7

равны я/2 или —я/2. Вообще же начальные фазы гармонических составляющих могут иметь любые значения от —я до я . Спектр начальных фаз рассматриваемой последовательности прямоуголь­ ных импульсов (см. рис. 12.4, а) изображен на рис. 12.6. Значения ординат равны ± я / 2 .

Спектр может быть изображен иначе, чем на рис. 12.5, в соот­ ветствии с введенными отрицательными частотами гармонических составляющих. Например, в равенстве (12.8 a) cos &со0/ можно за­ менить на ~ cos k(û0t - f -g- cos (— k(ù0t). При этом ширина спектра

удваивается и изображение спектра становится симметричным от­ носительно оси ординат. Изображение спектра с отрицательными частотами дано на рис. 12.7. Амплитуда каждой гармонической со-

345

ставляющей при таком изображении спектра становится равной, как указано выше, алгебраической сумме двух амплитуд: амплитуде гармонической составляющей с частотой kio0 и амплитуде гармони­ ческой составляющей с частотой—ku>0. В таком изображении спек­ тра каждый вертикальный отрезок, кроме постоянной составляю­ щей, становится в два раза короче соответствующего отрезка на

вая частота со0 первой гармонической составляющей и, следова­ тельно, разность между угловыми частотами соседних составляю­

Если масштаб <м сохранить одинаковым, то место амплитуды первой гармонической составляющей линейчатого спектра последователь­ ности рис. 12. 4, а, изображенного на рис. 12.5, а, займет амплитуда второй гармонической составляющей спектра последовательности импульсов рис. 12. 4, б, изображенном на рис. 12.5, б. Частоты этих гармонических составляющих одинаковы, только различны их номера. Спектральные линии на рис. 12.5, б расположены в два раза гуще, чем на рис. 12.5, а, а на рис. 12,5, в в четыре раза гуще, чем на рис. 12.5, а.

С удлинением периода следования импульсов амплитуды гармо­ нических составляющих тех же частот уменьшаются, однако отно-

шения амплитуд-^Р- остаются неизменными. В этом и заключается

л о

смысл изображения на графиках относительных значений амплитуд гармонических составляющих. Длина спектральной линии на час­ тоте соа на рис. 12.5, а та же, что и длина спектральной линии на частоте 2соб на рис. 12.5, бит частоте 4сов на рис. 12.5, в. Поэтому форма и ординаты плавной кривой, огибающей спектральные ли­ нии, сохраняются независимо от длины периода повторения им­ пульсов.

Логика подсказывает, что форма огибающей спектра должна сохраниться неизменной и в том случае, если период следования импульсов будет стремиться к бесконечности. Огибающая кривая изображена только на рис. 12.5, г и 12.7.

3. Спектр одиночного импульса. Интеграл Фурье. Увеличивая промежутки времени между отдельными импульсами периодической

346

вых частот между соседними гармоническими составляющими будет стремиться к нулю, как это следует из равенства (12.9).

составляющих становятся бесконечно малыми, а число их в конеч­ ной полосе частот становится бесконечно большим. Понятие номера гармоники k теряет при этом смысл и произведение &со0 принимает не дискретные значения, как на рис. 12.5, а—в, а становится непре­ рывной величиной со = /гсо0, принимающей все возможные значения от — с о до + 0 0 . Спектр периодической последовательности импуль­ сов при увеличении периода следования до бесконечности из линей­ чатого превращается в сплошной.

Совершая предельный переход от периодической последователь­ ности импульсов к одиночному импульсу, т. е. увеличивая Т до бесконечности, заменяя Дсо на сісо и сумму интегралом, получим

+ 0 0 + оо

чтобы различать эти величины, обозначение t было заменено обозна­

+ со

F(j(ù)= $ f(x)e-fa*dx

— со

или, вернувшись при раздельном рассмотрении интегралов к при­ вычному обозначению текущего времени буквой t,

347

функция времени разлагается на бесконечно большое число гармо­ нических составляющих, возникших бесконечно давно и существую­ щих бесконечно долго. Амплитуды гармонических составляющих бесконечно малы. Они определяются как суммы амплитуд гармони­ ческих составляющих с положительными и отрицательными часто­ тами:

2 2я I F ( / < й ) I d ( ù = І I F ( / c o ) ' d a -

Сумма ординат этих составляющих равна нулю, за исключением того отрезка времени, в течение которого сумма ординат составля­ ющих равна ординатам заданного импульса. Выражение (12.10) можно переписать так:

- f c o

Спектральная плотность является частотной характеристикой временной функции и по амплитуде и по фазе. Модуль спектральной плотности I F (/со) I определяет распределение относительных зна­ чений амплитуд гармонических составляющих импульса по часто­ там этих составляющих, а аргументы спектральной плотности — значения начальных фаз составляющих. Эти величины откладыва­ ются обычно в виде графиков соответственно амплитудных и фазо­ вых спектров. На рис. 12.5, г изображена зависимость | F (/со) | от угловой частоты для одиночного прямоугольного импульса (см. рис. 12.4, г). Тут же зависимость изображает плавная огибающая кривая на рис. 12.7.

В тех случаях, когда функция / (t) отлична от нуля лишь в про­ межутке от 0 до + оо, прямое преобразование Фурье получает название одностороннего:

со

о

Сравнивая формулу прямого одностороннего преобразования Фурье с формулой изображения по Лапласу, следует заключить, что преобразование Фурье является частным случаем преобразова­ ния Лапласа, в котором комплексное р заменено мнимым /со. Спек­ тральную плотность функции аналогично изображению по Лапласу часто называют изображением по Фурье.

В результате обратного преобразования Фурье по частотной

/характеристике функции F (/со) определяется ее временная харак­ теристика / (/), т. е. по изображению находят оригинал. Необхо-

348

димо, однако, отметить, что преобразование Фурье допустимо только в том случае, если функция / (/) абсолютно интегрируема в беско-

+ со

нечных пределах, иначе говоря, когда интеграл ^ \ f (t)\dt схо-

— со

дится (имеет конечную величину). Последнее обстоятельство сужает область применения преобразования Фурье по сравнению с более общим преобразованием Лапласа.

Из сказанного следует, что отыскание спектра функции или изображения по Фурье можно часто заменить отысканием изобра­ жения этой функции по Лапласу с последующей заменой в изобра­ жении р на /со. Подобным же путем обратное преобразование Фурье можно заменить отысканием оригинала по известному его изобра­ жению по Лапласу с помощью формулы разложения (11.34), если предварительно в изображении по Фурье /со заменить на р. Однако эти преобразования и переход от формул Лапласа к формулам Фурье и обратно возможны только в том случае, когда преобразу­ емая функция допускает одностороннее преобразование Фурье. В этом случае функция может быть преобразована по Фурье с по­ мощью таблиц оригиналов и изображений по Лапласу. Символ соответствия между функцией времени / (/) и ее спектральной плот­ ностью тот же, что и при изображении соответствия между ориги­ налом и изображением по Лапласу: f (t) = F (/со).

Отметим связь между значениями спектральной плотности оди­ ночного импульса и амплитудами гармонических составляющих периодической последовательности таких импульсов. Для этого сравним выражение (12.6) комплексных амплитуд гармонических составляющих периодической последовательности импульсов с пери­ одом Т со спектральной плотностью одиночного импульса той же последовательности (см. формулу 12.11), если импульс существует

Т. Т

впромежутке — Д° + у :

т

'т

откуда

Mk^F(jkco0). (12.13)

Таким образом, амплитуда k-й гармоники разложения в ряд периодической последовательности импульсов с угловой частотой со0 связана со значением спектральной плотности одиночного импульса

349

ций. Формы одиночных импульсов, встречающихся в электротехни­ ческой практике, весьма разнообразны. В некоторых случаях они таковы, что при надлежащем выборе начала отсчета времени импульс оказывается симметричным относительно начала координат или оси ординат. Импульс, симметричный относительно оси ординат, представляет собой четную функцию времени, а импульс, симмет­ ричный относительно начала координат, — нечетную функцию времени. Особенности преобразования симметричных импульсов по­ добны тем, с которыми встречались при разложении в ряд Фурье периодических несинусоидальных напряжений и токов.

Спектральная плотность непериодической функции времени в общем случае разложения представляет собой согласно (12.11) комплексную функцию со:

F (/со) = I f (t) [cos at — / sin at] dt.

—0 0

Введя обозначения вещественной и мнимой частей спектральной плотности

+0O

Re {F (/со)} = $ f(t) cos at dt,

На рис. 12.8, а изображен импульс в виде четной функции вре­ мени, а на рис. 12.8, б — нечетной.

Если / (t) — четная, т. е. / (t) = f (—t), то произведение / (t) sin at есть нечетная функция t. В этом случае мнимая часть спектральной плотности как интеграл нечетной функции в пределах, симметрич­ ных относительно нуля, равна нулю, и сама спектральная плот­ ность оказывается вещественной функцией со:

-f- со со

F (ja,) = Re {F (ja)} = \ f (t) cos at dt = 2 $ / (t) cos at dt. (12.16)

350