книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Выражение в скобках представляет собой геометрическую

3. Теорема смещения. Теорема смещения позволяет по извест­

Таким образом, умножение временной функции / (t) на экспонен­ циальный множитель вида ë~at влечет за собой «смещение» в области изображений независимой переменной р на р + а. Математически сущность теоремы смещения записывается так: если

е~о/ при вещественном положительном «а» указывает на затухание функции, то эту теорему называют также теоремой затухания.

Практически ценность теоремы смещения явно проявляется при определении изображения экспоненциально убывающих функций. Например, требуется найти изображение функции

ср (t) = sin cote-™'.

Известно, что sin at ==-тт—•>•

331

Таким образом, произведению изображений двух функций соот­ ветствует свертка их оригиналов. Доказательство этой теоремы при­

В данном случае Fx (p) = F2 (p) = ^ p ^ = e-a '.

Ф (t) = J e-a T e-a ^"T ' dx = e"a f $ dx = te'at,

Теорема свертки широко используется для составления таблиц операторных соотношений. Если изображение искомой функции может быть представлено в виде произведения двух (или большего числа) сомножителей, то по оригиналам каждого из сомножителей

-Р + <*

Приняв за параметр а, дифференцируя согласно (11.44), получим

,1

Таким образом, ге~а < = ;—і—-г.

332

Продолжая дифференцирование, найдем

6. Теорема дифференцирования изображений. Продифференци­ руем по р обе части формулы преобразования Лапласа. Получим

Сопоставляя правую часть с левой в соответствии с преобразо­ ванием Лапласа, можно установить, что

F'(p)^-tf(t). (11.46)

§11.11. Дифференцирующие и интегрирующие цепи

Внекоторых радиотехнических системах, счетно-решающих устройствах и схемах автоматического регулирования оказывается необходимым преобразовывать импульсы напряжения в импульсы, пропорциональные производным или интегралам этих напряжений.

Такие преобразования производят цепи, называемые соответ­ ственно дифференцирующими и интегрирующими цепями.

Дифференцирующие и интегрирующие цепи представляют со­ бой так составленные линейные четырехполюсники, что сигналы fx (/), поступающие на их вход, преобразуются в сигналы, пропор­

ников, или в сигналы, пропорциональные $ fx (t) dt на выходе ин-

и

тегрирующих.

1. Дифференцирующие цепи. Простейшим дифференцирующим устройством является индуктивность. Если через индуктивность пропускать ток і, изменяющийся с течением времени, то напряже­ ние на индуктивности окажется пропорциональным производной

этого тока по времени:

г di

UL-L-Д.

С помощью емкости можно преобразовать напряжение, прило­ женное к емкости, в ток через емкость, пропорциональный произ-

ззз

водной напряжения по времени:

на выходе. Это преобразование напряжения в напряжение можно приближенно осуществить с помощью двухэлементных схем, изо­ браженных на рис. 11.6 и 11.7.

Если в цепи рис. 11.6 выбрать сопротивление г и индуктив­ ность L такими, чтобы характер изменения тока в цепи мало за­ висел бы от L, а определялся бы главным образом сопротивлением

'г

г, то форма тока в цепи практически будет повторять форму напря­ жения, приложенного ко всей..цепи. Напряжение же на выходе че­ тырехполюсника, т. е. на индуктивности, будет соответствовать производной напряжения на входе.

Для пояснения сказанного напишем уравнение Кирхгофа для цепи рис. 11.6:

Напомним, что умножение изображения на р соответствует диф­ ференцированию оригинала. Следовательно, напряжение на выходе пропорционально производной напряжения на входе:

du-.

При любой форме сигнала, поступающего на вход устройства, операторное сопротивление индуктивности pL должно быть много меньше активного сопротивления г:

I PL i < г.

334

Поясним смысл этого неравенства на частном примере. Пусть на вход дифференцирующего четырехполюсника подается напряже­ ние в форме последовательности импульсов. Разложим эту последо­ вательность на гармонические составляющие. В этом случае р — = jkiù, где ka — угловая частота k-н гармоники разложения. В рас­ сматриваемом случае условие дифференцирования сводится к не­ равенству k(àL <; г.

Таким образом, в дифференцирующей цепи при подаче на вход последовательности импульсов сопротивление г должно быть много больше сопротивления, оказываемого индуктивностью высшим гар­ моническим составляющим напряжения на входе цепи. Независимо от характера сигнала дифференцирование будет тем точнее, чем меньше постоянная времени цепи т = L/r по сравнению с длитель­ ностью дифференцируемого сигнала. При разложении сигнала, поступающего на вход на гармонические составляющие, можно напи­ сать

где Tk — период учитываемой высшей гармонической составляющей. В дифференцирующей цепи, изображенной на рис. 11.7, выход­ ным напряжением четырехполюсника служит падение напряжения на г. В этой схеме сопротивление г должно быть весьма малым по сравнению с операторным сопротивлением емкости. Это следует из

уравнения Кирхгофа для цепи с г и С:

I(p)r + I(p)-^U1(p).

можно малыми.

Иными словами, и в цепи с г и С, как и в цепи с г и L, постоянная цепи должна быть возможно малой, и чем она меньше по сравнению с длительностью дифференцируемого сигнала, тем точнее диффе­ ренцирование. Однако чем меньше т, тем меньше численное зна-

335

чение « 2 = T d | . Поэтому в обеих схемах требуются усиления вы­ ходного напряжения. Это усиление осуществляется обычными для

радиотехники средствами.

При использовании дифференцирующей цепи выбор схемы с ем­

Допустим, что сопротивление г в цепи рис. 11.8 столь мало, что напряжение на катушке и напряжение, приложенное ко всей цепи, можно считать одинаковыми:

I(p)r + UL(p) = U1(p),

где

Тогда напряжение на активном сопротивлении или напряжение на выходе четырехполюсника в любой момент времени окажется пропорциональным интегралу входного напряжения:

1 / . Ю _ , И , _ й М . £ _ Ш й

где т = Ыг — постоянная времени цепи. Возвращаясь к оригиналам, напишем

«г {t) = \ ^ "і dt.

Для большей точности интегрирования следует выбрать г воз­ можно малым, a L большой. Другими словами, постоянная времени цепи должна быть возможно большой по сравнению с длительностью интервала,интегрирования.

Если опять напряжение на входе интегрирующей системы раз­ ложить на гармонические составляющие, когда р = /&со, то ока-

336

Г л а в а д в е н а д ц а т а я ОСНОВЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА

В электрических цепях ряда устройств автоматики, телемеха­ ники и связи нормальный режим работы носит импульсный характер. Это означает, что электромагнитная энергия в цепи этих устройств поступает не непрерывно, а в течение конечных промежутков вре­ мени — импульсами.

электрическую цепь напряжения в виде сложной функции времени это напряжение полезно разложить на сумму составляющих напря­ жений, являющихся более простыми функциями времени. Эти более простые функции времени называют элементарными.

Решение задачи по расчету электрической цепи, находящейся под воздействием импульсного напряжения, при этом упрощается

иделится на три этапа:

1.Заданная сложная функция времени разбивается на ряд элементарных напряжений, подобных друг другу.

2.Определяется реакция на воздействие элементарного на­ пряжения.

3.Определяется реакция цепи на воздействие сложной функции как алгебраическая сумма реакций цепи на элементарные воздей­ ствия.

Все элементарные составляющие сложного воздействия выби­ раются подобными друг другу для того, чтобы были подобны вызы­ ваемые ими реакции цепи. Реакция цепи на воздействие элементар­ ной функции является характеристикой этой цепи в поставленной задаче.

338

В гл. X при исследовании переходных процессов с помощью интеграла наложения (Дюамеля) в качестве элементарной функции при разложении напряжения сложной формы была использована единичная функция (единичный скачок). Сложное воздействие на электрическую цепь оценивалось как сумма воздействий на эту цепь отдельных скачков напряжения, отличающихся друг от друга только масштабом и моментом возникновения. Характеристика исследуемой цепи представляла собой реакцию цепи на единичный скачок и называлась она переходной характеристикой цепи h (t).

В другом варианте решения той же задачи с помощью интеграла наложения в качестве элементарной функции была использована импульсная функция (дельта-функция). Реакция цепи на импульс­ ную функцию получила название импульсной характеристики цепи g (t). Зная переходную или импульсную характеристику цепи, мы

Рис. 12.1

находили интересующее нас напряжение на выходе при заданном напряжении на входе цепи.

В теории электрических цепей при определении реакции линей­ ной электрической цепи на воздействие импульса напряжения широ­ кое распространение получили так называемый спектральный ана­ лиз или спектральный метод исследования. Сущность спектрального метода заключается в том, что в качестве элементарных составляю­ щих импульса выбирают синусоидальные функции времени, отли­ чающиеся друг от друга по частоте, амплитуде и начальной фазе. При этом предполагается, что синусоидальные составляющие на­ пряжения поступили на вход бесконечно давно и реакция цепи на каждое из элементарных воздействий носит установившийся ха­ рактер. Таким образом, анализ прохождения электрического им­ пульса через линейную цепь, т. е. задача переходного процесса, заменяется расчетом цепи для множества гармонических составляю­ щих импульса в установившемся режиме.

Настоящая глава посвящена обоснованию основных соотноше­ ний и выводу формул спектрального метода анализа прохождения электрических сигналов через линейные электрические цепи, если сигналы, воздействующие на цепь, представляют собой отдельные импульсы тока или напряжения или ограниченные последователь­ ности таких импульсов.

В цепях управления и связи используются импульсы двух ти­ пов — видеоимпульсы и радиоимпульсы.

339

дулирующей или огибающей, а само высокочастотное заполнение

§12.1. Ряд и интеграл Фурье

1.Ряд Фурье в комплексной форме. Анализ работы линейной электрической цепи, находящейся под воздействием периодического несинусоидального напряжения, производился с помощью предва­ рительного разложения несинусоидального напряжения в ряд Фурье, содержащий гармонические составляющие. Подобным же разложением в ряд Фурье следует воспользоваться и в том случае, если несинусоидальное напряжение представляет собой периодиче­ скую последовательность отдельных импульсов.

Одиночный импульс любой формы можно рассматривать в ка­ честве периодической последовательности подобных же импульсов, но при бесконечно больших промежутках времени между ними. Сле­ довательно, воспользовавшись разложением в ряд Фурье периоди­ ческой последовательности импульсов и увеличивая до бесконеч­ ности продолжительность периода этой последовательности, можно осуществить разложение в ряд одиночного импульса.

Для осуществления такого предельного перехода приведем сна­ чала выражение ряда Фурье к комплексной форме, воспользовав­ шись для этого выражением (8.2):

340