книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

2. Вычисляют производную знаменателя дроби В' (р) и под­

рактеристического уравнения, или, иначе говоря, равно порядку дифференциального уравнения.

§ 11.7. Некоторые вспомогательные приемы вычисления оригинала

Остановимся на некоторых вспомогательных приемах, позволяю­ щих найти оригинал по изображению функции, которое не удовлет­ воряет требованиям, дающим право применить теорему разложения

ввиде формулы (11.34).

1.Рассмотрим случай, когда изображение в виде рациональной

Тогда f (t) = J dr J e-«' dt = e " ^ + a f ~ ' •

о0

2.Пусть изображение искомой функции содержит в знаменателе

В(р) два равных корня рх = р 2 = —а. Теорема разложения в виде формулы (11.34) для определения оригинала не применима, так как изображение содержит кратные корни, т. е. не удовлетворяет требо­ ваниям, сформулированным при доказательстве теоремы. Предпо­

ложим, что корни не равны друг другу, например, рх = —a, a р 2 = —ß = —(а -f- Да). Будем искать оригинал для другого изоб­ ражения, подобного исходному, но не имеющего кратных корней. В этом случае можно применить теорему разложения и найти ори-

322

гинал. Если теперь устремить ß -> а (Да -ѵ 0), то получим ориги­ нал, соответствующий исходному изображению. Например, тре­ буется определить оригинал изображения

Определим оригинал другого изображения, подобного F (р):

Рассмотренный прием, очевидно, можно применить и в тех слу­ чаях, когда знаменатель содержит корни более высокой крат­ ности, чем вторая.

§ 11.8. Переходные процессы при ненулевых начальных условиях

При ненулевых начальных условиях, в момент коммутации на­

до возникновения переходного процесса запасом энергии в виде энергии электрического и магнитного полей.

учтены при составлении операторных уравнений. Надо ожидать, что законы Ома и Кирхгофа в этом случае изменятся в своей записи и примут более общую форму, из которой как частный случай долж­ ны вытекать формулы (11.21) и (11.24), справедливые для цепей с нулевыми начальными значениями. Решение задач с ненулевыми на­ чальными условиями, особенно если расчету подлежат разветвлен-

ные цепи, удобно производить в два приема. Вначале составляются дифференциальные уравнения, а затем с помощью преобразования Лапласа переводят их в операторную форму. Получение соответ­ ствующих уравнений в операторной форме не вызывает затрудне­ ний, поскольку все основные операции перехода рассмотрены выше.

Пусть цепь из последовательно соединенных л, L и С (см. рис. 11.1), в которой действует э. д. с. е, находится в установившемся режиме. В цепи протекает ток /, а конденсатор заряжен до напря­ жения ыс . По заданным параметрам цепи и известной э. д. с. е ток и напряжение на конденсаторе в установившемся режиме легко вычисляются известными методами. Будем считать, что они опре­ делены.

Предположим далее, что в некоторый момент времени (t = 0) величина э. д. с. источника е изменилась, в результате чего в цепи возникает переходный процесс при ненулевых начальных условиях. Найдем начальные значения переменных і (0) и ц с (0).

Запишем уравнение цепи:

Это уравнение легко перевести в операторную форму, восполь­ зовавшись выражениями (11.13) и (11.19). Получим

324

если их положительные направления, при которых они были определены, совпадают с направлением обхода кон­ тура. На основании сказанного может быть построена эквивалентная опера­ торная схема, отличающаяся от задан­ ной тем, что в ветви, содержащие ин­ дуктивности с ненулевыми начальны­ ми условиями, вводятся источники напряжения с напряжением Lkik (0). А в ветви, содержащие емкости, —

кона Кирхгофа в операторной форме.

Положительное направление напряжений источников с напряже­ нием Lkik (0) должно совпадать с положительным направлением тока ік (0), а положительное направление напряжений источников

§ 11.9. Пример расчета переходного процесса в сложной цепи при ненулевых начальных условиях

Электрическая цепь рис. 11.2 питается источником с напряже­ нием Е = 600 е. В момент, принятый за начало отсчета времени, замыкается ключ К. Предполагая, что к моменту замыкания ключа

325

Теперь от самих токов іх и і2 перейдем к их изображениям, ко­ торые обозначим через Іх (р) и / 2 (р).

Вспомним, что при ненулевых начальных условиях изображе­ ние производной функции равно

Следовательно,

§ # р М р ) - |

и

так как в момент начала отсчета времени ток в первой ветви был іх = —, а тока во второй ветви еще не было. Напишемте же уравне-

г X

ния Кирхгофа, но в операторной форме

326

Оригинал находим с помощью формулы разложения. В данном случае

Л I \ 2 1 О Л Л I 4 0 0 0 0

§ 11.10. Некоторые теоремы операторного метода*

Докажем некоторые теоремы, позволяющие увеличить круг основных операторных соотношений. Эти теоремы находят непо­ средственное применение при теоретических исследованиях и при решениях ряда задач. В частности, таких задач, при решении ко­ торых необходимо обойти некоторые ограничения, принятые при выводе теоремы разложения.

1. Теорема подобия. Теорема позволяет определить изображение функции ф(/) = / (at), где а — некоторая положительная постоян­ ная, если известно изображение / (t) == F (р). Иначе говоря, тео­ рема позволяет определить изображение временной функции при изменении масштаба ее аргумента. Если временная функция яв­ ляется аналитическим выражением колебательного процесса, то теорема подобия позволяет записать изображение функции при из­ менении частоты колебания оригинала по известному изображению первоначальных колебаний:

* В табл. 11.2 приведены некоторые теоремы операторного исчисления.

327

Т а б л и ц а 11.2

Некоторые свойства преобразований Лапласа

0

328

Возвращаясь вновь к обозначению переменной через t,

со

ij j / ( 0 e - ^ = i / 4 P l ) = i F

Окончательно имеем

т. е. умножение аргумента оригинала на положительное постоян­ ное число а приводит к делению аргумента изображения и самого изображения F (р) на то же число а. Например,

Ф (at) = / (hat) = sin k(ùt,

2. Теорема запаздывания. Эта теорема позволяет определить изображение временной функции с запаздывающим аргументом по изображению той же функции, начинающей свои изменения при

t = 0. Иначе говоря, теорема запаздывания позволяет определить изображение функции ф(/) = / (t — tt), которая отличается от / (/) тем, что сдвинута вправо вдоль оси времени на tx\

Графики функций f (f) и ф (t) приведены на рис. 11.3. Изобра­ жение определяется так:

так как в интервале (0 — tx) функция ф(/) = 0.

329

Таким образом, запаздывание функции на время tu т. е. сдвиг исходной функции вдоль оси времени на tlt соответствует умноже­ нию ее изображения на е~рік Теорема запаздывания дает возможность определить изображение кусочно-непрерывных функций, причем изображение представляет собой непрерывную функцию р.

4>(t)

В качестве первого примера определим изображение прямоуголь­ ного импульса ср (t), действующего от tx до /2 , (рис. 11.4). Этот им­ пульс можно записать с помощью единичной функции:

ср ( 0 = 1 ( / - / і ) - 1 ( / - / 2 ) .

Всоответствии с доказанной теоремой изображение

Определим изображение последовательности прямоугольных импульсов, возникшей в момент начала отсчета времени (рис. 11.5). Записать ее можно в-следующей форме:

Используя теорему запаздывания, получим изображение

330