Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

21.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 6031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Когда задачу анализа переходного процесса допустимо за менить определением напряжения на конденсаторе непосредственно после коммутации, можно использовать для решения закон сохра нения заряда. Запас энергии не остается постоянным. До замыкания ключа количество энергии в контуре

	Wa(Q-)<
после замыкания	ключа
	( d + C 2 ) [ « c (0)F	ruin
и м о + )	=	2(C, + C2 ) <

Часть энергии расходуется на потери в проводах, но при этом идеализированном рассмотрении процесса она не учтена. Рассмот рим теперь более сложную задачу — переходный процесс в цепи рис. 10.35, в которой в момент t = 0 происходит размыкание ключа /( .

Когда ключ замкнут,

	Л7»	h (0_) = 0,
		h (0_) = 0,
но после	размыкания		ключа
Рис. 10.35	«'i(0+) = /,(0+ ),
что противоречит закону коммутации (см. формулу			10.2).
Чтобы решить эту задачу, допустим возможность скачков тока.
Ток в первой катушке запишем так:
'1 = ^ - / ( 0 1 ( 0 ,			(10.76)

где / (0 — неизвестный пока закон убывания тока после размы кания ключа. Ток во второй катушке должен совпадать с током в первой катушке. Поэтому

'• = [ 7 ? - К О ] НО-			О 0 - 7 7 )
Согласно второму закону	Кирхгофа
Uo = Г Л +	U § + ггіг +	U%	(10.78)
В уравнении содержатся два тока іх и і2,		так как в момент комму

тации эти токи изменяются по разным законам и в уравнении при сутствуют производные токов.

При подстановке (10.76) и (10.77) в уравнение (10.78) надо учесть,

что

| [ Ф ( / ) І ( 0 ] - Ф ' ( 0 Ч 0 + Ф (0)6(0.

300

так как производная единичной функции не равна нулю только при / = 0. Поэтому

и0=и0-	rj (t) 1 (t) -	W	(t) 1 (t) - Uf (0) ô (t) + U0 £ 1 (0 -
	r2f(t)\(t)-L2f		(t)	\{t)+L\ .\u/n	- f ( 0 ) 6(0.
				L ri	приравнять коэффици
Это уравнение распадается на два, если					приравнять коэффици
енты при ô (t) и при 1 (t).		Получаем
	£ Л ^ = ( ^ + І 2 ) / ( 0 ) ,
	U0rf = (Lx	+	U) f	(t) + (ri +	r2)f(t).

Первое из них определяет начальное значение / (t):

Второе уравнение можно переписать так:

Его решение

		ï® = U'7J£ïb				+A*		Х'	(10-80)
где				L	Y +	L 2
			х-	L	Y +	L 2
			х-
Согласно	(10.79) и	(10.80)
и
		л U0	f	І 2	As	гг	+	r2
		ri	U i +		As	rx	+	r2
Поэтому	согласно	(10.80)
					Z-2			T2
		\|/, + r2	1	\Li + L2				/•, + /-!!/
Подставляя это значение в равенства							(10.76) и (10.77),		получаем
окончательно								1
								1
	=£					-йі;И] <<>}•

301

Задача таким		образом	решена.		ч
					ч
					Ч'	ип
		1	ч+ч	Ht)	> h —	ип	(t).
			ч+ч			ч + ч
Здесь опять исключается рассмотрение самого переходного
процесса,	а определяются лишь				скачки	токов,	происшедшие за
короткое	время	этого процесса. Отметим,				что значения токов под

чиняются закону сохранения потокосцеплений. Действительно, суммарный поток сцепления

Li-	L,r„	1(0-		1(0
	Ч + Г2		' Ч + Ч		4
		w

является постоянной величиной.

Здесь были даны решения простых задач. Более сложные «не корректные» задачи решаются таким же методом путем применения единичной и импульсной функций.

Г л а в а о д и н н а д ц а т а я ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

ВЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

§11.1. Операторный метод

Вгл. X было показано, что расчет переходных процессов класси ческим методом в конечном счете сводился к решению дифферен циальных уравнений. При этом основные трудности решения заклю чались в определении произвольных постоянных. По мере услож нения электрической цепи и соответственно повышения порядка дифференциального уравнения эти трудности увеличивались.

Естественно, что всякий математический метод, упрощающий практику интегрирования дифференциальных уравнений, не тре бующий, в частности, определения произвольных постоянных, должен быть использован для расчета переходных процессов в элек трических цепях. К таким методам в первую очередь относится операторный (операционный) метод. Забегая вперед, можно ска зать, что операторный метод расчета переходных процессов в линей ных электрических цепях так же целесообразен и эффективен, как эффективен и целесообразен символический метод расчета установившегося режима при гармонических напряжениях и токах.

В электротехнику операторный метод в конце прошлого столе тия ввел О. Хевисайд. Однако этот метод не был им математи чески обоснован и поэтому не нашел широкого применения. Только после большого количества работ, п священных обоснованию опе раторного исчисления, метод завоевал всеобщее признание. В основу операторного исчисления было положено прямое интегральное преобразование Лапласа, с помощью которого функции времени

/	(t)	преобразуются в функции комплексного переменного : р =
=	с	4- /со.

Предположим, нужно найти некоторую функцию (ток или напря жение) действительной переменной / (/) решением дифференциаль ного уравнения. Операторный метод решения этой задачи сводится к четырем последовательным этапам.

1. От искомой функции / (t), именуемой оригиналом, переходят с помощью преобразования Лапласа к функции комплексного пере менного р. Новую функцию обозначают через F (р) и называют

изображением функции / (t).

2. Дифференциальные уравнения для оригиналов, согласно правилам преобразования функций, их производных и интегралов

303

преобразуются в операторные алгебраические уравнения для изо бражений.

3.Полученные операторные уравнения решают относительно

F(p).

4.От найденного изображения F (р) с помощью обратного пре

образования переходят к оригиналу /х (/), который и является иско мой функцией.

Таким образом, сложные математические операции решения дифференциальных уравнений заменяются решением простых алгеб раических уравнений, записанных в операторной форме. Опера

торный	метод можно сравнить с логарифмированием, где сначала
от чисел	переходят к логарифмам, потом производят относительно
простые	действия	над	логарифмами,	соответствующие действиям
над числами, а		затем	от найденного	логарифма возвращаются
к искомому числу.

§ 11.2. Преобразования Лапласа

Пусть дана некоторая функция вещественной переменной f (t) (например, ток или напряжение). Изображением по Лапласу назы вается функция, которая получается в результате вычисления инте

грала:	со
	со
F{p) = \f{t)^dt,		(11.1)
	о
где t — вещественная	переменная, а р =	а 4- /со — некоторая
комплексная переменная,	где о > 0.
Имея в виду прикладную цель данного		анализа, ограничим
рассматриваемые функции / (/) следующими		условиями:

1.Функция / (/) со своими производными непрерывна на всей оси t. Возможны исключения, а именно наличие конечного числа точек разрыва первого рода.

2.Функция / (t) равна нулю при отрицательных значениях t:

/(0 = 0 при t < 0.

3. Функция / (0 возрастает не быстрее показательной функции: существуют постоянные числа M > 0 и S0 S Î 0, такие, что для всех t

| / ( 0 | < M e s » ' .

Надо заметить, что в подавляющем большинстве инженерных задач функция / (0 отвечает поставленным условиям. В дальней шем предполагается, что рассматриваемые функции-оригиналы удовлетворяют этим условиям. К оригиналам нельзя, например, отнести функцию / (0 = еіг, так как она не удовлетворяет указан ным требованиям.

304

Если	/ (/)	удовлетворяет сформулированным трем условиям, то
при а >	5 0	lim f (t) erpt -> 0 и интеграл (11.1) существует.

( — оо

Особо подчеркнем, что между изображением и оригиналом нет равенства, а есть только соответствие. Это важное положение под черкивается условной записью, связывающей изображение с ори гиналом. В литературе встречаются следующие виды символов, связывающих оригинал с его изображением:

f(t)^F(p), F(p)=X{f(t)},

f(t) = F(p), f(t) = %-i{F(p)}u

др.

Соответствие между оригиналом и изображением будем запи сывать в таком виде: /(/)== F (р) или F (р) Ф f (t). Такая запись означает, что заданная функция f (t) имеет своим изображением функцию F (р) или изображение F (р) имеет своим оригиналом / (t).

Наряду с преобразованием Лапласа широко используется также преобразование Карсона—Хевисайда:

	со
FK(p)	= p\t(t)z-ptdt.	(11.2)
	о
(индекс «/С» указывает на	преобразование по Карсону,	которое

отличается от преобразования по Лапласу множителем р). Сопо ставляя (11.1) с (11.2), можно установить, что

F*(p) = pF(p),

т. е., зная изображение по Лапласу, легко найти изображение по Карсону и наоборот.

Преобразование по Карсону имеет некоторое преимущество. По Карсону размерность оригинала и его изображения одинаковы, что не имеет места в преобразовании по Лапласу. Тем не менее будем пользоваться преобразованием Лапласа, так как оно тесно связано с преобразованием Фурье и может трактоваться как обобщение

преобразования	Фурье (см. гл. X I I ) .
§ 11.3.	Основные свойства преобразования Лапласа
	и	изображение простейших функций
В первую очередь укажем, что соответствие между			оригиналом
и изображением		взаимно однозначны, т. е. что каждой функции
/ (t) соответствует		одна вполне определенная функция	F (р) и нао
борот.

При умножении оригинала на постоянную величину на ту же постоянную величину умножается и изображение

af(t)=aF(p). (11.3)

305

Действительно

СО	CO
$ af (t) (ГрІ	dt = a]f(t) e'pf dt = aF (p).
b	о

Если оригинал представлен суммой функций, то изображение этой суммы равно сумме изображений этих функций (изображение линейной комбинации оригинальных функций есть линейная ком бинация изображений):

	(О + oaf2(0 + --- + akfk					( / ) + . . . + ajn			(t)	#
	= öi^i (p) + a2F2		(p) + ... + akFk(p)+...					+ anFn		(p),	(11.4)
т.	e.
		2	^fk	(0 =	2	akFk (p).
	Доказательство вытекает непосредственно из свойств опреде
ленного интеграла.
	1. Изображение единичной функции. Вычислим									изображение
единичной функции / (t) = 1 (t).
		со
	F(p)=^		1 ( 0 е - ^ Л		=	- 1 \| е - ^ \| »		=	1		(11.5а)
		о
	Изображение	постоянной		А,	возникающей			в	момент		времени
/ =	0, легко найти, если ее представить						с помощью единичной
функции как некоторую функцию времени, записав / (t) =											А • 1 (/).
Тогда на основании (11.3) будем иметь
		f(Q=A-l(f)				= A±.					(11.56)
	Изображение	постоянной		равно		самой	постоянной,				деленной
на	р.
	Очевидно, если бы мы пользовались преобразованием										по Кар-
сону, то изображением постоянной была бы сама									постоянная:
		f(t)	= A-l(t)=FK(p)			=	A

иразмерности оригинала и изображения были бы одинаковыми.

2.Изображение импульсной функции. Фильтрующие свойства импульсной функции, изложенные в гл. X (см. формулу 10.60),

позволяют найти	изображение		ô (/).	Так как интеграл от ô (t)
в интервале существования		ô (/)	равен	единице,
	оо			оо
F(p)	= \ e~pt8 (t) dt = е"р о \ 6 ( / ) Й = 1 .
	о			ü
В результате получаем		операторное соотношение
		о(0 = 1.		(11.6)

306

Изображение импульсной функции равно единице. Аналогичным

образом		можно найти		изображение
				Ô ( * - * ! ) = е - Р ' « .
Этот же результат			можно получить при помощи теоремы запазды
вания	(см. § 11.10, 2).						функции. Пусть / (/) = е~а'
3.	Изображение		экспоненциальной				функции. Пусть / (/) = е~а'
(а — положительное вещественное число), тогда
		со	со					Г = _ І -
								Г = _ І -
F(р) =		j & a t z p t	dt=^	e'^Pi1	dt = -		-^—	\e-W
Таким	образом,					1+ p "
				e ш	= •a	1+ p "		(11.7)

Если положить, что а = —/со, то

е№" = - 1

р — іш

Зная изображение показательной функции, можно найти изо бражение синусоидальных функций, используя формулу (11.4) преобразования Лапласа. Выше было найдено

е>ш' = cos at + j sin at—-		г— = ', • „ .
1 1	' p — /со	p 2 - f - o j 2

Сопоставляя вещественные и мнимые части, получим cos at = р 2 + со2 '

sin at	CO
	' p 2 - j - CO2

Пусть

(11.8)

(11.9)

/ = I m sin (at + \p) = / m		cos г\|з sin at +				I m sin i\|) cos со/.
Изображение тока	обозначают		/ (р) или t.
/ ІР) = Іт COSIp-	/ т sinop		3 + [ û 2 ' m		/ .	^	І Й ^ 1 .		(11.10)
p2 +	C Û 2 I ' m — T	p	3 + [ û 2 ' m			p2+	( û 2
								со
4. Изображение /л . Пусть / (/) =				t, тогда F (p) = $ /е~р '					Инте-
								о
грируя по частям (\judv = uv — \)v du^j и полагая, что и — t,a									é~ptdt~
= du, найдем
F{P) =	-pt		р-р/		1		-pt	= £ ,	(11.11)
F{P) =	- s -		—	dt = 0 + ~				= £ ,	(11.11)
	- s -		p		' p

~ p 2

307

Найдем	изображение функции				/(/) = --,			где п\ —факториал и
п > 0. Имеем				оо
				оо	Ï1
		F(p).			Ï1	-pi	dt.
Этот интеграл легко вычисляется по частям:
оо				оо				со
								1)1
Таким	образом, изображение						равно	изображению ^ _ ^ ]
деленному на р. Принимая во внимание (11.11), находим
	Р	.	1	t3		1
	2!	•	рз '	3! ~		р*	И Т < Д -
Следовательно,
		n!	г>Я+1 I					(11.12)
		n!

§ 11.4. Изображения производной и интеграла функции

1. Изображение производной. Допустим, дана некоторая функ ция / (/) и известно ее изображение F (р). Найдем изображение про изводной этой функции. Пусть /' {t) = ф (/), и требуется найти ее изображение Ф (р). Тогда

		ОО		СО		0 0	5 e'pt df (t).
	ф (р) =	\ ф (0е - р ' Л =			5 /' (/) e-pt dt =		5 e'pt df (t).
		О	О		О
Интегрируя		по	частям,	получим
					со
	Ф (р) H е-*/ (0 I f -				( - Р ) \ f (t) e'pt		dt =
			со		О
			со	/(/) e-ptdt =		PF(p)-f(0)
	=	- / ( 0 ) + Р $		/(/) e-ptdt =		PF(p)-f(0)
			о
/так	как lim f (t) e'pt		= 0 согласно условию			существования инте-
\	г — 0 0

грала Лапласа). Итак, изображение производной имеет вид:

f'(t)=pF(p)-f(0),	(11.13)
где / (0) — значение функции / (/) при / =	0.

Вычисление производной функции при нулевых начальных усло

виях [/ (0) =	0] соответствует умножению изображения	функции
на множитель	р
	f'(t)=pF(p).	(11.14)

308

Операция дифференцирования оригинала заменяется для изо бражений операцией умножения изображения на р. Множитель р играет роль оператора: умножение изображения на р соответствует дифференцированию оригиналов (при нулевых начальных условиях). Используя формулу (11.14), можно найти вторую производную оригинала:

/ " (О = ф' (0 = рФ (р) - Ф (0) = р [pF (р) - / (0)] - / ' (0),

или

Г(І)ФР2Р(Р)~РІ(0)-Г(0). (11.15)

Повторяя эти вычисления п раз, получим изображение произ водной оригинала п-го порядка:

/(») (/) == p*F (р) - р*-Ц (0) - р - 2 / ' (0) - . . . - р ' 1 ' (0),

или

/(») (t) Ф p"F (р) -	2 P( "-f t ) /c f t _ 1 ) (0),	(П.16)
где	*=і.
где
/(0) = / W U	/( f t ) (0) = ^ f

При этом предполагается, что f (t) и все ее производные до п — 1 включительно непрерывны.

Если начальные значения самой функции и всех ее производ ных равны нулю, то изображение первой и высших производных упрощается и находится по изображению исходной функции простым умножением на множитель р в степени, соответствующей порядку производной:

/ ' ( / )# pF(p),

f(ft> (0 #pf t F(p).

2. Изображение интеграла. Известно изображение некоторой функции / (/). Требуется определить изображение функции, явля ющейся интегралом функции / (/):

q(t) = {f(t)dt.

Так как / (/) = г|/ (t) ф ргр (р)-ар (0), a гр (0) = \ f (t) dt - 0, то

/ ( 0 # Ж Р ) -

Но изображение / (t) Ф F (р) известно. Стало быть можно запи сать

. /Г (р) = ргр(р).

309

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 6031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.202320.63 Mб146Теория двигателей внутреннего сгорания. Рабочие процессы учебник.pdf
#
30.10.202318.92 Mб64Теория и конструкция боевых колесных машин..pdf
#
27.10.202331.98 Mб62Теория и практика балансировочной техники..pdf
#
19.10.20236.28 Mб4Теория и практика зональной дифференциации закупочных цен..pdf
#
27.10.202323.44 Mб70Теория и техника передачи данных и телеграфия учебник..pdf
#
27.10.202321.79 Mб68Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf
#
29.10.20238.91 Mб16Теория познания и современная наука..pdf
#
29.10.202310.17 Mб49Теория поршневых двигателей внутреннего сгорания Метод. пособие.pdf
#
22.10.202315.01 Mб146Теория стрельбы из танков учебник..pdf
#
30.10.202318.58 Mб49Теплов Л. Очерки о кибернетике.pdf
#
23.10.202354.3 Mб40Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов.pdf