книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

ток в этой цепи можно считать только через некоторое время после замыкания цепи.

В установившемся режиме токи и напряжения в зависимости от рода генератора могут быть постоянными или периодическими функциями времени. Их зависимость от времени, прошедшего с момента включения генератора, теряет всякое значение. В даль­ нейшем, если не оговорено противное, будем предполагать, что включение генераторов в цепь произошло столь давно, что режим

преобразующие энергию любого вида в электромагнитную. В ка­ честве генераторов постоянного напряжения часто используются

установлены, например, для зарядки аккумуляторов на автома­ шинах. Освещение железнодорожных вагонов и кораблей осущест­ вляется также с помощью подобных генераторов.

Одной из основных величин, характеризующих электрические качества генератора, является его э. д. с. Благодаря химическим реакциям в гальванических генераторах или движению проводни­ ков в магнитном поле в электромашинных генераторах, внутри генераторов происходит принудительное разделение электрических зарядов. Это разделение создается против сил притяжения между зарядами разных знаков и вызывает возникновение внутри генера­ тора электрического поля, а следовательно, и разности потенциа­

в электрической цепи. Численно э. д. с. генератора равна разности потенциалов между его зажимами в том случае, если цепь разомк­ нута и тока через генератор нет. За направление э. д. с. принима­ ется направление принудительного движения положительных заря­ дов внутри генераторов, т. е. направление от отрицательного по­ люса генератора к положительному. Измеряется э. д. с. в вольтах.

Условно считая, что в цепи движутся положительные заряды, можно сказать, что в пассивном двухполюснике это движение про-

20

исходит под действием сил поля от точек высшего потенциала к точкам низшего, от положительного полюса генератора — к отри­

ратора происходит преобразование химической (или другой) энер­ гии в электромагнитную. Вне генератора имеет место обратное преобразование электромагнитной энергии в другие формы энер­ гии.

Внутреннее сопротивление генератора также является величи­ ной, характеризующей электрические свойства генератора. Под

но упрощает расчеты. Ошибка же, создаваемая ею, тем меньше,

ратор можно изобразить в виде источника напряжения и последо­ вательно соединенного с ним двухполюсника, имитирующего его внутреннее сопротивление. Иначе реальный генератор можно изо­ бразить в виде источника напряжения, рядом с которым написана

21

В тех случаях, когда внутреннее сопротивление генератора очень велико по сравнению с сопротивлением внешней цепи, ток,

применяется изображение, данное на рис. 1.6, а. Реальный генератор тока изображают в виде источника тока и параллельно к нему присоединенного двухполюсника, имити­ рующего внутреннюю проводимость генератора (рис. 1.6, б). Смысл такого изображения генератора тока будет пояснен далее.

§ 1.3. Пассивные элементы электрических цепей и их параметры

Любая электрическая цепь, независимо от ее назначения, может содержать резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы. Если сопротивления резисторов, индуктивности катушек и емкости конденсаторов, составляющих электрическую цепь, не зависят ни от токов в них, ни от приложенных к ним напряжений, ни от направ­

теризующие элементы электрической цепи и сохраняющие постоян­ ное значение в условиях поставленной задачи, называются пара­ метрами (постоянными) элементов или параметрами цепей. Поэ­ тому сопротивления резисторов, индуктивности катушек и емкости конденсаторов линейной электрической цепи являются параметрами этой цепи. Когда значения элементов цепи, независимо от токов и напряжений на этих элементах, изменяются с течением времени, цепь называется параметрической. Параметрические цепи изуча­ ются в курсе «Теория нелинейных электрических цепей».

1. Резисторы. Резисторами называются элементы электрических цепей, главное свойство которых заключается в необратимом пре­ образовании электромагнитной энергии -в тепло.

В электрических цепях современных устройств связи и авто­ матики используются проволочные и непроволочные резисторы. В проволочных резисторах токопроводящим материалом служит металлическая проволока из сплавов с высоким удельным сопро­ тивлением. В непроволочном резисторе токопроводом высокого сопротивления является слой или стержень из материала с высоким удельным сопротивлением. Условные графические изображения

22

Сопротивления резисторов зависят от их температуры, следо­ вательно, и от тока через резистор. Однако будем считать, что со­

тоты питания можно пренебречь только при относительно неболь­ ших изменениях частоты. Эта .оговорка необходима потому, что

переменном токе больше, чем на постоянном, и с увеличением час­ тоты сопротивление резистора возрастает.

Объясняется это тем, что постоянный ток течет через все сече­ ние проводника и плотность тока при этом во всех точках сечения проводника одна и та же. Плотность же переменного тока у поверхности проводника больше, чем в его цен­ тральной части. При относительно высоких частотах переменный ток практически течет не через все се­

ным эффектом. Из-за поверхностного эффекта сопротивление рези­ стора при переменном токе больше, чем при постоянном. При тех­ нических частотах эта разница невелика, а при больших частотах она может оказаться весьма значительной. Сопротивление резистора

сопротивление резистора больше его электрического сопротивления.

2. Индуктивные катушки. В электрических цепях высокой частоты основную роль играют пассивные двухполюсники, обла­ дающие способностью накапливать энергию в форме энергии элек­ трического или магнитного полей. Пассивным двухполюсником, обладающим свойством накапливать энергию в форме энергии маг­ нитного поля, является индуктивная катушка.

Ток в обмотке катушки создает магнитный поток, пронизываю­ щий витки обмотки. Приближенно считая, что все витки катушки

23

пронизываются ею создаваемым полным магнитным потоком, назо­ вем произведение числа витков катушки на значение магнитного потока потокосцеплением катушки:

В линейной катушке (без ферромагнитного сердечника) магнит­ ный поток сцепления l F пропорционален току в ее обмотке.

Коэффициент пропорциональности, равный L =- W/i, называ­ ется статической индуктивностью катушки. Динамическая индук­ тивность катушки, определяемая как

Ья — df '

вслучае линейной катушки не отличается от ее статической индук­ тивности, поэтому будем называть ее просто индуктивностью.

Единица индуктивности называется генри (гн). На практике

без сердечника, длина которой значительно больше ее среднего диаметра, и индуктивность катушки на кольцевом сердечнике

тушки; 5 — средняя площадь поперечного сечения катушки, а / —

где L в генри, і — в амперах, а хюш — в джоулях.

3. Конденсаторы. Пассивный двухполюсник, главное свойство которого заключается в том, что он может накапливать энергию в форме энергии электрического поля, называется конденсатором. Конденсатор состоит из двух пластин или двух проводников, разде-

24

ленных между собой диэлектриком. Основной характеристикой конденсатора является его емкость.

Напомним, что емкостью между двумя проводниками называют абсолютное значение отношения электрического заряда одного проводника к разности потенциалов между проводниками при условии, что эти проводники имеют равные по величине, но проти­ воположные по знаку заряды. Единицей емкости является фарада

(ф). На практике часто применяются доли фарады: микро- и пикофарада: 1 ф — 106 мкф — 1012 пф.

Заряд на обкладке линейного конденсатора пропорционален напряжению между обкладками и равен q = Си, где С — емкость конденсатора. Предположим, что конденсатор подключен к зажи­ мам генератора и напряжение генератора с течением времени изме­ няется. Вместе с ним будет изменяться напряжение на конденса­ торе и заряды на его обкладках. Следовательно, в проводах, сое­ диняющих генератор с конденсатором, будут перемещаться элек­ трические заряды.

Если за время dt заряды на обкладках конденсатора изменятся на величину dq, то такой же заряд dq пройдет и по проводам, сое­ диняющим генератор с конденсатором.

Мгновенное значение тока в цепи с конденсатором, определя­ емое как г ' = ^ , может быть выражено через производную по вре­ мени от мгновенного значения напряжения на конденсаторе:

При диэлектрике, не обладающем проводимостью, ток в кон­ денсаторе представляет собой только ток смещения. Ток смещения

Графическое изображение электрической цепи называется схе­ мой. Схема показывает последовательность соединения двухполюс­ ников, составляющих электрическую цепь.

При построении схемы допускается идеализация: э. д. с. гене­ раторов считаются не зависимыми от токов через эти генераторы. Несмотря на то что сопротивления реальных резисторов строго

25

говоря всегда зависят от тока, резисторы считаются обладающими неизменными сопротивлениями. Если сопротивления соединитель­ ных проводов весьма малы по сравнению с сопротивлениями двух­ полюсников, соединяемых с помощью этих проводов, то сопротив­ ления проводов считаются равными нулю и провода эти изобража­ ются на схеме линиями. Каждый из пассивных элементов схемы электрической цепи будем идеализировать, считая, что он обладает только одним характеризующим его свойством.

В дальнейшем идеальную катушку, не обладающую ни сопро­ тивлением, ни емкостью, будем называть индуктивностью. Подоб­ ным же образом емкостью будем называть не только свойство кон­ денсатора, но и сам идеальный конденсатор, не обладающий ни индуктивностью, ни сопротивлением, а идеальный резистор в цепи

Каждый реальный пассивный элемент электрической цепи нужно было бы в общем случае представлять на схеме в виде электрического соединения идеализированных сопротивления, индуктивности и емкости. Однако в зависимости от поставленной при анализе элек­ трической цепи задачи и требуемой точности расчета тем или иным свойством реального элемента, существенно не влияющим на резуль­ таты анализа, допустимо пренебречь. Например, в ряде практи­ ческих случаев можно будет не учитывать сопротивления обмотки катушки и емкости между витками и считать катушку только индук­ тивностью. Точно так же при анализе работы электрической цепи при низких частотах конденсатор можно представить только в виде емкости, а резистор — в виде сопротивления. Следует отметить, что радиотехническая промышленность стремится изготовлять эле­ менты радиотехнических цепей таким образом, чтобы каждый обла­ дал только одним свойством, а остальные были сведены к мини­ муму.

При изображении электрической цепи идеализированной схе­ мой идеализация будет заключаться также и в том, что сопротив­

Такое упрощение может быть допущено при анализе большого числа электрических цепей. Оно недопустимо в тех случаях, когда геометрические длины элементов цепей и соединительных проводов столь велики, что за время распространения электромагнитной

26

волны вдоль цепи от генератора к приемнику напряжение генера­ тора успевает измениться на величину, соизмеримую с полным изменением этого напряжения в заданном процессе.

§ 1.5. Топологические элементы схемы

Основными топологическими элементами схем электрических цепей являются ветви, узлы и контуры.

Ветвью называют весь участок электрической цепи, вдоль кото­ рого ток имеет одно и то же значение. Место соединения трех и более ветвей называется узлом. Узел электрической цепи на схеме отме­ чается жирной точкой (рис. 1.11). Если на схеме в месте скрещи­ вания проводов точка не поставлена, это означает, что электрического соединения между проводами в месте их пересечения нет.

Контуром электрической цепи называется замкнутый путь, образуемый одной или несколькими ветвями. Если внутри площади выбранного контура не лежат дру­ гие ветви, связывающие между собой точки, принадлежащие то­ му же контуру, то такой контур будем называть простым, или ячей­ кой.

было бы три, так как между уз­ лами а и б не было бы сопротивления, и их можно было бы соеди­

нить в один. В схеме четыре простых контура. Всего на рис. 1.11 можно найти девять различных замкнутых путей обхода, т. е. девять контуров. Схема рис. 1.11 называется плоской. Плоскими схемами называются такие, которые можно изобразить на чертеже без пересекающихся ветвей.

§ 1.6. Положительные направления токов, напряжений и э. д. с.

Типичная задача расчета электрической цепи заключается в опре­ делении токов в ее ветвях при заданных параметрах всех элементов, составляющих цепь, э. д. с. или задающих токов генераторов и их частотах.

В общем случае до расчета цепи направления постоянных токов или мгновенных значений переменных токов в ветвях и напряже­ ний между узлами неизвестны и могут быть определены только в результате расчета. Поэтому для расчета цепей вместо еще неиз­ вестных направлений токов и напряжений вводятся произвольные положительные направления этих токов и напряжений. В любой ветви независимо от направления тока за его положительное направ-

27

ление можно принять направление от точки а к точке б или от точки б к точке а.

Выбранное положительное направление тока в каждой ветви обычно указывается стрелкой на самом проводе. Положительное направление напряжения между узлами не связано с положитель­ ным направлением тока в этой ветви и выбор его свободен. Но, выбрав положительное направление напряжения от точки а к точке б, условно считаем, что потенциал точки а выше потенциала точки б. Поэтому в задачах по расчету линейных электрических цепей обычно считают положительное направление тока в ветви совпадающим с положительным направлением напряжения между узлами этой ветви.

Выбор одинаковых положительных направлений для напряжения на двухполюснике и для тока через него удобен и в том случае, если двухполюсник кроме пассивного элемента цепи содержит источник напряжения независимо от направления его э. д. с.

Следует, однако, подчеркнуть, что сказан­ ное о выборе положительных направлений токов и напряжений является только ре­ комендацией, а не правилом, обязательным для выполнения.

Специальных стрелок с указанием поло­ жительных направлений напряжений на схемах ставить не будем, а в необходимых случаях, начертим их рядом с двухполюс­ ником. За направление э. д. с. источника

напряжения считаем направление принудительного движения за­ рядов внутри источника от его отрицательного полюса к поло­ жительному. За положительное направление э. д. с. источника напряжения примем это же направление внутри источника от его отрицательного полюса к положительному. Это положительное на­ правление э. д. с. указывает стрелка, помещенная внутри круж­ ка, условно изображающего генератор (см. рис. 1.5, а и б).

Как указывалось, направление напряжения между двумя точ­ ками совпадает с направлением от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом. Следовательно, напряжение источ­ ника или напряжение между зажимами источника направлено в сторону, противоположную его э. д. с. (рис. 1.12).

Таким образом, если.бы за положительное направление э. д. с. источника было принято то же направление, что и для напряжения между полюсами (от положительного к отрицательному), то приш­ лось бы написать и = — е. Однако мы уже решили считать поло­ жительным направлением э. д. с. источника направление от его отрицательного полюса к положительному, т. е. направление, противоположное выбранному положительному направлению на­ пряжения. Только благодаря тому, что одновременно противопо­ ложны э. д. с. источника и напряжение между его полюсами и положительные направления этих величин, для источника нужно

28

писать и = е. Таким образом при выбранных, в случае источника, противоположных положительных направлениях э. д. с. и напря­ жения следует писать и — е. В случае же пассивного двухполюс­ ника, когда за положительные направления тока, напряжения и э. д. с принято одно и то же направление: и = — е. Поэтому э. д. с. самоиндукции, возникающая между зажимами пассивного двух­ полюсника (катушки), e = — L ^ - , а напряжение между теми же

зажимами и = . Сказанное поясняет рис. 1.13, на котором

сплошными стрелками отмечены выбранные положительные направ­ ления напряжений и э. д. с , а пунктирными — их истинные на­ правления.

Следует запомнить, что стрелками на схемах мы будем обозна­ чать не направления физических величин, а выбранные нами их положительные направления и в расчеты вносить знаки токов, напряжений и э. д. с. источников, определяемые их положитель­ ными направлениями.

Если в результате расчета ток в ветви или напряжение между узлами окажутся отрицательными, это будет означать, что истинное

лены в сторону выбранных положительных их значений, мгно­ венные значения этих величин считаются положительными. На графиках зависимостей токов и напряжений от времени положи­ тельные мгновенные значения изображаются над осью времени.

Из этого выражения следует, что при увеличении тока через индуктивность в его положительном направлении на индуктивности возникает напряжение, совпадающее по направлению с положи­ тельным направлением тока. Если же ток начнет уменьшаться, напряжение на индуктивности окажется направленным противо­ положно току.

29