книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Выражения (10.39) и (10.40) говорят о том, что переходное напряжение и переходный ток при изохронизме являются синусои­ дальными функциями с изменяющимися во времени амплитудами.

Амплитуды нарастают по закону 1 — ё~а' и асимптотически приближаются к конечным значениям, равным амплитудам этих величин в установившемся режиме. Переходный процесс протекает без перенапряжения и сверхтока, но сами по себе установившиеся значения при малых г (а <^ со0) в резонансном режиме (со = со0) велики.

О

Рис. 10.21

Остановимся на случае, когда угловая частота со приложенного напряжения близка к угловой частоте со0. Тогда возникают биения. Покажем это для идеализированного контура, предположив, что г = 0 (а = 0). На основании (10.38) можно записать

«С = U cm [Sin (СО/ + tyc) — Sin ((ù0t + l | ) c ) ] =

=2 c / c r a s i n ^ - ^ c o s ( ^ + 1 p c ) ,

и переходный ток изменяются по синусоидальному закону с угловой частотой ""t, 0 3 * 1 ^ со0, амплитуда этой синусоиды также изме­ няется по закону синуса, но со значительно меньшей частотой:

^= Асо.

При г -ф 0 биения постепенно затухают, и переходный режим сменяется установившимся. Напряжение на емкости при биении колебаний изображено на рис. 10.21.

280

§ 10.5. Переходные процессы при воздействии на цепь импульса напряжения

Процессы, возникающие в цепи при воздействии на нее импульса напряжения, по своей сути всегда нестационарные. В данном пара­ графе рассматриваются два приема расчета этих процессов, непо­ средственно вытекающие из всего изложенного ранее.

Рассмотрим сначала воздействие на цепь прямоугольного им­ пульса. Пусть на известную цепь любой сложности подается оди­

нулю. В цепи возникает свободный переходный процесс с новыми,

рого успела зарядиться емкость за время tu и определяется из уравнения (10.19) при подстановке вместо t значения tx.

При этом задача рассматривается, как новая задача с новым отсчетом времени. Подставляя полученное значение А в выраже­

281

времени. В этом случае, заменяя f на t— tu получим для второго

а«с (—) — от отрицательного. Используя (10.19), можно записать:

Используя метод наложения, можно сформировать импульсы

282

делить искомую переменную (ток, напряжение на участке и др.)

возникшие при воздействии последующих напряжений с учетом знаков и сдвигов.

§ 10.6. Включение цепи на напряжение любой формы (формула Дюамеля)

В данном параграфе рассматриваются методы расчета переходных процессов при воздействии на линейную цепь напряжения (тока) любой формы.

Метод наложения позволяет разложить заданное входное воз­ действие сложной формы на подобные друг другу слагаемые более

Вид единичной функции изображен на рис. 10.25, а.

С помощью единичной функции напряжения любая функция

283

напряжение і/0 , то

и = Un\ (t).

Это выражение указывает на то, что напряжение скачкообразно возрастает до U0 в момент включения (t = 0) и дальше непрерывно действует, оставаясь постоянным.

Если воздействие подается на цепь не в момент / = 0, а с запаз­ дыванием на tlt его следует записать с помощью единичной функции с запаздывающим аргументом:

Если воздействие запаздывает на время т, то на такое же время, очевидно, запаздывает и реакция цепи. Если воздействие увеличи­ вается в а раз, то во столько же раз возрастает ответная реакция цепи. Размерность переходной характеристики цепи равна отно­ шению размерностей выходной и входной величин. Если внешнее воздействие задано в виде единичной функции напряжения, а иско­ мой величиной является тоже напряжение на каком-либо элементе цепи, то переходная характеристика является безразмерной вели­ чиной, численно равной выходному напряжению. Если же опре­ деляется ток в цепи, то переходная характеристика имеет размер­ ность проводимости цепи. В этом случае переходную характеристику иногда называют переходной проводимостью. Переходная прово­ димость численно равна току в цепи при воздействии на цепь еди­ ничной функции напряжения. В дальнейшем любая реакция в виде тока или напряжения на участке цепи при воздействии на цепь единичной функции напряжения или тока будет называться пере­ ходной характеристикой.

Для определения переходной характеристики необходимо рас­ считать переходный процесс в цепи при нулевых начальных усло­ виях при включении на единичную функцию напряжения. Переход­ ная характеристика, таким образом, является функцией времени,

, зависящей от параметров и схемы цепи.

Например, для цепи с г и L ранее были вычислены переходный ток и напряжение на индуктивности:

284

Следовательно, переходная характеристика тока в цепи

л(*)=4(і-е-£').

Переходная характеристика напряжения на индуктивности

Для простых часто встречающихся цепей можно заранее рас­ считать h (t) и составить картотеку — справочник*. Условимся, для конкретности, вести дальнейшие рассуждения в предположении, что определяется переходный ток. Очевидно, общность изучения вопроса этим не сужается. Действительно, в тех случаях, когда необходимо найти не ток, а напряжение на выбранном участке заданной цепи, взамен переходной характеристики для тока должна быть определена другая характеристика — для напряжения.

Если напряжение на цепь подается не только в момент включе­

По сравнению с обычным понятием проводимости цепи при стационарном режиме введенное понятие о переходной проводи­ мости является более широким, так как оно полнее характеризует реакцию цепи при воздействии на цепь постоянного напряжения. При t -*~ оо переходная проводимость стремится к своему предель­ ному значению, равному проводимости цепи в установившемся режиме на постоянном токе.

2. Вывод формул интеграла Дюамеля. Пусть требуется опреде­ лить ток в линейном пассивном двухполюснике, переходная харак­ теристика которого известна, при включении двухполюсника на напряжение и. Кривая напряжения и изображена на рис. 10.26. Начальный запас энергии двухполюсника считаем равным нулю.

Выберем некоторый произвольно фиксированный момент наблю­ дения t и рассчитаем переходный ток к этому времени. Хотя момент выбирается произвольно, он фиксируется и становится постоянной величиной — параметром. В связи с этим введем новое обозначение

Определим сначала ток в цепи при воздействии на цепь ступен­ чатого напряжения, приближенно заменяющего заданное плавное, как это изображено на рис. 10.26. Замена плавной кривой

* По такому принципу, например, составлен «Справочник по переходным электрическим процессам». И. И. Теумин. Связьиздат, 1952.

285

ступенчатой позволяет считать, что в момент времени х — 0 вклю­ чается постоянное начальное напряжение и(0) 1(т), воздействующее на цепь в течение всего интервала времени от нуля до оо. Затем через промежуток времени хх вступает в действие дополнительное постоян­

блюдения переходный процесс будет продолжаться t секунд. Под

ничную функцию с запаздывающим аргументом, можно прибли­

в цепи появится составляющая тока і (т), которая к моменту наблю­

как мы уже отметили, равна t — хи так как он включен с запазды-

286

Сумма в пределе перейдет в интеграл. Точное значение пере­ ходного тока i(t) для фиксированного момента времени t будет:

Для расчета тока по формуле (10.46) необходимо знать закон изменения заданного напряжения в аналитической форме и пере­ ходную характеристику цепи. Напряжение, подводимое к цепи, задается, а переходная характеристика, как отмечалось выше, определяется из расчета переходного процесса в цепи при воздей­ ствии на нее единичного скачка напряжения. Если приложенное напряжение задается в виде графика (осциллограммы) и не может быть записано в аналитической форме, то его расчет можно сделать

287

приближенно с любой степенью точности по формуле (10.44). Точ­ ность будет тем выше, чем больше число промежутков п, на которое разбит интервал времени от 0 до t. Интеграл Дюамеля записывают и в других формах. Докажем предварительно справедливость эквива­

Каждый из интегралов в приведенном равенстве называется сверткой

Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования. Вернемся к старому обозначению переменной, т. е. заменим х на т. В результате

Таким образом аргументы функций под знаком интеграла можно поменять местами и в этом состоит эквивалентное преобразование интеграла вида свертки функций.

Если воспользоваться эквивалентным преобразованием, то можно получить вторую форму записи интеграла Дюамеля:

Выполнив интегрирование по частям в первой форме записи

283