книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

2) комплексными и сопряженными, если дискриминант меньше нуля, т. е.

3) вещественными и равными, если

Ш ~ іс = °> Г ^ 2 Р -

Стало быть, в зависимости от соотношения параметров цепи переходные процессы будут протекать различно. Рассмотрим все три случая порознь на наиболее простом примере — разряде емкости

Сна г и L .

1.Разряд емкости на г и L . В цепи рис. 10.14 емкость, заряженная до на­

Случай первый, г > 2 р. В этом случае общее решение однород­ ного дифференциального уравнения второго порядка определяется

привлечь еще одну переменную, для которой легко установить на основании законов коммутации начальное условие. Такой пере­ менной является ток і.

При выбранном положительном направлении тока (см. рис. 10.14)

Воспользовавшись начальными значениями UQ (0) и г* (0) и урав­ нениями (10.24) и (10.25), получим два уравнения для определения двух произвольных постоянных:

A1 + A2 = U0,

j M i + M a = 0.

270

271

Рассматривая рис. 10.16, иллюстрирующий апериодический разряд конденсатора, можно сделать ряд выводов об энергетиче­ ском балансе цепи в переходном режиме. Следует обратить внима­ ние на то, что рс = Uci < 0, т. е. мгновенная мощность р с всегда отрицательна и, следовательно, емкость в течение всего переходного процесса отдает свою энергию. Энергия емкости непрерывно расхо­ дуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении цепи, но, кроме того, в интервале времени от 0 до tlt когда pL = ud > 0, емкость расходует энергию и на создание магнитного поля, т. е. часть энергии, запасенной в электрическом поле емкости, переходит в энергию магнитного поля индуктивности. От момента іх и до конца процесса тепловые потери покрываются не только за счет

Рис. 10.16

энергии электрического поля, но и за счет энергии магнитного поля, запас которой создан в интервале времени от 0 до tx. Когда

272

a sin со7-}-со' cos со'/ = со0 sin (со7 +яр)

и, подставляя в (10.29), получим в окончательном виде

= - C l / 0 ^ - e - a r s i n c o 7 .

273

или свободными колебаниями контура. Периодом этих колебаний

2я

следует считать Т' = -^-, где со' — угловая частота собственных затухающих колебаний, зависящая только от параметров цепи. Вообще говоря, Т' является условным периодом, так как затухаю­ щие колебания не являются периодическим процессом.

График изменения ис, і и ui приведен на рис. 10.18.

Сущность переходного процесса при колебательном разряде емкости сводится к следующему.

При разряде емкости энергия ее электрического поля расхо­ дуется, во-первых, на покрытие тепловых потерь, а, во-вторых, большей своей частью переходит в энергию магнитного поля индук­ тивности.

Рис. 10.18

Поэтому, когда и с проходит через нуль, и емкость полностью разрядится, в магнитном поле индуктивности накопится энергия, достаточная для поддержания тока прежнего направления, покры­ тия тепловых потерь и перезарядки емкости.

Емкость не может перезарядиться до прежнего по абсолютной величине напряжения, так как вследствие тепловых потерь общая энергия электромагнитного поля, связанная с контуром, непре­ рывно убывает.

Быстроту затухания рассматриваемых колебаний принято оце­

274

Из (10.33) и (10.34) следует, что декремент зависит только от параметров цепи. На декремент колебательного процесса большое влияние оказывает сопротивление цепи г. С увеличением г затуха­ ние увеличивается, а при г = 2р колебания прекращаются. На­ оборот, при уменьшении г затухание уменьшается и при г — 0 (контур без потерь) становится равным нулю. При г = 0 в контуре имели бы место незатухающие колебания с угловой частотой со0 =

со' = ~[/~(ùl — а 2 5=« со0.

Поэтому равенства (10.30) и (10.31) принимают такой вид: ис я» с70е~а'' cos a0t,

/— -Щ- e~at sin (o0t.

Логарифмический декремент колебаний согласно (10.34)

найти, перейдя к предельному случаю колебательного разряда, когда со' ->- 0. Воспользуемся формулой (10.31);

/ = — - % - е " а ' sin со' t.

CÜ'L

275

Зная ток, можно определить напряжение на индуктивности:

uL = LdJt- = UQe-at ( С С / - 1 ) .

Напряжение на емкости проще всего найти из основного урав­ нения:

денным значениям, то он окажется аналогичным графику рис. 10.16. Все переменные будут только быстрее нарастать и быстрее убывать, чем в первом случае; емкость будет непрерывно разряжаться, а напряжение на емкости будет монотонно убывать, не меняя своего знака. Таким образом и в данном случае имеет место апериодический разряд. Этот разряд называется критическим.

Значение г — 2 р, при котором наблюдается критический случай

рис. 10.1 включается на постоянное напряжение и = U0 = const.

режиме емкость зарядится до напряжения источника, т. е. ыС в = U0. Значение свободной составляющей определяется формулой

(10.24).

Переходное напряжение на емкости

"с = «св + "с св = U0 + Ліе"'' + Л 2 ер 2 '.

Для определения двух произвольных постоянных найдем

dur

і = С - ~ = С ( Р і А ^ + р2 Л2 е'°9- Так как начальные условия нулевые, имеем

276

величины постоянных в обоих случаях соответственно равны друг другу, но противоположны по знаку.

Зтот вывод позволяет сделать следующее заключение — свобод­ ная составляющая напряжения на емкости « с с в при включении цепи с нулевыми начальными условиями на постоянное напряже­ ние, т. е. в режиме заряда емкости, равна, но противоположна по знаку переходному напряжению на емкости ис при разряде. На этом основании можно сразу записать переходное напряжение на емкости:

м С з а р — U0 ^ с р а з р .

Таким образом, свободные составляющие, имея противополож­ ные знаки, изменяются по одному и тому же закону. Далее легко найти значения и других физических переменных. Ток

Ток в цепи и напряжение на индуктивности в режиме заряда конденсатора изменяются так же, как и при разряде конденсатора, но направления их противоположны. Сказанное и найденные соотношения справедливы при всех значениях корней характери­ стического уравнения рх и р2 , т - е - П Р И апериодическом и колеба­ тельном зарядах конденсатора.

Для апериодического контура

"с = — Pi — PÜ

с г и L , построенные по формулам 10.35.

Аналогично можно получить законы изменения всех перемен­

277

нием ключа К подключается к источнику синусоидального напря­ жения:

U — Uт Sin (со/ + 1р).

X sin (iû/+ipc), где ярс =і|)—ф—

278